장음표시 사용
161쪽
Quoniam autem haec aequatio semper obtinet, limites etiam membrorum
ejus sunt inter se aequales Atqui aucto Q 9 57. limes prioris membri est & g. 3. limites factorum H coti* sunt respective '
Ergo g. r. limes posterioris membri est
g. Per theorema Cotesianum f. ad. Introd. ost
162쪽
c in haec aequatio semper obtineat, limites etiam membrorum ejus lint inter se aequales g. 4. Atqui crescente n limes differentiae
163쪽
Ergo G ai. limes posterioris membri est
164쪽
Aucto actorum numero haec resolutio ad longe plures alias sormula e tendi potest. g. 87 Sit etiam formula e -- acosa p*m in actores resolvenda. Iuxta g. . Introd. est ci a IΦ I,-- cosaφε I--
165쪽
166쪽
Eadem expressio eodem modo deducitur ex resolutione in factores formulae '-- aa*ηb Rcosa Φ ba Schosium. Quoniam applicationes formularum hoc capite demonstratarum tam ad summationes plurimarum serierum, quam ad varias expressiones sunctionum circularium togarithmicarum ab ULER aliisque mathematicis ita traditae sunt, ut nihil, quod desiderari possit, relinquant mihi sufficiat, eas ad vera sua principia revocasse, deductionem ipsarum ab indeterminata
obscura infiniti notione liberasse. Vid inter alios EULERI Introdumo Cap. IX. X. XL CAPUT AEONUM. De infinito, quod vocant, mathematico. g. 88. Rcxx. Sit elipsis conica, cujus aequatio est yy - - - ac , abscissis axis ex e re sumtis Ducta tangenteram, quae ax in occurrat, fit '-- - 0 g. a. . Fiat oκa erit PT - - o)--- - έκα
167쪽
IazG-ratis. Sit ellipsis cujusvis ordinis, cujus aequatio 3 - am- em :erit PT - - ας ); sacto - Μa, eriti PT--a κ . Cum expressiones Z- - frequentissime a mathematicis usurpentur, in calculis praesertim superioribus saepius occurrant e re esse censeo priusquam ulterius progrediar Veram horum symbolorum significationem expendere, meam de illi sententiam profiteri eo magis quod de indole ipsorum inter mathematicos non omnino convenit, pluresque etiam insignes Caliunde summopere commendandi scriptores opinionem de illi amplexi sunt, quae cum sensu aeo nunt pugnare Videtur. Quod ut faciam, quantum potero, accurate& luculenter, a familiari exemplo sequonte ordiar. g. q. Duo viatores. CB, dato intervallo I a se invicem distantes, in eadem recta, datis velocitatibus, versus eandem plagam progrediantur ita ut unus eorum A alterum B persequatur. Tres heic, quod ad rationem velocitatum viatorum attinet, distinguendi sunt casus.1'. Viatoris celerius progrediatur quam viator P. Hoc casu intervallum, quo duo viatores a se invicem primum distabant, continue minuitur, donec Aipsum mattingat. εαφ. Ambo viatores aequalibus progrediantur Velocitatibus. Hoc casu intervallum, quo duo viatore primum distabant, idem semper manet utcunque diu progrediantur, Quicunque magnam viam ambo emetiantur.3φ. Viator flentius progrediatur alter B. Hoc casu intervallum, quo duo viatores primum distabant, continue increscit Cranto majus fit, quo diutius incedunt. Iidem viatores aut potuerunt anterius proficisci ex uno eo demque puncto, ad plagam sit oppositam ei, juxta quam progrediuntur aut illic sibi jam mutuo occurrisse aut denique in eo puncto sibi mutuo occurrerent, si uterque retrogrederetur.
Hinc dato intervallo, quo duo viatores a se invicem distant, datisque velocitatibus, quibus progrediuntur; si quaeratur locus occursus ipsorum mutui: priusquam quaestionis propositae investigatio suscipiatur, inquirendum est, utrum
168쪽
possibilis sit, nec ne seu inquirendum est in rationem velocitatum, qua praedicta possibilitas aut impossibilitas doterminatur Algebrista autem non semperita caute procedit, neque semper praevium hoc Xamon insi ituit. Universalitatis nimio quandoque studio impulsus formulas quaerit generales, qua ad omnes omnino casus flectere satagit, ciis etiam applicare, ad quo non quadrant; quod hoc ipso exemplo patebit. Sint nimirum V v, velocitates datae duorum viatorum A, B, intervallo emi primitus invicem distantium, & juxta eandem plagam progredientium, ita ut Acipium persequatur. Velocitate V posita majore quam ν; quando viator A alterum B attingit, erit
AE I formulae hae apte omnino repraesentant casum, quo v. Algebrista autem, omnes universim casus una eademque formula complecti satagens, quaerit etiam quid juxta eas fiat, si 'Casu autem, quo V- , expressioneispatiorum ab utroque viatore percyrsorum transformantur in hanc I, 8; cubus significationem definire oportet.
Ut cum sensu communi responsum hoc algebrae conveniat, aliter illud interpretari non possum, nisi dicendo illud indicare exclusionem se impossibilitatem occursus mutui viatorum. Algebraista autem de occursu mutuo loqui pergens, dum de illo agi amplius non potest, viatores sibi mutuo occurrere in distantia infinito pronuntiat. Quae loquendi forma rite explicata nihil aliud gnificare potest, quam locum occursus mutui viatorum hoc casu assignari non posse; nec ullibi unquam viatores sibi mutuo occurrere Symbolum igitur , quod larmulis praecedentibus casui huic applicatis introducitur, de impossibilitate quaestionis nunc propositae nos monet, eodem prorsu modo, quo signa W-I, W- 1 impossibilitatem docent solutionis repugnantiam mutuam conditionum problemptum, quorum tanquam possibilium tractatio algebraica signa illa intro-
169쪽
xa' Quamdiu distantia occursus viatorum a locis, e quibus egredi ponuntur, pendet ab intervallo Diorum locorum. Facto autem Vinii, impossibis litas occursus mutui eadem manet, quodcunque sit intervallum D, quo primitus sejungebantur; absurdum esset dicere impossibilitatem hanc fieri duplam aut triplam, prout intervallum illud fit duplo aut triplo majus. Quod ad tertium casum attinet, quo V v formulae praecedentes fiunt V quae transformantur in has indicant: su
ctum occursus mutui nunc jacere ad plagam oppositam ei Versus quam viat re progrediuntur; neque in parte auteriori, sed in parte posteriori esse quaerendum. Quoniam autem casus hic ad praecipuum tractationis praesentis objectum non pertinet, breviter de eo in sequentibus agetur. Exemplum allatum adeo luculentum est, ut supervacaneum foret diutius
rei huic immorari, nisi ea, utut per se simplex, pluribus inanium loquendi modorum tricis involuta fuisset. Liceat itaque idem exemplum sub sorma tantillum diversa, eaque geometrica, Xponere. Problema generale hoc est datam rectam in ratione data producere.
Sit AB recta magnitudine data, producenda ad Musque in directione lig. 10. quae tendit ab A versus B ita ut rectae Ax, X sint inter se in ratione dat quam habent lineae a&4. Constructio. Ex unctis A, B ad easdem recta A partes ducantur duaerem Ao, Bb, sibi invicem parallelae, Cin data ratione linearum , . Iungatur ob recta, quae si fieri possit datae AB productae occurrat in X. Hoc
Ut punctum X aceat versus plagam propositam, oportet, sit - χλSedi Aa Bb, recta bo occurrit datae AB versus plagam priori oppositam pr dume. Si autem - - Bb Quadrilateri AabB lateribus An, Bb positis sibi invicem Fig. aeq. aequalibui parallelis, quadrilaterum hoc est parallelogrammum El. I. 33. ' proinde lineae AB, ab sibi mutuo occurrere non possunt Quod si parallelae esse dicam
170쪽
13odicantur rectae, quae sibi mutuo in distantia infinita occurrunt, idem erit, ac fidicatur eas sibi mutuo nullibi, seu non occurrere. Fig. aeq. Ut calculus constructioni piaecedenti applicetur, datae M per punctum bparallela agatur, quae reme minis occurrat. Iriangula ua'b, MX, BX sunt
Cum calculus hic nitatur triangulorum sub , o, o militudine, omnino existentiam eorum triangulorum supponit quae cum non existant, quando punctum a incidit in punctum , seu quando Bb; mirum videri non debet, coactam calculi ad hunc casum applicationem, utpote fundamento suo destitutam, ad impossibile deducere. Si esset punctum occursus eo casu quo Bb inter se sunt aequales; essent etiam Ax o invicem aequales cum tamen quantitate data AB diseserre supponantur. Absurdum hoc non moratur infiniti fautores, qui duas magnitudines infinitas invicem aequales manere statuunt, si una illarum vel uir que finitam patiatur mutationem. Genuinus formulae hujus loquendi sensus
alius esse non potest, quam hic Sint duae quantitates mutabiles, quorum utraque Vor reddi potes quacunque quantitate proposta re datus disserentia praedictarum quam litatum ratio aequalitatis limes est rationis deerescentis majoris ad minorem Hoc patet ex ipsa constructione praecedente. Data enim ratione quacunque m
joris ad minorem, utut parum ab ratione aequalitatis disserat; at B in , seu fiat : Bb': . s, ducta M'occurret ipsi productae in Y; siet AX': BA'- Bb' . L. Idemque facile methodo mere algebraica demons ratur. Fie. Yq. Negatio Occursu linearum AB, ob nititur aequalitate linearum Aa, Bb, ' seu valore 18o' summae angulorum BAE, OA; nec ad ejus exclusionem quicquam confert magnitudo lineae AB Qquemadmodum idea parallelismi dua