장음표시 사용
111쪽
col. 18o' AT col. III '' 'iosee. AMSit x-o erit W- proinde altero puncto , quod ductum tangentis determinet, deficiente ejus positio seret indeterminata, nisi in promtu esset angulus, sub quo tangens diametro ad verticem occurrit. Q
niam autem x - Ο f proinde col. 18o - I in cot Am; 418o' Μυ-- Ideo recta, quae parabola in vertie diametri tangit, parallela est rectis, quae huic diametro ordinatim applicantur. Etenim si fieri posset, ut recta, quae ex Vertice diηmetri alicujus parabolae ducitur parallela rectis huic diametro ordinatim applicatis, occurreret iterum parabolae sit 3 pars istius rectae intra parabolam comprehensa Esset se innis a on proinde o, contra hyp.
Crescente , quantitas continue decrescit, nunquam vero fit in o. Hinc est semper oti I 8o - PMI cot Ain. Proinde angulo in existento recto aut acuto, est semper I 8o' Pin Ἀρν QPMT M 48op. Sit autem Ao obtusus, cujus supplementum sit MPA
hinc est semper coL MI cot MVA' PNT' A rigo' MPTunde iterum P ΥΦ MPT 18o'. Τangentes ideo cujusvis parabolae nunquam fiunt diametr parallelae sed ad parallelismum accedunt eo magis, quo remotiora a vertice sunt puncta cu Vae, ad quae ducunturi
113쪽
sed ab ea differt eo minus, quo major est x seu AR Scilicet tangens MPnunquam fit parallela asymptoto P sed ad parallelismum accedit eo magis,
quo major P. Ex plum a. Sit y - - x - ση , quae est etiam aequatio hyperbola rum ad diametros relatarum. Erit num 1' -- --1 dae iam
Subtangens igitur PT semper est minor quam abstita diametri Quoniam autem e natura curvae quo major x eo minor a sortiori eo
minor 9 Proinde a potest fieri adeo magna, ut excessus, quo abscissa diametri su tangentem superat, minor fiat quacunque quantitate proposita.
114쪽
PT-- re et Signum indicat sub- tangentem abscissa sitas esse ad partes diversas lineae diametro ordinatim applicatae.
115쪽
Unde facto xm a seu 3- b, pariter est tangens priori diametro parallela. Ex praecedentibus facile solvuntur si fieri possit problemata sequentia. g. 3. P oblema. Ducere lineam reflae positione datae parallelam, quae si fieri possit curvam datam contingat. Solatio. Ducatur recta quaevis, ad suam tanquam diametriam curva reseratur per rectas huic diametro ordinatim applicatas dam ex natura data curvae determinetur ejus aequatio respectu illius diametri, inde determinetur ratio difforentialis v vel f Tum in aequatione M. Im'-T- col. P---dicosec P
datur angulus Tis eliminari potest ris hinc determinatio quantitatum se , semper reducitur ad sollitionem aequationis alicujus datae proinde problema tanquam solutum haberi potest quantum permittit imperfecta aequationum theoria). Exemplum I. Sit parabola, cujus aequptio 3 - - ρ in , ad axem relata rectis huic perpendiculariter ordinatim applicatis. Et ducenda sit recta, quae parabolam hanc tangat, laxi occurrat sub angulo dato T.
Est igitur cot T - . Sed ex aequatione parabolae est ta, P. f.
116쪽
Ex plum a. Curva proposta sit hyperbola, cujus aequatio 3 -- a. - η ;
debet esse tang. T is in x proinde tang. uti in EX. 3. g. a. g. 44. Problemo A puncto positione dato ducere rectam, quae si fieri possit curvam positione datam contingat. Solutio. Per punctum datum T ducatur recta quaevis, ad quam tanquam diametrum curva data reseratur per rectas huic ordinatim applicatas. Ex data curvae aequatione, Mitatem ad hanc diametrum refertur, determinetur ratio disserentialis' vel , quae substituatur in aequatione subtangenti PT-3 .a Quoniam dis antia puncti Tab origine abscissarum data supponitur, aequatio inde nata assicietur tantum quantitatibus incognitis x- quae cum aequatione curvae combinata ducet ad solutionem problematis propositi quousque per theoriam aequationum licet). Exemplum I. Curva data sit ellipsis, cujus aequatio 'η-- ο - ac ); punctum T situm sit super diametro, ad quam curva resertur.
117쪽
Est ideo ' - - quod indicat subtangentem Cabscissam dia-
metri sitas esse ad diversas partes ordinatae.
origine abscissarum sit Is fit I x-a f m-1-x m-I- a 3 - . Exemplum Curva data sit hyperbola, cujus aequatio em am): punctum T situm sit super diametro, ad quam curva refertur.
s hosium. Quemadmodum soluti semper possibilis est pro ellipsi, si fuerit I a ita etiam semper possibilis est pro hyperbola, si uerit , μ
g. s. aeum expressio subtangentis iratis si subtangens data suerit per quantitatem constantem, Vel per unctionem quantitatum racis ideo datus erit exponens disserentialisa per functiones earumdem variabilium,is proinde determinatio quantitatum ine pertinebit ad calculum integralem. Exempla. Sit - y hinc yν - e- - , quae est
118쪽
0 calculi autem integralis imperscctionem plerumque huic problemati quodniethodus tangentium inversa vocatur aequatione terminis finitis expressa satisfiori
nequit. Imo sunt casus nonnulli etiam simplicissimi, qui methodis huc usque εxpositis tractari non posse videntur, & de quibus inserius dicemus. Exempli causa sit erit de qua sermula, aliis ipsi maloris.
g. 6. Quaecunque sit origo curvae alicujus algebraicae, ea semper potest ad aequationem reduci inter recta coordinatas respectu alicujus diametri. Ex. gr. constantia summae distantiarum cujusvis puncti ellipseos ab ejus socis profundamentali ipsius proprietate assumta, ex illa deducitur relatio coordinatarum alacrutrius axium imo Wrespectu duarum quarumlibet diametrorum conjugatarum quod scilicet quadrata rectarum diametro cuicunque ordinatim applicatarum proportionalia sint rectangulis sub abscissis ejusdem diametri. Idem valet de hyperbola pariterque de omnibus sectionibus conicis, proprietatis sundamentalis loco sumta ratione data distantiarum cujusvis puncti ab alterutro foco la direm ice. Proinde, quae jam praecepta fuerunt de ductu tangentium, quatenus curvae ad aliquam diametrum reseruntur per rectas huic ordinatim applicatas, sufficere possunt pro curvis saltem algebraicis . Quoniam autem stequenter evenit, ut curvarum assectiones, Cnominatim proprietatese m ad contactus pertinentes, modo lucidiori simplicior ex alia quadam ipsarum origine aut proprietate deduci possint, quam si aequatio inter coordinatas rectilineas instituatur e re esse censeo, praecipua curvarum origines e pendere, & methodos tangentes ducendi iis applicare, non adhibita aequati ne qua curvae ad diametrum aliquam per rectas huic ordinatim applicatas reseruntur. Sed ut hunc scopum modo lassiciente adimplere valeam: nonnulla praemittenda sunt lemmata, quae & in sequentibus capitibus suas habebunt applicationes. g. 47. Theorema Ratio aequalitatis limes est tam rationis decrescentis a cui qui totus versus chordam concavus supponitur ad chordam quam rationis crescentis arcus ad summam tangentium per extrema ejus ductarum, concursu
119쪽
Sit AIUZ arcus curvae totus versus chordam suam concavus . Dico ex Fig. x uno arcus illius extremo A duci posta chordam in talem, ut ratio arma ALM ad chordam quae semper major est ratione aequalitatis minor fit quacunque ratione proposita majoris ad minorem; item, ut ductis ex s& altangentibus, quae sibi mutuo occurrant in N, ratio arcus in ad summam AN ΝΜ duarum tangentium quae seinper minor est ratione aequalitatis major sit quacunque ratione proposita minori ad majorem. Sit ratio proposita majori ad minorem ea, quam summa crurum alicujus
trianguli sequicruri ED habet ad basim CD seu ratio minoris ad majorem ea, quam habet CD ad γε m. Ad punctum a ducatur tangens BA, chorda AZ, quae faciat cum tangente A angulum AZ ipso CED maj Hem. Tum c g. 43. ducatur arcui in tangens chordae AZ parallela, quae ipsis occurret Sit in V. Nico factum. Etenim super CD, tanquam basi, constituatur triangulum CE'o ipsi ANAE
Proinde g. I. ratio aequalitatis limes est rationis decrescentis cujusvis arcus ad suam chordam ωlimes rationis crescentis ejusdem arcus ad summam tangentium, quae ab extremis arcus ducuntur, Coccursi suo mutuo termi
g. 48. Corollarium I Nominatim ratio aequalitatis lunes est rationi de
120쪽
crescentis arcus circuli ad suam chordam; proinde etiam dimidii arcus ad
dimidam chordam, seu arcus ad sinum rectum. Corollarium a. Rursus ratio aequalitatis limes est rationis crescentis arcus circuli ad tangentem ejus trigonometricam. Ceterum corollaria haec de circulo potuissent ex propositionibus Ancm-ΜΕDis de figuris ordinatis, quae circulo inscribuntur .circumscribuntur, deduci.
Corollarium a Posito igitur sinu alicujus arcus , ipse arcus unctio est sinus hujus formae quae deinceps accuratius determinabitur ι -- Φρ εο ραβε ideoque ratio arcus circuli ad sinum rectum est 1Φ h AE' Cry- μ'Φ... ratio aequalitatis est limes hujus rationis decrescentis 2 18. Item sit e tangens trigonometrica alicujus arcus circuli, erit arcus functio tangentis hujus formae ---φ- - 3 Fo in 'Φ Atque ratio arcus ci culi ad tangentem trigonometricam 1 - - ΦBt' o Φst in .... I. Hujus rationis crescentis limes est ratio aequalitatis 3 18. Vicissim, posito arcu circulia, erit , -- ΦBtῖΦCry-Dt -
Α - Β'ar ca εἰ 'a' l . . . . Sed haec satius est sequenti modo deducere. Ratio chordae ad sinum versum potest fieri major quacunque ratione data. Etenim ratio radii dupli ad chordam aequalis est rationi chordae ad sinum versum sed prior ratio major reddi potest quacunque ratione data; ergo posterior. Hinc etiam rationes arcus & sinus recti ad sinum versum possunt reddi majores quacunque ratione data. Et ratio aequalitatis limes est rationum, quas sinus rectus, chorda arcus habent ad summam aut differentiam quantiatatum harum & sinus versi imo & quantitatum, quae ad sinum versum datas habent ratione g. 18.