장음표시 사용
191쪽
inde usque ad a, nullus est limes parvitatis quantitatum sy, tium asymptoticum ex altera parte ordinatae M obtinet limitem magnitudinis, nempe ab seu L BASB.
Hoc casu est etiam S ab r). Facto , o sit S. 2 ab IJu quod indicat tam contradictionem suppositionis, fieri posse ymo, quam impossibilitatem spatii asymptotici limitem laetem,
logarithmica. Proinde , ob C-log. Φα). Et quoniam S evanescit, actobe in o fit C - - log. o αβ - oblogm. Proinde spatia hyerbolica mirerescunt ut loorithmi rationum SP abscissarum. Geometricam proprietatis hujus hyperbolae conicae demonstrationem ad caurem hujus capitis differre satius mihi esse videtur, ne principalium propositi num series nimium abrumpatur Quando et I alterutrum spatiorum asymptoticorum, ordinata aliqua AB separatorum limitem habet magnitudini S. Cassi autem, quo mines, utrumque horum spatiorum majus fieri potest quocunque spatio dato. g. IOI. Quoniam curvae parabolicae & hyperbolicae magni sunt in theoria curvarum momenti haud ab re erit earum quadraturam paulo aliter invest, gare, & ad prima limitum rationum principia reducere. 1φ. Curva quadranda sit parabola ΜΜ cujus aequatio a V - Ad mna verticem S ducatur tangens SA ducatur etiam ad Is tangens curvae, quae ara5 occurrat in Ducatur ordinata 'P' per ΛΙ , ducantur ipsi rase pendiculares Q Μ'P quae ipsis Μ'P productis, si necesse uerit cistan/ ni occurrant. Rect.
192쪽
a'. Curva quadranda sit hyperbola, cujus symptotae SP, SQ cujus aequatio est y αε e)m --b. Per Μ ducatur tangens, quae asymptotis in δετ' occurrat. Sint ΜΠ m, 'p', Μ'P rectae asymptotis ordinatim applicatae. Rectae P, 'P sibi mutuo occurrant in ' rectae m M'P sibi
194쪽
Sit Sino, quando o; S-- ἱ--- - uulog.-H-έ- 'ri Observatis 1 Hyperbolae conicae ad symptoto relatae quadraturam ad logarithmos reduci superius vidimus g. Ioo.): de etiam quadratura curvae hujus ad logarithmos reduci poterit, ad quemcunque Xem curva reseratur. ipsa ex ratione differentiali U--aa
Si vero hyperbola ad axem secundum resertur, ut aequatio sit
195쪽
Observatio a. Ad duas formulas M-- - Axim, red cuntur quam plurimae aliae sermulae, quae proinde in terminis finitis integrabules censentur cum in promtu sint quadratura cappropinquata circuli, 'abula logarithmicae. Sic existent m numero integro sormulae cie aut ad duas
sormulas praecedentes reducuntur aut ad sermula ta is, U, . , uuae sunt immediate integrabiles. Sit aequatio curvae togarit alcae T 'P erit G is Sed tam
Sit S - o, quando inb; erit C mist, b o. Quoniam Wminor fieri potest quacunque quantitate proposita, limes spatii asymptotici curvae log rithmicae est M. suae formulae immediate possim ex primis limitum principiis
demonstrari. Sit aequatio generalis Icycloidum y IC arx-xa Rarc.D.V. . Facto
196쪽
156 Scilicet area cycloidis est ad aream circuli genitoris, ut νε tar; nominatim cycloidis vulgaris area est tripla area circuli genitoris. g. 1o3 Quoniam yp erit rig. 35. juxta seriem Bernoullianam
I. da I. a.3 dx I.a... da: I. a...5 dx I. a...6 dxi Cum autem quadratura curvarum una sit ex praecipuis calculi integralis applicationibus, haud alienum ab re erit formulari hanc accuratius explicare, intimi que ejus cum methodo exhaustionis nexum ostendere. Si curva quaecunque ad axem aliquem relata, cuju curvae segmentum coordinatis ferminatum denotet S. Abscissa axis in numerum quemcun-queis partium Δ c mutuo aequalium divisa, inscribantur circumscribantur curvae rectangula ad normam g. I. EX. 3. Rectae axi ordinatim applicatae, quae abscissi x x-Δx x-atac x-3Δx,ος--π. . . . c- 33-I)ως respondent, sunt respective g. 31. .
sti: I. alaa: 1.2.3 I. a.. doc I. a..5 dAβRectangula curvae circumscripta sunt respective producta harum expressi num per altitudinem communem tandemque summa rectangulorum circumscriptorum est summa omnium horum productprum, nempe
198쪽
Eademque methodo proceditur per rectangula curvae inscripta. Seholium Methodus, qua parallelogrammorum curvae alicui circumscript eum lamna determinata fuit, exempli loco esse potest methodi, qua serierum plurimarum summa juvante theoremate Tayloriano, ad potestatum munerorum naturalium summas potest reduci
g. Si curva reseratur ad aliquem secum, ut coordinata sint radii vectores, languli, quos hi radii cum aliquo radio Vectore positione dato comprehendunt quadratura curvae sic determinatae iisdem nititur principiis. Hιο6. Sit ΜΜ' curva ad lacum uelata per radios vectores of - - amgulos Sin, - quos radii vectores in m cum radio S positione dato Comprehendunt. Centro F radiis in re describantur arcus m um ut curvae inscribantur atque circumscribantur sectores circulares Μμ α Sector curvae Mo major est sectore circulari inscripto Fin minor autem circumscripto M' Cum autem ratio aequalitatis limes sit rationis radiorum Μ, M'; ratio aequalitatis limes etiam est rationis sectorum circularium M M ;&a sortiori limes rationis sectoris curvae o A sectoris circularis AE . Radius magnitudine datus sit ,- centro Fradio S describatur arcus i cularis, qui radiis Μ o in punctis x deo occurra Sit etiam risi cumferentia circuli, cujus radius est unitas: sit angulus μακ angulus M 'ma ax, sectorem curvae ram denotet S unde αμ α ΔS: Iam.Μ-' - I: I
199쪽
Exempla. Sitis rar: quae est aequatio spiralis Archimedeae. quando a mo erit Smέ re Dκ - 4- Nempe superficies spiralis AN
chimedeae crescit in ratione triplicata angulorum Sin, seu in ratione composta ex duplicata ratione radii vectoris N Cratione simplici anguli Sin, seu tandem in ratione triplicata radii vectoris M.
Superficies igitur omnium spiralium, quarum aequatio estis, sunt in ratione composita ex ratione angulorum o si psici, ratione radiorum vectorum o duplicata. Sit ν mire , quae est aequatio spiralis logarithmicae erit m gymόrreo; Si rreM, By. Proinde superficies spiralis logarithmicae crescit in ratione duplicata radiorum vectorum, seu etiam in progressione geometrica. Sitis m/sec. fix, quae est aequatio parabolae ad secum relatae, in qua aequalis quadranti parametri Eriti m lis 4r sec.'ὲ τ; inde S re tang.ἱx 1εέtang. έH, H tang.ἱ τε tang. 'ἱx . g. Ios.
200쪽
abo g. Ios Cum quadratura curvarum ad secum relatarum reducatur ad i tegrationem aequationis differentialis D quadratura haec etiam potest obtineri per seriem Ber ullianam, prout in f 36. extensa suit. Erit scilicet 24 α xv
Si pus oret, eandem sermulam ad methodum exhaustionis immediate reducere, & ex primis limitum notionibus inserre liceret, ut in f Io3. g. Io6. Quemadmodum data curvae aequatio ad superficiei ipsius dete minationem conducit ita vicissim cognitio hujus superficiei potest relationem coordinatarum curvae suppeditare. Quod paucis exemplis illustrare lassiciat.