장음표시 사용
131쪽
tinue crescunt qui vero hos sequuntur termini, continue decrescunt rapidius quidem quam in progressione geometrica. Etenim tres termini successivi. Φm,pΦm, Ap m I p min 1 Ad minas m a
-- itaque summa terminorum ab hoc termino decrescentium minor est quam
P . seu ' mi Proinde utut magnus sit numerus
I .a.. 'li' GHI .a...' ΙΦΙ--, saries haec ultra certum limitem non excurriti Ceterum quod ad applicationes seriei hujus attinet latendum, eam usus facilis esse iis tantum casibus, quibus a I. g. 57. Applicationum quarundam hujus serie gratia, quae deinceps exponentur, e re erit in ejus naturam penitius inquirere. .
r Z quorum numerus proinde etiam uillas in limes producti
132쪽
Atqui, quo major , eo minores sunt factores sequentes 1 - 2 Qeo
majores sunt denominatores I. a...pΦm a terminorum successivonum p proinde a sortiori series I 4ΦZ-- .... est limes seriei
dius decrescunt quam in progressione geometrica, cujus exponens tum quia actores successivi denominatoris pina, ΤΦs, ΦΑ .... Φm majores sunt lactore Φ1 tum etiam quia sectores numeratoris I a, re ....
i tetra fiunt continue minores & proinde, sortiori summa omium te
133쪽
euius limes est Ay''a- . - quaecum minor si quam litate n--κα - , poten redin minor quacunque quantitate I. a. . . Plm-- 'I proposita. Proinde tandem in omni casti series xε-- Ληα pa A'a' - .... limes est seriei, quae orb
tur ex quantitate cx--λ evoluta, seu est limes hujus quantitatis. g. 58. Quoniam a exponens est rationis a i as exponens est rationis a lin. Scilicet ratio o componitur ex crationibus ipsi rationi a xaequalibus seu a metitur rationem o o)η. Hinc a diciturigarithmtis ratio, ius a xy seu missis consequente , communi & constanti, a dicitur togarissimus ipsius u , quatenus logarithmus ipsius a est unitas. Quantitas a dicitur bus Iogarithmica quantitas is autem dicitur modiatis. Diversitas system tum logarithmicorum pendet a basiis proindeque etiam a modulo A. Basis itaque a modulo ta pendet, ut sta, A A A A A in
Systema togarithmicima huic suppositioni respondens dicitur systema naturale, seu etiam hyperbolicum atque inter mathematicos convenit, tam a hujus systematis per litteram a designare.
134쪽
135쪽
Proinde exponentes differentiales omnium ordinum quantitatis exponentialisa exponentisque Hu a sequuntur progressionem geometricam, cujus expone est ipsi A aequalis.
Αdhibita methodo reversionis serierum invenitur modulus A per basim a m. pressus. Potior autem mihi videtur usu sequentis methodi, qua simul togarissimorum ipsorum expressiones consequimur. Qnoniam a - -- .fa in a in 'a' latia . . . .
136쪽
Non pertinet ad scopum praesentem, varias evolvere sermulas variaque artificia, quibus quamvis diu post inventos computatos logarithmos calculi togarithmorum compendia fuere subministrata. Consulantur hac de rescriptores, qui artificia illa exponere sategerunt, quos inter sagacissimus BERTRAND in opere suo inscripto Deuelopemen nonoem de is parti elemensaire δει -- thematiques. g. 6a. Formulam log v mi v - νε- ῆν - . . . . . consequi potuissemus per prima calculi disserentialis principia, ut sequitur.
A. Alog. I v - '-lv inqu)- v in qu - έν - . . . . . rotarium. Quantitate v manente eadem, productum alog et i ejusdem etiam magnitudinis manet. Proinde in diversis systematibus logarithmi
137쪽
0 unius ejusdemque numeri sunt in ratione inversa modulorum horum syste
Sitis basis systematis logarithmici; unde log o in log b - Ι; Observatio Modulus cujusvis systematis est logaritiamus naturalis baseos hujus systematis. Eteitim quoniam modulus logarithmortim naturalium seu hyperbolicorum est unitas, erit AElog b in log hyp. b. Sed log b I ergo A log. hyp. b. Ex D . Basilogarithmonam vulgarium seu Briggianorum est Io. Log rithmus hyperbolicus ipsius io est et soa 5859 Minc modulus logarithm rum vulgarium est et, o 585 I. Proinde si logarithmi hyperbolici per hunc numerum dividantur, oriuntur togarithmi vulgares Qvicissim, si togarithmi vulgares per eundem numerum multiplicentur, oriuntur togarithmi hyperbolici Cum autem logarithmorum hyperbolicorum ustis sit quam requentillimus; optandum sane foret, ut tabulae horum Ogarithinorum in promtu essent non minus extensae quam tabulae vulgares. g. 63. Postquam logarithmorum theoriam ex contemplatione progi essionum geometricarum primariisque earundem proprietatibus deduxi, atque ita ad calculum elementarem revocavi non inutile censeo in gratiam tironum idem subjectum paulo aliter tractare strictim ea exponendo, quae in opusculo Expytion elementatre c. de curva logarithmica susus tradidi. Do
138쪽
Definiuio Graia Agarithmm seu logistica ea est, in qua abscissis in progressione arithmetica sumptis, rectae axi ordinatim applicatae geometricam se
Corollarium. Ex definitione immediate sequitur partem axis abscissarum, inter duas rectas axi ordinatim applicatas comprehensam, mensuram esse rationis harum ordinatarum ita ut differentia abscissarum manente eadem ratio ordinatarum pseriter eadem sit & vicissim ratione ordinatarum manente eadem differentia abscissarum pariter eadem maneat. Si vero pars xi inter duas ordinatas sit dupla, tripla quadrupla quintupla, n μμ etiam rati duarum ordinatarum est duplicata, triplicata, quadruplicata, quintuplicata, nplicata. Quibus positis, sint duae ordinatae, quarum rati datur; per puncta e trema harum ordinatarum ducatur recta, quae X occurrat, seu linea secans. Dico subsecantem esse etiam datae magnitudinis.
n. 16. Sint nimirum I , a 'ρ' duae rectae axi ordinati, applicatae. Ducatur MM', quae mi occurrat in Sit ratio m M'P aequalis alicui rationi datae; dico lineam PS etiam esse magnitudine datam. Ducatur 'm axi parallela, quae ordinatae M P in m occurrat. Quoniam ratio m M'P datur ratio m MP--MP seu P M p rite datur. Sed - - - fm; ergo uati 'm datur. Sed propter rationem datam MF:MῬ', P seu M'm datur magnitudine ergo etiam PS datur magnitudine. Atqui g. o. subtangens cujusvis curvae est limes subsecantis ergo etiam, si a quocunque puncto togarithmicae ducatur tangens, quae mi occurrat, subtangens est datae magnitudinis. Quae propositio si opus foret tam diate etiam posset demonstrari, evincendo per absurdum impossibilitatem inis aequalitatis subtangentium diversis Iogarithmicae punctis respondentium.
139쪽
Proinde in diversis curvis logarithmicis logarithmi ejusdem rationis sunt in ratione subtangentium harum curvarum .s tangentes inverse sunt ut moduli systematum logarithmicorum hisce curvis respondentium g 64. Ex aequatione differentiali curvae togarithmici seu
140쪽
g. 65. Quemadmodum curva logaritiamica apta mi ad theoriam logarillimorum illustrandam ita Maliae fingi possunt curvae, quae eidem scopo respon derent. Celebris ob insignes suas proprietates apud Geometras est curva dpiratis Iogarithinica dicta. In hac curva angulus inter duos radios vectores comprehensus est mensura rationis horum radiorum undo sequitur, data duorum radiorum ratione, specie etiam dari triangulum his adiis vectoribus .chorda ipsorum extrema jungente comprehensum. Proinde data ratione duorum radiorum secans spu'alis logarithmicae, per puncta extrema horum radiorum ducta, inclinatur sub angulo dat alterutri horum radiorum; unde concluditur pers. . angulum, quem tangen spiralis logarithmicae facit cum radio ad punctum contactus ducto, constantem esse in eadcm spirali logaritiamica. Et divem sitas liujus anguli determinat systema togarithmicum spirali huic respondens. In hyperbola conica ad symptoto res ata, spatia hyperbolica inter duas ordinatas comprehensa crescunt etiam ut togarillimi rationum abscissarum. Vide