Principiorum calculi differentialis et integralis expositio elementaris

103쪽

Quibus substitutionibus factis obtinetur valor exponenti integralis per e ponentes differentiales omnium ordinum quantitatum AE .

104쪽

g. 37 Quemadmodum relatio disserentialis primi ordinis ducit ad relationem integralem, qua Z per x &y determinatur ita etiam relatio disserentialis incomplexa ducit ad relationem integralem inter & easdem variabiles ac deinde ad determinationem aliorum exponentium diseserentialium inferiorum ipsarum Q x

106쪽

Obseruatio. Ex his formulis plurima curiosa saltem theoremata deduci possent; conserendo eas cum formulis, quae cum ipsis identicae esse debent, quae aut integratione immediata, aut methodis a priore diversi obtinentur. Et hic repetendum est a sortiori monitum, ut ad series Bernotaianas non prius recu ratur, quam alia subsidia fuerint exhausta.

De Tangentibus.

g. 38- Definit o. it arcus curvae, isque totus aut concavus aut convexus versus diametrum, ad quam refertur per punctum aliquod hujus arcus ducatur linea recta, quae ipsi ita occurrat, ut ad atramque puncti hujus partem extra cu vam jaceat. Haec recta dicitur ι-gens curvae, & punctum, ubi curvae occurrit, dicitur punctum eontasHs. Per punctum contamis ducatur recta diametro ordinatim applicata Si tangens occurrat diametro, ad quam curva refertur pars diametri ordinatam inter a puncto contactus ductam & punctum, ubi tangens occurrit diametro, comprehensa, diciti jubti fur. Scis

107쪽

Scilicet curva AMM reseratur ad diametrum AP per rectas ipsi ordinatim Fig. H. applicatas IVP M'se'. Per punctum M arcus se . qui ex utraque puncti Mparte ad diametrum sit concavus aut convexus, ducatur recta MT, quae curvae in puncto Mita occurrat, ut ad utramque punctim partem extra curvam c

dat haec recta Traicitur tangens curvae Cpunctum I dicitur punctum contactus. Sit m diametro ordinatim applicata, & tangens occurrat diametro in T linea PT dicitur labiangens. Quaecunque dicentur de arcubus Versia diametrum concavis, faciterim talis mutandis ad arcus versus diametrum conveXOS applicantur quare brevitatis causa de prioribus tantum dicere sufficiat. Observatio Ex puncto Μ ad aliud quodpiam punctum M arcu AMM d catur chorda se , quae producta diametro occurrat in S. Per punctum ' ducantur recta M'ν diametro ordinatim applicata; rectam' diametro parallela, quae ipsi m occurrat in Q. linea PS dicitur subsecans. Fit semper um PS, mi M'Q; hoc est ratio mutationum simultanearum ordinatae, abscissae diametri aequatur rationi ordinatae ad subsecantem. Prior itaque ratio major est aut minor ratione ordinatae ad subtangentem , prout subsecans minor est aut major subtangente nempe in casu figurae, ubi arcu MM concavus est versus diametrum, prout punctum II situm est inter puncta n& S, aut secus. Quoniam Ver puncto M propius propiusque adiu ctum Is accedente ita ut mutationes simultaneae ordinatae abscissae diametri continue fiant minores), punctum S continue accedit ad punctum T ita ut subsecans contriue minus differat a subtangente proclive est suspicari, rationem ordinatae ad subtangentem posse ex ratione disserentiali si qua suerithordinatae ad subsecantem deduci quod theoremate sequente stabilitur. g. q. Theorema. Ex puncto aliquo cujuslibet arcus, qui totus sit versus

diametrum, ad quam refertur, concavus aut conveXus), ducatur recta, quae arcum tangat diametro occurrat. Dico rationem mutationum simultanearum re diametro ab eodem puncto ordinatim applicatae Cabscissae diametri fieri posse minorem quacunque ratione data, quae major sit ratione data ordi-I a natae

108쪽

natae ad subtangentem majorem vero quacunque ratione data, quae minor sit praedicta ratione. Si am diametro P ordinatim applicata Clangens T quae diametro occurrat in Detur ratio Am PS 'Τ' ' ratione MP n. ideoque sit S

mkq' ipsa PT Dico rationem mutationum simultanearum ordinatae P

abscissae diametri AP posse fieri ' ' V ratione proposita P PS.

Arcus propositi sumatur punctum quodcunque m priore quidem casu situm ad easdem ordinatae M'partes, ad quas est punctum T posteriore ad partes oppositas. Iungatur recta quae, cum arcu chyp. sit versus diametrum concavus, tota intra eum cadet Per punctum m ducantur rectae in ordinatim diametro applicata atque infdiametro parallela, quae ordinatae AP ipsi vel productae in punctori occurrat.

tunc effectum erit, quod proponitur. Vel ratio in m erit rationi datae in P aequalis, aut ipsa maueor priore casu Iι minor casu posteriore, Si prius ob m --μ PS recta productam incidet in punctum S Si posterius: recta m producta diametrum in puncto i ita secabit, ut ας.&3φ. punctum S cadat inter puncta o M' Ps - : MF: S; proinde Tum i tu recta SN utpote intra angulum Tris, eique ad verticem oppositum tum sita, arcum versus diametrum hyp. concavum in puncto aliquo M' citra vel ultra Μ sit ita secabit, ut segmentum ipsius μ' intra arcum jaceat. Per M agantur rectam's diametro ordinatim applicata, atque ' diametro parallela, quae ordinatae P ipsi vel productae in punctos occurrat. Porro sumatur punctum quodcunque arcuim quidem, si producta m in punctum S incidit arcus autem -', si secus & per hoc punctum N agatur diametro parallela is, quae ordinatae M in puncto R, chordae vero m vel MM in puncto iv occurrat. Erit semper RQ NR - - PS.

Atqui

109쪽

. qAtqui 'R. si puncta in m , ad easdem ordinatae ae partes cent, ad quas est punctum tum ergo m MR 'Rαψ PS. Et is N 'R, si puncta , atque punctum T acent ad partes ordinatae P oppostas tum itaque ψ:- Ο Ν'R PS. Sed ratio R est ratio mutationum simultanearum ordinatae MP de abscissae diametri AP. Ergo ratio harum mutationum simultanearum potest

reddi b quacunque x tione proposita, quae ζζζ fuerit ratione ordinatae

ad subtangentem. g. o. Corollaris I'. Matio ordinatae ad subtangentem est limes rati ni mutationum simultanearum rectae a puncto contactus ad diametrum ordia natim applicatae, Clineae ex diametro abscissae seu prior ratio est ratio disterentialis harum linearum.

prioris membri, nempe PT, est Re. α' Ratio aequalitatis est etiam limes rationis tangentis ad secantem quatenus utraque recta hinc puncto contactus , inde punctis, ubi diametro occurrunt, terminatur. Et proinde tangens est limes secantis.

110쪽

7o 3'. Limes rationis secantis ad subsecantem aequalis est rationi tangentis ad subtangentem. g. i. Minc quoque determinantur tam angulus, sub quo tangens o currit si fieri possit diametro, quam angulus, quem tangens facit cum recta, quae a puncto contactus ordinatim diametro applicatur.

is Formulae hae fluunt ex hoe theoremate noto trigonometriae planae. Sin A, B, C . . . latera trianguli rectilinei, a b c . . . anguli his lateribus respective oppositi. Datis lateribus in B, de angulo, quem continent; reliqui anguli a b immediate determinantur, ut sequitur: oti sec. c - ΟΣ