장음표시 사용
71쪽
g. 1. oranin Sint duae quantitates datae. limite duarum quantitatum mutabilium. Multiplicentur in se invicem tam quantitates datae quam quantiatates mutabiles. Dico productum ex priore multiplicatione ortum esse limitem posterioris producti. Sint m&B duae quantitates datae, in X dc duae quantitates mut
biles. quarum limites sint A Dico productum B esse limitem producti M. Primus Uus Sint quantitates AH B limites quantitatum decrescentium
72쪽
32Sed ut prius, ta est limes quantitatis crescentis AB---Bx
g. a. Lemma notum. In om proportione geometrica continua summa terminorum extremorum major est termino medio bis sumto. Corollarium I. In omni proportione geometrica continua excessu quo in 'Aimus terminus medium superat, major est excessu quo terminus medius superat minimum. Corol-Dj0jtj70d by
73쪽
Corollarium a. Sit progrossi geometrica crescens disserentia duorum te minorum contiguorum crescit inde a minimo usque ad maximum. Corollarium 3. Sint duae progressiones crescentes, una geometrica, altera arithmetica, quae duo primo terminos habeant communes, & quarum terminorum numerus idem sit reliqui termini progressionis geometricae majores sunt leoninis progressionis arithmeticae aequo ab extremis distantibus. Idem a somtiori valet, si terminus secundus progressionis geometricae major sit termino secundo progressionis arithmeticae. Corollarium . Sint duae progressione crescentes, una geometrica, altera arithmetica, quae duo termino extremos h. e. primum Culthnum communes habent, quorum numerus terminorum idem sit. Reliqui termini progressionis geometricae minore sunt terminis progressionis arithmeticae aeque ab extremis distantibus. Theorema. Datis duobus terminis extremi progressionis geometricae, numerus terminorum ita potest augeri, ut minoris 'minorum datorum, te mini huic proximi disserentia minor sit qualibet quantitate data hoc termino dato minore .
Sint duo termini dati, quorum P minor & sit o quantitas data.
Sumatur disserentia Q-P terminorum in P. Repetatur quantitas data a toties, ut superet disserentiam Q-P sitis numerus vicium, quibus repetita suit. Dividatur disserentia Q- ino partes aequales. Tum inter terminos datos P inserantur 'ermini continue geometrice proportionales. Dico factum. Etenu inter duos terminos inserantur totidem termini, continue arithmetice proportionales sint si si 'termini ipsi proximi in progressione geometrica Marithmetica. Erit per Coroll. 4. praec. p p' ideo p- ραρ - P. Atqui per constructionem 4' P mis ergo a sortiori p--P a. Corollarium . Terminus itaque datus limes est quantitatis mutabilis p; proinde ratio aequalitatis etiam limes est rationis crescentis P p g. 3. Corollarium a. iis terminus, qui terminum Q immediate praecedit. Quoniam : - Q, ratio aequalitatis etiam limes est rationis crescentis Q.E seu
74쪽
3 k limes rationis decrescentis Q g. Io.) Proinde quantitas datas pari, ter est limes quantitatis mutabilis crescenti g. 3. .
Tatio aequalitatis est limes rationis submultiplicatae rationis cujuslibet prόp
lim a - 1, quaecunque sit a sive major unitate, sive minor eadem. Scholium. Breviter adhuc, quae illustrandis tum praecedentibus quibusdam, tum sequentibus necessaria sunt, de quantitatum, quae majores aut minores fieri possunt qualibet quantitate proposita, potestatibus exponentis dati adjungam. 1'. Sit a quantitas, quae major fieri potest qualibet quantitate proposita; .stis exponens datus integer postivus Crescente a crescit a sortiore pol stas an & proinde a sortiori potestas a major fieri potest quacunque quantitate proposita. Sit autem exponens datus numerus fractus formae seu proponatur sum 'ctio Uz Quaecunque sit quantitas proposita , fiat et tum fiat quod
inde m im erit etiam aliis . a. Si autem exponens datus fuerit numerus negativus; seu si unctio proposita suerit . : crescente a functio haec minor reddi potest quacunque quanti
tate proposita. Etenim proposita sit quantitas, fiat per casum primum ' a;
75쪽
a'. Si quantitas a talis, quae minor reddi potest quacunque quantitate proposita dico, etiam quamlibet ejus potestatem τ' posse quacunque quantitate proposita fieri minorem, si, fuerit numerus positivus; contra eandem qua titatem fieri posse quacunque quantitate proposita majorem, is fuerit numerus negativus.
Casus hic ad primum facile reducitur. Quoniam enim a potest quacunque quantitate proposita fieri minor L proinde etiam' i major fieri potest quacunque quantitate proposua; unde a minor erit quacunque quantitate proposita. CAPur SEcUNDUΜ.
De rationibus disserentialibus et interratibus.
it x potentia quaecunque quantitatis variabilis . sit etiam im ide, pr ductum ex eadem quantitate mutabili per quantitatem datam M'i. Quantitas variabilis crecipiat mutationem quamcunque x unde duae quantitates an Ix is fiant R ac Φ 0- xΦΔx ' proinde praedictae quanti
76쪽
g. et . Maximopere vero cavendum est, ne credamus symbolum H , quod formam magnitudini ex duabus e positae prae se fert, revera esse symbolum compositum ac designare fractionem, cujus termini sint . A quasi d. x ωd denotent certas quantitates, Qui ita dicam, minuscula miniatures quantitatum Verarum Δ. πη lax aut ne credamus, ex aequatione d posse deduci hanc d. x in xi id ac Expressio incomplexa est atque peculiaris, ad desgnandos exponentes limitum rationum multane rum quantitatum mutabilium incrementorum facilitatis causa introducta: Qquamvis vestigia conservet originis suae V signa d. x & dx gli ,
latim spectata nullam amplius ad quantitates veras . Ah relationem bere firmiter tenendum est. Quae monita eo magis urgenda esse censeo, quod doctrina haec quaestionibus nonnullis inanibus fuit exagitata quae ne motae quisdem fuissent, si ad genuinam symboli illius indolem Mathematici semper attem dissent. a Hoc exemplo praeeunte, quae sequuntur definitiones, acile intelligentur. f. q.
77쪽
g. 5. Definitiones Limes rationis mutationum, qua duae pluresve qua titates mutabiles simul suscipiunt, dicatur earum ratio disserentialis & exponens hujus rationis dicatur exponens disserentialis. Operatio, qua exponens dissere tialis quaeritur, dicatur disserentiatio. Item calculus, qui occupatur rationibus differentialibus investigandis, dicatur Metilus disserentialis. Si P unctio quantitatis mutabilis x exponens differentialis harum quam litatum designetur Item sint &s duae quantitates mutabiles quaecum
que, exponens differentialis harum quantitatum designetur Et symbola - - . . . . spectentur tanquam signa simplicia, nulla apparentis ipsorum
compositionis ratione habita. Hinc, si est potentia ordinis cujuscunque u quantitatis mutabilis , d P nxn- g. 23. Pariter sit inpotentia alterius ordinis minuantitatis mu-
d Mor attacher ne ida nette et precise dram dae , et a sue es e ressions Agni ni quiaque, se par elles-m es et induendamment les une des uires. cum nuperrime vir adeo sagax erusmodi difficultatem moverit, e re proiecto esse ce sendum est, in limine, .cum prima illius signi introductione, lectorem de vera ejus significatione monere. Dj0jtj70d by
78쪽
dx dx xdx clx clxd dx dx dx Et sic deinceps Scilicet exponens differentialis producti quotcunque quantitatum mutabilium, es alius cujuscunque quantitatis mutabilis ac, aequalis est summae productorum omnium priorum quantitatum ma Xcepta. per exponentem differentialem hujus quantitatis praedictae quantitatis . Eademque regula applicatur ad investigando exponentes disserentiales quantitatum fractarum.
Exponens hic differentialis obtinetur etiam modo sequenti.
79쪽
Hoc est multiplicetur denominator fractionis per exponentem differentialem numeratoris, ab hoc facto subtrahatur productum numeratori per exponentem differcntialem denominatoris oritur exponens disserentialis fractionis. Hisce exemplis continetur universu calculus differentialis, quatenus adsunctiones tantum algebraicas pertinet. De quantitatibus transcendentibus exponentialibus postea dicemus.
g. r. Quemadmodum ex data relatione mutua duarum pluriumve quantitatum mutabilium quaeritur earum ratio differentialis sic vicissim ex data ratione differentiali duarum pluriumve quantitatum mutabilium, quaeri potest relatio mutua ipsarum quantitatum. Haec :relatio dicatur ratio integrasis operatio qua ratio integralis quaeritur, dicatur integratio; calculus, qui occupatur investigatione rationum integralium, dicatur castulas integralis. ου T
Observatio I. Data relatione mutua duarum pluriumve quantitatum mutabilium complexarum, quarum termini partim sunt constantes hi termini constantes non afficiunt exponentem differentialem. . Quare vicissim, data ratione diffe-Dj0jtj70d by
80쪽
M differentiali duarum pluriumve quantitatum mutabilium, non unica ei respondet ratio integralis; sed haec ratio, praeter quantitates mutabiles per rationem disserentialem determinatas, assumere etiam potest terminum constantem, qui vulgo peri designatur.
XX Quantitas haec constans C, quae rationis disserentialis tantum ratione habita, est indeterminata, plerumque per naturam quaestionis propositae determinatur. d P Exemplanti Sit -- cx- quaeratur ratio integralis huic rationi differentiali respondens, talis, ut ratio illa evanescat, quando acina. Ideo P C- x-αγ- Atqui quantitas I x - , - evanescit,