Principiorum calculi differentialis et integralis expositio elementaris

91쪽

5 Itur progressionem vineronii naturalium. Hujus methodum succincte expositam hic subjungam. g. a. Si P unctio quaecunque quantitatis mutabilis . Sint i Pu Puti Piv, P . . . . η, - , valores, quos functio illa induit, si loco e substituantur quantitates

. . . . . .

92쪽

In his aequationibus co-cientes του mx R in disserentiae secundi ordinis secundarum potestatum numerorum naturalium proinde f. q. Introd. constantes, nempem . &differentiae alteriorum ordinum evanescunt Hinc st

. . . .

In his quatiombus cosissicientes et mae sunt disserentiae tertii ordinis tertiarum p testatum numerorum naturalium proinde g. q. furot constantes, nempe o. a. 3, 6 disserentis ulteriorum ordinum illorum cosissicientium evanescunt Minc rursus

. . . . . . . .

In his aequationibus comcientes του Δα sunt differentiae quarti ordinis potesta

93쪽

tum quartarum numerorum naturalium P proinde g. - Introd. constantes, nempe o. a. 3. differentiae ulteriorum ordinum evanescunt. Hinc sumtis differentiis quinti ordinis unctionis 'coEfficientes σου E ssimn differentiae quinti ordidis potestatum quintarum numerorum naturalium; proinde g. . Introd. constantes, nempe I. . . . . . differentiae ulteri rum ordinum evanescunt. Unde procedendo ad differentias sexti septimi, lanctionis P comicientes terminorvin μα', Ge, ', spective sunt differentiae sexti, septimi, potestatum seXtarum, septimarum, octavarum . . . . numerorum naturalium fiunt respective quantitates constantes,

I. a. .. 6, I. a. .. 7, I. a. . . . . . . differentiae ulteriorum ordinum evanescunt.

Sumtis itaque ratibnibus differentialibus successivis, quae ex praecedentibus aequatiomb consequuntur, ut

I. a

I. a. .

d si P

94쪽

g. 34. Uberrimi hujus propositionis usus in sequentibus patebunt. eicunum exemplum mere algebraicum utilitatis ipsius afferre sufficiet differemtias omnium ordinum unctionis cujuslibet quantitatis mutabilis per disserentias potestatum numerorum naturalius determinando. d PQuoniam mi PΦ

I. a

95쪽

I. a. . .

96쪽

Generatim

α - - - - - - - - - - - - - - - - - -

97쪽

Nominatim igitur 'Θ-1 '. 'Ι ει- α -'. . . ille uiri .... aeter

98쪽

num evanescunt.

Itaque differentiae omnium ordinum functionis cujuslibet alicujus qua titatis mutabilis redacuntur ad differendas potestatum numerorum natur humaCArvet QUARTIMAE

g. 35- ita m ratio differentialis data inter quantitates mutabiles ,-ν, Rel tio earum integralis exprimi potest per exponentes differentiales omnium ordinum variabilium δεν, quod sic investigatur.

99쪽

Itaque Series haec notatu admodum digna, cujus saecundae applicationes in sequentibus occurrent, Bernovssima dicitur; quod IOH BERNOULLI primus eam sub sorma hac simplicissima tradidit. Vide iovi Opero, T. I. p. as seqq. Exe via. Sit ymex .

100쪽

Observatio prima Casu hoc sacile est expressionum praecedentium identitatem demonstrare.

m 1 mini Obseruatio seunda Series Bernoulliana varia induere potest sermas, prout quantitas x augetur aut minuitur diqua quantitate constanti a fit enim eodem omnino modo

γ .s labe 3 1. a. , d c I. . . oda: I ... 5da 'Obiservatio tertia. Cum series Bernoulliana relationem integralem sub sorma omnium simplicissima raro exhibeat quod ipso Xemplo praecedente se a m fit satis manifestum ad eam non est recurrendum, nisi prius tentatis aliis integrationem propositam perficiendi methodis Seriei hujus collatio cum expressionibus, quae alii methodis obtinentur, ad Varia ducit theoremata, quibus evolvendis non immorabor. g. 36. In aequatione differentiali x - exponens propositusis potest esse quantitas quaelibet simplex aut composita, dummodo exponentes disserentiales omnium ordinum duarum quantitatum variabilium exhiberi possint. Hoc monere eo magis e re esse censui, quod mathematici etiam in calculis superioribus versatissimi non videntur illud satis agnovisse uti ex dubiis patet,