Principiorum calculi differentialis et integralis expositio elementaris

81쪽

tionem integralem P - - ἔγε οφ sensu omnino cassam, inuam ideo alia methodo explicare mathematici allaborarunt: cum ostenderim, formulam illam

mendum, quod substractio indicata α - - - peragi & divisione acta instituta actor 1- tolli necessario debeat, ut sermul' intelligibilis emergere possit.

Observatio . Data relatione mutua duarum pluriumve quantitatum mut bilium, ratio disserentialis earundem semper potest obtineri, ideoque calculus disserentialis potest dici omnimode completus. Idem non valet de calculo int grati scilicet data ratione disserentiali duarum pluriumve quantitatum mut bilium non semper obtineri potest relatio earum integralis. Nempe non obstantibus assiduis sagacissimorum mathematicorum studiis calculus integralis adhuc in cunabulis jacet; nec ulla regula omnino miseratis praesto esse dici potest, u omne omnino formulae possint ad intcgrationem perduci. Quidquid hoc respectu speraverit sagaciss. n. PaccAssi. Vide Phys sche Arbellen deratntraelituen Freunde utamen. 1786. Nimium a scopo meo abluderet, formulas, quarum integrationes in promtu sunt, exponere, pariter atque artificia, quorum subsidio plurimae formulae integrantur, quae primas calculi integrali regulas flugere videntur, tum ci venta varia, quibus integrati formularum complexarum ad integrationem sese mularum specie saltem simplicium reducuntur. Consulendi eam in rem sunt auctores, qui de calculo integrali scripserunt, eo fine, ut ipsum perficerent aut tironibus explanarent: quos inter nominare susticiet OTEs11 Tractatum de

82쪽

4a Harmonia Mensurarum, aut Α ΜΕSLEY his de a Uure des opori et de amora, prae omnibus EULERI Institutiones ealculi integralis. a g. 8. Cum exponente differentiales quantitatum mutabilium plerum' que & ipsi quantitates mutabiles sint quae de qualibet quantitate mutabili dicta sunt ejusmodi quoque exponentibus differentialibus possunt applicari. Nominatim quaeri possunt exponente differentiales istiusmodi exponentium differentialium. Sit v. gr. P functio quantitatis mutabilis , cujus exponens differentialist . Quod si exponens hic Cipse mutabilis est: indagari pariter potest tam

a Pratio mutationum simultanearum quantitatum variabilium quam rati dxquae est limes istius rationis, atque ejus exponens Ratio, quae limes est rationis mutationum simultanearum exponentis disserentialis duarum pluriumve quantitatum mutabilium Cunius ex illis, dicatur ratio disserenitalis secund ordianis Mexponens praedictae rationis dicatur expouens disserentias,seundi ordinis.

Exponens itaque differentialis secundi ordinis unctionis δε quantitatis mutabilis x est lim πή- eadem de causa, qua prius, nempe majoris caleae lacilitatis causa, exponens iste denotetur signo m. Et hic ita etiam.

si fieri posset, a sortiori repetenda sunt, quae de simplicitate symboli hujus monui, non obstante ejus apparenti compositione. Ne quis quaerat quid sitddP, neque quid sit dat ' ullum, quod satisfaciat, obtinebit responsum. Consideret potius symbolum o tanquam expressionem unicam sui generis.

cujus termini apparentes nullam servant relationem aut nexum cum quantitatibus Δ P, lax , ex quibus incautiores mathematici eos derivare aggredi pose sent, reipsa nimium requenter aggressi sunt.

a Utu imperfectus etiamnum sit calculus integralia ea tamen est multitudo sormularum , tam quas integrare, quam quas ad simpliciores reducere lieet, formulae hae in tot voluminibus, vel a privatis mathematicia, vel ab academiis editis, dispersae sunt; ut gratam aeque ac utilem mathematicis navaret operam, qui sormulas jam integratas corΕsic WALNEsLEY exemplo), in tabulas apte disposita redigeret, quarum ope penumero a labore taedioso, superstu vaeare liceret. Dj0jtj70d by

83쪽

tabilis operationes, quae cuilibet quantitati mutabili applicatae suerunt, huic etiam exponenti poterunt applicari; nominatim quaeri poterit tam ratio mutationum simultanearum quantitatum mutabilium -- Qx, quam ratio limes istius rationis, ejus exponens. Maec ratio dicatur ratio disserentiailis tertii ordinis,& exponens ejusdem dicatur exponens disserentialis tertii ordinis. Exponens igitur differentialis tertii ordinis praedime functionis P est lim. maioris calculi facilitatis causa designatur symbolo quod pariter spectandum est tanquam signum unicum, incomplexum, non quasi compositum ex duabus partibus d Pracdxη Neque movetita est quaestio absona, quid sint termini illi apparentes; neque comparatio aliqua signorum d)P6crux cum quantitatibus Δ P lax est instituenda. Hinc sacile liquet, quid sint rationem exponentes differentiales altiorum ordinum, o ' 6 3. . . n i & quid denotare censenda sint signa illis

respondentia, a, --, . . . .

Si exponenso fuerit numerus integer postivus, series haec exponentium differentialium abrumpetur.

84쪽

Nempe existenteis numero integro positivo exponens disserentialis, cuius ordo per ipsum potentiae Aponentem designatur, sit constans & exponentes disserentiales ordinum iuperiorum evanescunt. In ceteris casibus, ubi, non est numerus integer positios, nunquam pedi venitur ad exponentem differentiaIem constantem, nec ad evanescentem. Meundum Exemplum. Sit quaerantur omnes exponentes disse

Generatim.

Tμ φῶ -', d, - e* dxni dxm- da: Identitas jam a LEIANITetro observata, fer Bero trio. coeficientium terminorum successivorum harum formularum cum cosissicientibus formulae L nominalis Newtonianae neminem attentum effugiet. Ipseque differentiationum successivarum processus identitatem hanc liquido manisestat.

85쪽

. . . . .

. . . - . .

86쪽

Ordo regularis, victa quem Osissiciente sese subsequuntur, longe pertius patet, quam si quantitas xx--- non fuisset in factores suos soluta. Utu regularis sit postrema series eo tamen casu, quo in est numerusci teger negati'us, disserentiationes successivas paulo aliter instituere juvabit. Exempli causa sit 313--I; ideoque .R- -- - - -

87쪽

g. q. Quaecunque de imperfectione calculi integralis, quod ad expone te differentiales primi gradu attinet, dicta sunt; tanto magis valent de integratione formularum differentialium secundi, tertii, altiorumque ordinum, quae nonnisi perpaucis casibus institui potest utcunque eam promovere allaboraverint mathematici, quorum hanc in rem inventa collecta exhibet celeb Eu-Rus in opere jam laudato Institutionum calculi integralis. Austrationis .exercitu causa pauca quaedam exempla facillima hic sufficiant.

Quoniain qua bet integratis introdueit aliquam quFtitatem constantem, post secundam integrationem duae occurrunt quantitate constantes Graci, quae plerumque per particularem aliquam quaesitorus conditionem determinantur.

. . . . . . . o

88쪽

heoremate, quod Taylorianum dicitur, data mutatione quantitatis mutabilis, determinatur mutatio, quam ejusdem quantitatis mutabilis iunctio quaecunque recipiti Theorema hoc tam multiplicis est in calculo differentiali Integrali usus, ut accurate explicari, inuo par est rigore, demonstrari mereatur. TAYLOR Mathematicus Anglus illud exposuit in opere suo inscripto Methodus inermem eorum directa re inversa Lond. 1715. sed ex formula g. p. Introd.)

1 e, in ς' inx' consequi tantum indicavit Plerique post illum autores supplendae huic deductioni ideam infiniti adhibuerunt, quam hoc opere penitus et inare studui. In Dissertatione inscripta Exposition elementuire des prine es des ealculi sup rietin theoremati hujus demonstrationem ad notiones claras iere eleme rares revocare allaboravi. Cum ero, quam pag. 47-5 I. proposui, demonstra- stratio inprimis autem quod attinet ad expressiones in pag. I. contentas , minus firma mihi videretur, neque mihi Omnino satisfaceret quod innui pag. ao7. aliam pag. ao8-a1o subjunxi, Academiae Berotinensis de praedicta Dissertatione judicio posteriorem quam, ill KEsTΝERU Anfavspsinde der qualisis des Genesichen, at AU. g. 14 seq. jam tradidisse postea comperi. Nititur ea hoc undamento, quod functio quaelibet quantitatis mutabilis serie potentiarum hujus quantitatis in constantes quasdam ductarum exprimi possit, qua reductione admissa, demonstratio haec mihi plane satisfaciti f. 31. Primus usus. Sitis potestas quaecunque quantitatis mutabilis , quae fiat Φb; ita ut x fiat x in Iam vidimus g. e. Introd. esse cae b)n- en in ben-ib in L. V enm b in I. . . ben-3b in ...ixR 4M . . . I 13 1

89쪽

dx'1.ad e I...3da: cita. dx' 1. . . si es Proinde existente P potentia qualibet quantitati mutabilis ac valor hujus potestatis, respondens mutationi propositi quantitati mutabilis x exprimitur per hanc mutationem , per exponentes differentiales ordinum successivorum ipsius illius potestatis & quantitatis mutabilis c. g. a. Seeundus usus. Functio proposita P quantitatis mutabilis ae aut sit immediate ex potentiis quantitatis mutabilis ac composita, aut ad eas reducta. Scilicet sit - - DB- q. seu si P - r . . . . . . ubi Q, S, V .. -- - sunt potentiae quaelibet quantitatis mutatissis , cosissicientibus datis affectae.

dictarum unctionum, quo recipiunt, quando ac accepta mutatione b, fit τε b.

90쪽

a I.a da: I .a.3 dx 1.. da: I...5 da: Proinde, admissa functionis cujuslibet quantitatis mutabilis in potestates quantitatis hujus decompositione, rigorose omnino theorema Taylorianum demonstratur. Desiderari tamen poterat, ipsum, reductione illa non supposita, sufficienter stabiliri quod in Dissertatione inscripta Theorematis Tayloriam demo stratio Tubingae 178'. praestitit lar PFLEIDERER, postulando tantum, ut tionem P unctionis P, quae est functio mutationisis e variabilis , talem esse, ut xprimi possit per potentia hujus mutationis, quarum exponentes sequun