장음표시 사용
171쪽
I31rum rectarum unica est, ita etiam dici nequit impossibilitatem occursus mutui duarum linearum AB, ab majorem esse aut minorem, prouti linea AB ea major aut minor seu signum impossibilitatis De signum unicum, quaecunque sit quantitas , quacum per multiplicationis igitum conjungatur eodem prorsus modo, quo omnia signa imaginaria W- ad unicum commini mathematicorum consensu reducuntur
g. o. Geometricam problematis propositi utut elementaris evolutionem eo lubentius exposui, quod haec ipsa quaestio, aut aliae ipsi affines, sub falso obtutu consideratae, varii loquendi modis meo quidem judicio sensu cassis
ansam praebuerunt. Dicunt v gr. algebristae, lineam rectam circulum esse,
Jus radius est infinitus. Uno aut altero exemplo indicare lassiciet, quid sibi velit ejusmodi loquendi modus. Sint duo puncta positione data Notum est rectam, quae bisariam Cadangulos rectos secat lineam rectam puncta data jungentem, locum esse omnium punctorum ab his punctis aequi- distantium. Nempe non modo quodvis punctum in perpendiculo hoc situm aequi- distat a duobus punctis datis; sed etiam quodvis punctum extra hoc perpendiculum in eodem plano situm inaequat, ter distat ab his punctis.
Notum pariter est vid. APOLLONII PERGAEI Loca plana L.II. Prop. a.): Circum- serentiam circuli locum esse omnium punctorum, quorum distantiae a ductus
punctis datis sunt inter se in ratione data a ratione aequalitatis diversa. Duo hosce casus, utut inter se diversos, Mab antiquis geometris sedulo sejunctos, sub uno complecti satagunt algebristae. Cum radius circuli, cujus circumferentia est locus propositus, eo major fiat, quo ratio data, a ratione aequalitatis diversa, ad eam propius accedit Qquemadmodum ratio data ad rationem aequalitatis propius accedere potest quam ratio quaevis proposita a ratione aequalitatis diversa, ita etiam radius praedicti circuli quacunque linea data major fieri possit concludunt inde, quod, si ratio data suerit ipsa ratio aequalitatis, radius circuli fiat infinitus. Sed hoc casa locus propositus est linea recta ergo dicunt, linea recta est circulus, cujus radius infinitus. Cum autem hoc casu idea circuli necessario connectatur cum discrepantia rationis datae a ra- α tione
172쪽
tione aequalitatis, sublata hac discrepantia tollitur etiam idea circuli. Qui dicit, lineam rectam esse circulum, cujus radius est infinitus, de circulo loquitur, cujus neque centrum neque radius possunt assignari; dicit itaque, lineam restam circulum esse non circularem. Fig. xq. Scilicet sit distantia o punctorum A, B in D;- sit ratio data aequalis rationi ratione aequalitatis diversae. Secetur AB in puncto x, eademque producatur ad X usque in ratione data. Bisecetur x in Z erit Z ce trum, radius circuli propositi. Fit ac
aIgebristae, M AZ, BZ infinitas fieri, quando a b cum dieere debuissent, nullum esse radium, nullum centrum. Idem valet de aliis quibusdam locis ad circumferentiam circuli. Sint v. gr. duo puncta positione data, ad quae ex puncto quocunque agantur rectae; data sit disserentia spatiorum, quae ad quadrata harum rectarum datas habent rationes, inter se inaequales. Locus praedicti puncti etiam est circumserentia quaedam circuli APOLLONII PERGAEI Loen plana L. II Prop. q. . Sed si rationes datae sint inter se aequales, locus puncti illius est recta positione data. Unde iterum concludunt algebristae, lineam rectam circulum esse, cujus radius est infinitus cum antiqui geometrae casum hunc ab altero diversum seorsim pariter tractaverint Atque hic rursus se oster sinplicitas ideae impossibilitatis. Quemadmodum enim linea recta ita est unica, ut omnes lineae rem mutuo congruant ita etiam impossibilitas curvaturae fit unica, dum contra nullus est limes variorum graduum cumaturarug. 91 Quam de vera symbolia significatione professus sum sententiam, altero exemplo, eoque mere algebraico confirmabo.
173쪽
Hinc per stamonem, utrinque multiplicando fit
Fractio igitur --, cujus denominator actorem duplicem e-a comtinet, nequit unice resolvi in stactiones, quarum denominatores factoribus sim .plicibus e-a, - aequales sint. Sed resolutio stactionis illius necessario contune stactionem, cujus denominator est actor duplex x-a . Proponatur autem ramo cujus actorei denominatoris
x-a x-a', aut reipsa inaequale sint, aut tanquam tales tractentur. Erit
174쪽
Proinde introductiones symbolio monemur resolutionem Junctionis in stactiones, quarum denominatores sint actore simplice a -a, x-b esse impossibilem, ut jam vidiinus. Hoc casu, ut ad veram resolutionem perveniamus, conjungendae sunt duae fractiones 'μ μ b considerando actores . : . , tanquam respective
Idem dicatur de aliis stactionum resolutionibus. f. a. Transeo ad exemplum geometricum, Crei praesenti omnino accommodatum.
Cum in omni triangulo restilineo angulorum internorum summa aequalis sit duobus rectis is detur summa duorum angulorum internorum, ad trianguli possibilitatem requiritur, ut summa minor sit duobus rectis. Proinde omnes calculi in triangulis, quorum summa duorum angulorum datur, instituticum hac propositione fundamentali debent consentire. Sit triangulum, cujus latera sint A, B, C; anguli ipsis respective oppositi Anguli b&e,, latus A dentur magnitudine erit aran. sin. - in. b
175쪽
Sitis 2 18o' lineae νω fiunt parallelae sublato linearum B, C mutuo occursu, simul evanescit omnis idea tam anguli, quam trianguli &es terum illius; imul omnia ruunt undamenta propositionum, quae nonnisi de triangulis actu exis entibus possunt praedicari. Algebrista autem nimio univer ' salitatis sudio formulas praecedentes etiam nunc conservare, & ad eum quoque casum sectere aggreditur, in quem quadrare non possimi. Cum scilicet positob - - 18o', proinde n. b formulae praecedentes fiant pronuntiat verticem trianguli etiamnum ficti ab latere A inm
nite disi are, ipsaque latera B CC infinita fieri. Hic autem loquendi modus meo quidem judicio aliter tolerari non potest, nisi quatenus impostabilitatem asserat trianguli, cujus duorum angulorum summa st duobus rectis aequalis. Haec autem impossibilitas a valore summae angulorum unice pendet, quaecunque sit rectae A ipsis adjacentis magnitudo, 'uicunque sint anguli b, seorsim sumti. Attamen si formulae, quibus trianguli latera determinantur, huic etiam casui applicari possent, quo deest punctum occursus impossibilitas determinationis laterum trianguli etiamnum ficti diversa appareret, pro diversa magnitudine tam lineae Pq, quam angulorum binis, juxta formulas u in Aillast,
C- A U Unde sequeretur, incas ab uno eodemque puncto iuxta datam dia
rectionem ductas esse inter se magnitudine uilibet diversas, eo momento, quo infinite esse dicuntur. Idem luculentius etiam patet, quando formulae, quae erae sunt de superis ficiebus triangulorum, spatiis applicantur, quae jam non sunt triangula. Superficies trianguli, cujus latera Canguli sunt ut prius est
transformatur in hanc lA Proinde si formulas, quae de spatiis finitis
verae sunt, spatiis etiam illimitatis applicare liceret spatia illimitata inter duas rectas
176쪽
rectas parallelas extensa serent in ratione duplicata distantiarum harum parallelarum, cum spatia haec inter se esse in ratione simplici harum distantiarum tradantur. g. 3. it hactenus dicta, quantum fieri potest, distincte curvarum doctrianae possint applicari a curva in elementis considerata, circulo nempe, ordiar. ει--- Sit circulus, cujus centrum C radius CPq- Ex puncto Is ducatur ta gens AT quae radio C producto in occurrat seu sit πι ipsi o perpendicularis, atque ex eodem puncto M demittatur ΜP perpendicularis radio A. Sit in x erit CT Expressio haec ex similitudine triangulorum P. Cm deducta valorem re i determinat, quamdiu ipse CT existit Ut autem proportio seu CT, institui possit, cesse est, ut CP ad Μ seu cadis aliquam habeat rationem seu necesse est, triangulo P existente linea CP non sit gero. Posita igitur CP- -οκr, symbolum C - monet non amplius locum dari subtangenti Hoc
etiam ex antedictis fluit g. a. , cum hoc casu anguli ACM, CH ambo sint recti ac proinde lineae CA, UT invicem parallelae. Idem valet de ellipsi, cujus aequatio est - Itaque iub
minari nequit Ut haec clarius etiam, si fieri possit, ob oculos ponantur, regrediamur ad definitionem subtangentis, admodum, quo determinavimus, eam esse limbrem si quis sit subsecantis. Posuimus g. 39. tangentem curvae diametro, ad quam resertur, occurrete. Intervallum quoddam datum limes est datus juxta definitione g. i. , ad quem subsecans perpetuo accedit, sed quem nunquam attingit. Sublato tangentis diametri occursu mutuo, undamenta omnia, quibus rationis, quam subsecans habet ad lineam diametro ordinatu applicam. In tam limitem determinavimus, per se labuntur. Linea ah Q, diametro pr inde tangenti parallela tangenti non amplius occurrit. Sublato itaque triangulo
177쪽
Itaque S -3. - i d. ix d)ν I. dx I.a.D Ut aliquis sit limes recta PS, oportet, sit limes aliquis expressionis ipsius; proindeque exponens disserentialis ' non si ero. Quod autem n - :symbolo P -y, fi monemur, subsecantem P ultra oninem limitem datum crescere posse de subtangente igitur non esse loquendum. Casus proinde, quo tangens aer diameter invicem sunt paralleis, tanquam singularis lanicus est considerandus. Scilicet ex puncto Μ ducatur recta quaecunque AES, quae cum tangente M angulum faciat Tm utcunque exiguum. Recta hae M occurrit diametro AP, cum summa angulorum SMP.SPm minor summa angulorum T P, MEA) minor sit duobus rectis eademque m curvae etiam in altero puncto M occurrit cum jam recta re curvam in puncto M contingere supponatur . Imminui angulo ψ, lineae ata, Screscunt quidem; veruntamen magnitudo illarum definitur per hunc angulum. Neque dici potest juxta definitione g. I. praedictas lineas limitum esse capaces, easdemque a lineis magnitudine indeterminatis seu neque datis neque dabilibus minus dissere posse, quam ulla quantitate proposita. g. 4. Quoniam requentissime a mathematicis usurpatur semesa para-holam esse ellipsin infinitam, seu, cujus axis est infinitus e re erit geni inani Iocutionis hujus significationem declarare quod pluribus mstabo modis, ut . quae de hoc exempla monuero, facilius possint ad alia similia applicari.
178쪽
233 Cum nempe modos inter genestos sectionum eonicarum tres sint praecipui, ad quos reliqui sacile possunt reduci unumquemque illorum seorsu expendam. xφ. Sectio conica reseratur ad secum ad directricem. Noax. Sit AB recta positione data, & sit F punctum positione datum & desciti benda sit ellipsis, cujus secus in directrix o, data ratione distantiarum singulorum ellipsis punctorum a soco F la directrice AB. Ex puncto F demittatur in m perpendicularis D, quae secetur in Minratione data erit S vertex aris transversi sectionis, soco 'vicinior. Quoniam sectio conica proposita debet esse elliptica ut vertex alter secti ni seu eiusdem axis determinetur, producenda est recta DF in ita ut m 'in m quoniam DS debet esse major quam FS . oportet, sit m Seu ut sectio proposita sit elliptica, ratio data distantiarum puncti cujusvis sectionis a directrices a soco debet esse ratio majoris ad minorem. Quo posito erit m axis transversus ellipsis bisecta autem n in C, erit in dimidius axis transversus, & CF excentricitas. Sit D in d; sitque ratio data re SD - b: erit AEF - SD aea b a b SῬ-d S'D-dκ-L
CF - quadratum dimidii axis secundi F SῬα ω, --: f. cQuando ratio datara: est ratio aequalitatis punini S C, 'non amplius possunt determinari seu punctorum horum positiones sunt impossibiles, & rect rum G SC, O magnitudines pariter fiunt impossibiles scilicet curva descria henda non amplius in se rectu rit, ac proinde praecipuum nrvarum ellipticarum caracterem amittit. Curv itaque hoc casu desinit esse elliptica; sed est curva
179쪽
sui generis, parabola nempe, quae neque centrum, neque alterum lacum, eisque alterum verticem habet. Qui dicit, parabolam esse ellipsin, cujus centrum a soco infinite distat dicit, parabolam esse ellipsin, cujus centrum assignari nequit, seu cujus centrum nullibi existit, seu quae centrum non habet Parabola igitur esset ellipsis non elliptica quod sensu caret. Parabola igitur curva est non elliptica, sui generis. Impossibilitatem positionis punctorum S i, magnitudinis rectarum H, C, FH indicant sermulae praecedentes; quae posito impossibilita. tis signo Passiciuntur. Quemadmossim autem ratio aequalitatis limes est rationis decrescentis, joris ad minorem, ita etiam ratio aequalitatis limes st rationis distantiarum e jusvis puncti ellipsis a directrice la soco huic proximo. Unde parabola limes est ellipsium eandem directricem eundemque lacum positione datos habentium. eodem prorsus modo, quo circulus limes est figurarum ipsi inscriptarum aut cidicumscriptarum. a'. Sectionum conicarum originem in ipso cono contemplabor.
Sit A ' sectio coni recti v. gr. , plano per axem transeunte facta. Sit Ju M. Sm coni hujus sectio plano priori perpendiculari facta, quodque lateribus A, in punctis occurrat. Erit igitur sectio communis utriusque plani α' axis transversus ellipsis, & expressio axis hujus est Quamdiu angulus 'SA major est angulo C planim Sin lateri Cis occurarit proinde tam puncti S positio, quam rectae n magnitudo determinatur, festio est elliptica utcunque parum angulus μ' major angulo G ab hoc an .gulo differat. Atque uti angulus C limes est anguli decrescentis An quatenus angulus hic major ponitur angulo Q; ita etiam parabola, quae sectio est coni, quando angulus An desinit esse major angulo C, seu fit ipsi aequalis, limes est sectionis, quae respondet inaequalitati angulorum α' ac cessatio sectionis mutuae rectarum S iis, proindeque impossibilitas magnitudinis rectaen denotatur introductione signia in expressionem linea n . quae fit
180쪽
sibilitas rema S'P denotatur introductione signia, quando S - .a'. Consideremus denique sectionum ellipticarum & parabolicarum aequationes a parametro ipsarum pendenteS. Finas. Sit S S 'axi ellipseos, cujus parameter sit Sit mrest, axi ordinatim applicata. Ducatur S'A, cui occurrat in . Per naturam ellipsis est m*:MκPS'--:nta : '-πκρN:S PS proinde vis αὐὐκ PN. Ducatur per A recta ari S parallela, cui mi currat in Q; erit m in SP SP Nw, Quamdiu igitur curva proposita est elliptica, seu quamdiu punmim ζει- tu positione quadratum ordinatae VI minus est rectangulo sub parametro SA abscissa SP Atqui puncto P manente eodem quo major est recta n eo minor fit recta Q ααπκ quemadmodum nullus est limes magnitudi
ni rectae S . ita etiam nullus est limes parvitatis rectae NQ; seu parameter SP limes est rectae N αααμ- MD, Crectangulum SA SP limes est magnia tudinis rectanguli SP κ PN Ordinatae igitur parabolae unites sunt ordinatarum ellipsium per eadem axis puncta ductarum denique ipsa parabola limes estelli-