장음표시 사용
141쪽
g. 67 Supposita formula disserentiali et Q ex illa deduci pes
142쪽
g. 68. Ad se tuas differentiates, capite hoc traditas, reducuntur plurimae aliae formula disserentiales quae proinde integrabiles censentur, tabulis togarithmicis in promtu habitis quod paucis exemplis ostendam. Si ' r x fiat xx- - Σ-xP hinc -- a-x se;
Formulae autem Ucxxim integratio obtineri potest imme-
diate neque pendet a togarissimis. g. 69.
145쪽
-- ἔ- Et log. I Ἀ-x-έ e*-lx - lx' lxβ- . . . . ut prius g. r. g. o. Dixi g. 78. , mblema inversum tangentium ad formulas dissi rentiales logarithmicas stem etiam in casibus simplicissimis reduci. Exempla. 4'. Quaeratur intro, cujus subtangens datam habet ad abstin
hines clog. - log. - log. - log. Cy quae est aequatio ad parabolam, si mrat quantitas positiva ab unitate diversa ad lineam rectam, si m- 1; in hyperbolas sim fuerit negativa. seu si subtangens Cabscissa ad diversas ordinatae partes si sint. a'. Quaeritur curva, cujus subtangens est constans.
Erit ideo , i log. - , quae est aequatio ad logarit
146쪽
Io6g. 1. Priusquam huic capiti coronidem imponam paueissimis attingam quaestisne inter mathematico nimium celebrem, de natura togarithmorum quantitatum negativarum quae quaestio nequidem mota suisset, si algebristaea legitima quantitatum homogenearum desinitione Euclide non recessissenti
Scilicet rationem inter se magnitudines habere, dicuntur, quae umpsitatae se invicem
superare o sunt. Jam vero quantita cita dicta negativa, quotiescunque multiplicetur tib est juxta genuinari multiplicationis notionem, quotiescunque sibi ipsi addatur, sh tepetatuo, unquam superabit quantitatem positivam. Ergo nulla d.tur mi inter quantitates sic dictas positivas & negativas.
Nodus autem solutionis hic est. Algebristae ad quantitates ipsas transi ierunt, quae ad signa tantum pertinebant: omnes quantitates in se spectatae sunt positivae, sed tantum aliae aliis sunt oppositae hanc oppositionem per signa Φ, , designatam non licebat ad quantitas es ipsas transferre, Qqua duos ordines quantitatum hoc respectu constituere. Quaestionem hanc lucide admodum enodavit, & ad genuina principia revocavit illustris AEs Envs Leipaiger
De funcitionibus trigonometricis arcuum circularumng. 2. nalogia, quae inter quantitates exponentiales aη iunctiones trigonometricas arcuum circviarium, quales sunt sinus, cosinus, tangentes c. intercedit, jam dudum sui a mathematicis observata. 'indamenta autem analogiae
hujus methodo latis elamentari Iucida quod sciam exposita non fuerunt; qua id me praestitisse arbitror, sinus is inus cujusvis arcus circularis expressio-
147쪽
Ia7 pressionem per hunc arcum iisdem omnino vestigiis indagando, quibus in praecedente capite insistebam. Cum sin. ejusmodi sit ipsius a iunctio, quae evanelait posito a s; ratio aequalitatis limes sit rationis decre*entis, quae arcum inten& sinum ejus intercedit: sinus cujusvis arcus a est unctio ipsius a talis Et quoniam cosa est unctio ipsius a ta lis, ut fiato, quando a s misnor autem sit unitate, quando a restit ab ero inde usque ad quadrantem: erit cos a functio ipsius a talis cosa δε- Aa ΦΒα--ca FDὰ E, V . . . .
Iam vero in his aequationibus primus terminus omnium membrorum pri rum, si juxta suppositione g. 7a in series explicentur, est Ia pariter atque primus terminus omnium membrorum posteriorum, qui igitur per se congruunti Sumtis disterentiis secundis erit S. t. Introd. - a sin. Vasin. a - - Δ' 3 .. I My ΦΔI4 . . IDM - Δ'' 33. . . IDC dAE . . . a M. Jasin 3 - - .. 'M 'Φ Δ 'ia. a ')Ba ΦΔ' '.. a DCa' . . . a sin. ρέosin.4 - --χ5 ..3 'ΦΔ' 5 ..3ὸ βαῖ ΦΔi5 ..33 Ca 'Φ. . .
148쪽
Io8 Atqui primus terminus omnium membrorum priorum, si juxta g. a. in series explicentur, continet tertiam potestatem et arcus mutabilis a ita ut membra haec evoluta secundam arcus hujus potestatem a non contineant: proinde posteriora etiam aequationum harum membra potestatem a non continebunt. Sed in posterioribus membris coEfficiens potestatis secunda a est an P - .aA: proinde . a s - , CP - . Eodem modo demonstratur in serie sin. a-a--Aa ΦBa Φει - Da - . . omnes deesse arcu mutabilis potestates exponentis paris. SciIicet sumtis differentiis ordinis m, quae sunt εχῆ sim. Iasino G. t. Introd.), primus torminus omnium membrorum priorum continet potestatem am- ita ut in his membris desit potestas par a m. At vero primi termini omnium membrorum posteriorum continent hanc potestatem parem, assectam coEfficiente, cujus unus factor est constans ΔaMnam αα I. a. 3. . . am g. q.Introd. . Quare cum potentia haec exponentis paris ex secundis etiam membris debeat exulare, alter coefficientis illius factor evanescat oportet; proinde series, qua sinu per arcum exprimitur, hujus est sermae sin. Σ - - - M' CZ - μ' -- ....
Sumtis disserentiis tertiis erit g.
a Vin. yl acosa - Δχ6 ...33)-3-Δχ6 . 3β Ba - esl6 ..37 Cay - . . . . Quoniam prunus terminus omnium membrorum priorum juxta f. a. in series evolutorum est et , erit etiam primu terminus omium membrorum posteriorum lay Sed g. pDuroi any o. a. 3k ergo 1 - 1. a. 3A,
149쪽
Eodem modo sumtis differentiis octavis,A deinceps nonis, erit 1Σ - Δ n'Da' o. a. . . 'm' undem
Hinc sumtis differentiis primis erit
150쪽
i IoQuoniam autem f. 72. primus terminus omnium priorum membrorum non continet primam potestatem et arcus mutabilis a prima haec potestas deerit etiam in posterioribus membris; unde erit A in o. Eodem autem modo, quo prius pro sinu factum fuit, demonstratur omnes potestates impares quantitatis mutabilis a evanescere. Scilicet differentiae o dinis imparis am- membrorum priorum sunt et- sim. in ita sin. ; proinde primi termini horum membrorum evolutorum continent potestatem parema arcus mutabilis a mombra ergo priora harum aequationum non cootibnent potestatem imparem in arcus et unde & membris posterioribus potestates hae impares debent exulare. Sed primi termini horum membrorum sunt ΔaΜΦInam Imamini, seu I. i. . . am L lui*Minio proinde I. a. . . am Las, It in o. Cosinus itaque per arcum exprimitur serie hujus sermae, quae pares tantum potestates ipsius a continet.
cosa - 1 - - Ca - α - α δ' - . . . . Sumtis differentiis secundis erit