Principiorum calculi differentialis et integralis expositio elementaris

181쪽

3 ellipsium eadem parametro descriptarum, ad quem curvae hae eo propius accedunt, quo major fit eam axis transversus Hinc intelligitur, quomodo aequatio elliptica D mx F--Zx , parabes, cam vidi cogitineat quatenus scilicet recta AS ipsi v non amplius occuriarente seu acta ipsi S parallela , recta V sit ipsi SA aequalis, proinde qseu Lx fit gero

Quaecunoe de relatione, quae curvas inter parabolicas Mellipticas locum habet, dicta sunt, applicari pariter debent ad relationem curvas inter paraboliaeas hyperbolicas intercedentem: quemadmodum V. gr. Ordinatae parabolae limites sunt ordinatarum crescentium ellipsium eundem verticem eandemque pMxametrum habentium ita etiam ordinatae parabolae limites sunt ordinatarum d crescentium hyperbolarum eundem Verticem eandemque parametrum habentiunc Scilicet in aequatione hyperbolae, v - cp- Ix), parameter data Lib. me est parvitatis quantitatis mutabilis pq-alx, rectangulum sue limes est parvitatis rectanguli decrescentis x pΦ Ix); denique rectae in parabola mi ot-dinatim applicatae limites sunt ordinatarum decrescentium hyperbolarum, iisdem axeos punctis respondentium. Porro quae de sectionibus conicis dicta suerunt, acile mutatis mutandis ad alias curvas ellipticas, parabolicas, d hyperbolicas superiorum generum applis centur; quare diutius his immorari supervacaneum esse censeo. g. 5, Alia exempla, sententiam de vera symboli lignificatione hactenus expositam illustrantia, brevius perstringam.1ς Sit aequatio hyperbolae conicae ad asymptoto relatae vis ab & quaeratur punctum, ubi asymptoto cum oecurrit, seu ubi fit 1 - - ΚΜ o. Quoniam est sacto F - - , , erit proinde occursus mutuus

AEquatione x - - monemur superficie rectanguli alicujus magnitudine data, non posse unum ex lateribu ejus ita magnum fieri, ut alterum evanescat.

182쪽

a'. Sit aequatio hyperbolae conicae ad axem transversum rela ,sy - - --- quaeratur tangens, quae ari occurrat in centro C

currit, est quare distantia hac magnitudine data d, fit di I

Posita autem dino-aκo, fit x-' ωproinde impossibilis. Nulla igitur est

tangens hyperbolae, quae ari in centro occurrat sediuinum, ubi tangens ari currit, eo propius ad centrum accedit, quo punctum, ex quo tangens ducis tur, a centro longius removetur.3'. Sit parabola conica, cujus aequatio est, in Wa ;- quaeratur punmunparabolae, ex quo ducta tangens fiat axi parallela. Quoniam 3- Capa: fit L f. Iam vero G. 41. est a gens trigonometrica quae dicatur Languli, sub quo tangens parabolae axi o eurrit. Est ideo &, Fiat autem tangens axi parallela, tr Finde nullum faciat angulum cum axe: erit etiam Lini, , - - quod ita-

γ,ssibilitatem arguit ducendi rectam mi parabolae parallelam, quae hanc curran tangatis. 6. Ne quis autem hactenus dicta male interpretetur, quasi signara. ἐγη si algebristis introducta ex mathesi proscribere velim. Quemadmodum alia impossibilitatis signa W-I, W-I, a mathematicis usurpata, pluruna investigationes urifice juvant, quae absque illorum subsidio pro intellectus humani debilitate aut impossibiles fuissent aut longe dissiciliores ita etiam haec impossibilitatis signa, i, ὁ η, adminicula esse possiuit instrumenta, quibus intellectus humanus juvatur, ut ad investigationes reales possit eniti. Dicam adeo cum omnibus algebristis generalem sectionum conicarum v. gr. aequati

183쪽

nem esse ν - plex ; quae easu, quo - - - , sit pro parabola gy- να Spero autem tirones verum illationis hujus sensum Cnexum ejus cum theoria timitum ex praecedentibus habituros esse perspectum neci introductionem sorte necessariam symbolorum , ὲ η, se oo, o proeliviores ore ad mam,tudines reales signis his substernendas, quam proni fuerint ad admittendam quantitatum quas vocant imaginariarum existentiam, quarum symbola in calis culos quasi necessario irrepunt, aut majoris saltem lacilitatis causa adhibentur.

Superfluum autem censeo, ostendendis introductionis signorum horum commodis immorari, quae frequens recentimum mathematicorum usus abunde coni probat.

g. 7. Sententiam pluribus hic expostam, quod scilicet symbolum LMmum sit impossibilitatis, breviter jam attigeram in dissertatione: Exposition erumentulae c. inprimis Cap. XI pag. 158. 159. I 65. Eandem profitetur ill KAEsu. NER in dissertatione inscripta De tramitatis in dimone geometrarum, his verbis:

is Ex vulgato tang. eruitur tangens anguli rem infinita - -

, Revera autem angulus rectus nec Osiniun habet, nec tangentem Osinivnis non habere utique dico, cum dico, ejus cosinum esse i non enim habet, is qui nihil habet. Hinc acile intelligitur, tangentem etiam habere non posse. is angentem anguli recti infinitam esse nihil aliud dicit, quam anguli ad re-- ctum crescentis tangentem crescere ultra onmes limites, ita ut cosnus insta, omnes limites decrescit. Eo momento, quo angulus fit remas, cessant notio, tangentis & cosinus hoc discrimine, quod in eum statum, ut cosinus notiqis esset, res deducta sit perpetuis decrementis cosinus in eum Vero, ut cesse is noti tangentis, perpetui incrementis tangentis. - Ac nuperrime Celeb. Abbas ΑLus in novis Commentariis Academiae urinensis T. II idem tradit judicium his aliisque verbis: Due ron demande triang. de a Dans e problemesi e Uest potncla position de , ch la grandeur de , que ilan eui. Cette

grandeur est la distancera polat 'attouchementis intersectio de la tanuis gentes de la secante, qui ait rangle a me leuaton perpendiculaire a la

184쪽

1 tangente. Ainsi, te potntra'attouchenient demeurant, a melare que 'en elo, gue elui de intersection, jessala croire t is misci nelpuis ames elob- .gner intersection Our Vol a Go', parceque intersectio de deux paral-- leles est impossibie. Or o ne eul concevoi de distance Sune intersection, que ron conςoit impossibie. Il aut Onc concevola ι impossibila Horsque B aut distingue trois cas 'impossibilit6., I'. elui que nous Venon de remarquer dansa, impossibi parce ulan, ne eul assy eloignerae extremes, qui dolvent termine la grandeur - φ. Celui ou esse est impossibie, parce qaeon ne eul aras te aprocher. donici suffra de donner Our exemple la colangente de 'o'. , 30. Celui ou uides Xtremes deuroit ire e mome tem des deuic . dis opposta de rautre Vestae in des imaginatres, doni rimpossibilit a to is oum et reconnug. - g. 8. Admissis, symbolum signum esse apossibilis mirum non est, mathematicorum conatus rem signo huic respondentem exprimendi esse inanes. Methodos inter, quibus signi hujus indolem devire annixi sunt, sequens notari meretur reductio. Posito I,&έ - in seriem convertatur e pressio -- erit ----1 4 4 4 4 φ . . . . Quae series cum sine limite possit continuari, inserunt signum symbolum esse quantitatis realis, seriei nempe infinitae terminis invicem aequalibus constantis Circa hanc reductionem haec mihi Observanda videntur. 1'. Quoniam o est disserentia si dictah duarum quantitatum invicem aequalium eodem omnino jure fiet o Ἀ-n, Ἀ- Ι - . Ι- ΦΙΦ....

Iam vero ponatur u 4 erit quoque k- ω- - εχ quae series si nihilorum congeriem ita nuncupare siret quantitatem infinitam dictam onunquam flicere potest.

185쪽

a'. Semper est δε---- - - με. . --- - Proinde series ex evolutione fractionis, orta ad valorem hujus actionis eo inhium casu propius continue accedit, quoismo ita ut supplementum ae eo minus

fiat, quo major est terminorum evolutorum numerus. Contra, quando a, supplementum ' eo majus fit, quo major est terminorum evolutorum,

merus proindeque series evoluta a fractione H eo magis discrepat, quo majores terminorum evolutorum numerus. Casu autem, quo a i supplementum μ' idem semper manet; proinde series evoluta neque accedit ad valorema bstactionis primaria ' neque ab illo recedit Qui cum hoc casu, quoa b,

supplementum ' seriei quousque libeat continuatae, si ipsi stactioni

in seriem explicandae aequalis; perpetuo hoc ipsiusmet recursu docemur, conversionem fractionis in seriem ineptam esse ad determinandam rem, quae

ipsi respondeat. Quoniam ideo ἔ, I 4 4 φ . . . t cur non liceret concludere summam I 4 4- ... - Ο Sed revera nihil aliud ex hac aequatione concludi potest, nisi quod 1 - ο εχ εο . . . o a seu I M. Sehosium. Fractionis in seriem conversio casu, quo b proinde

mathematicos quosdam eo deduxit, ut quantitates quas V

cant negativas esse plusquam infinitas a pronuntiarent. Cum stactionis in

a Ipse WALLIsius, qui ad matheseos progressus tantopere contulit, nonnisi timide hunc vocem primus quod sciam Emilit. De rationibus plus quam infinitis locutus addit δε id Ane Oiscismo die posse. Vid. Arithmetic infinitorum. Prop. I. Seholium.

186쪽

in seriem conversio casu, quo nihil doceat, quod ad valorem istius se ctionis, nisi ratio liabeatur supplementi eo majoris, quo major est termis rum evolutorum numerus patet, insolens illud effatum omni hoc respectu sum

damento carere.

Si ad exemplum familiare, quo hoc caput exorsi sumus g. 89. , redeamus luculenter apparebit, quantum haec sententia a sensu communi abhorreat. Expressio D, A casu, quo V V, fit - , ν; quae indicat, punctnmoccursus duorum viatorum jacere ad parte oppositas iis, versus quas viatores progrediuntur. Neque ullo modo concipi potest, spatium ab illis percurrendum majus esse spatio ficto D, D,4 quod velocitatum aequalitatici spondeat. Nec magis solidum est, quod nonnulli mathematici dicunt hyperbolas esse parabolas plus quam infinitas. Parabola cum est sui generis, ad quam tamquam limitem, propius propiuSque accedere possunt reliquae sectiones conicae. Et quemadmodum polygona circulo inscripta aut circumscripta semper a circulo disserunt ita etiam ellipses hyperbolae a parabola semper discrepant. Huc etiam pertinent, quae g. 7I.) de signorum operationum ad quantiatates ipsas translatione observavi. g. q. Admisso, symbolum i signum esse impossibilitatis facile intelligemus, quid sibi velint signa L, ς' amathematici usurpata, quibus varios infinitorum ordines distinguere autumarunt. Quemadmodum omnes quantitates imaginariae, utut exponentibus diversis affectae, ad signum unicum impossibilitatis reducuntur ita etiam omnia symbola - ', unicam indicare impossi-

187쪽

1 7 possibilitatis ideam asserere non dubito. Id quod uno aut altero exemplo li

unde subtang. -yP-- α - - PT Quo minor est x, eo major est actio -- eademque tanto rapidius re iscit, quo major est exponens m. Ipso autem momento, quo fit x i, symbolum non majorem indicat occursus mutui tangentisis axis impossibilitatem, quam signum simplex impossibilitatis , quod obtinet, quando a, uti in ellipsi conica. n ellipsibus variorum ordinum subtangentes inaequaliter tendunt versus impossibilitatem, quamdiu actu existunt; sed unico modo eam a tingunt, aut in ea persistunt. Recta ex puncto positione dato ducta secundum innumeras leges ad eum tendere potest situm, quo fiat rectae positione datae parallela; sed situs hic est unicus, quicunque sit modus, quo ad illum pervenerit. Sit aequatio hyperbolarum ad axem transversum relatarum y - 0 -a ;

mur, impossibile esse, ut tangentes hyperbolarum cujuscunque ordinis axi in centro occurrant; neque impossibilitas haec major minorve esse dici potest pro vario ordine hyperbolarum. Quaecunque dixi de symboli inseriem conversione, a sortiori d bent ad series ex symboli di - - in series conversione ortas applicari, I-I in qua varios infinitorum ordines declarare fuit tentatum. Omitto alia argumenta ex contemplatione serierum spatiorum curviline rum deducta quae plerumque contradictoria nituntur suppositione, dari aliquam quantitatem infinitam & de quibus occasione data, strictim dicere lassiciet. a CAPvT

188쪽

'urva quaevis reseratur ad aliquem axem per rectas huic axi ordinatim applicatas, Meidem v. gr. perpendiculares. a Superficies curvae denotet aream trianguli mixtilinei, quod arcu curvae Cabscissa atque ordinatim applicat axis terminatur; vel aream quadrilateri mixtilinei, arcu curvae, abscissa axis, duabus ejusdem ordinatis comprehensi. Sit rectangulum, cujus unum latus detur magnitudine, cujus latus alterum crescat uti abscissa axis. Dico: rationem differentialem superficierum curvae Crectanguli aequalem esse rationi rectae axi ordinatim applicatae, quae est basis superficiei curvae, ad rectam magnitudine datam. Fig. M. Esto curva aliqua, ad axem SP P relata per rectas, ΜΠ, άP'huic ordinatim ierpendiculariter applicatas Ad punctum S constituatur recta indefinit axi perpendicularis. Fiant rectangula SARP, SAR 'P quorum latus commune SA aequale sit rectae magnitudine datae, Waltera latera sint abscissae axis SP, SP Dico, rationem disserentialem superficiei curvae & rectanguli aequalem esse rationi PQ SA. Etenim dum abscissa SP crescit quantitate P . mutationes simultaneae superficierum curvae & rectanguli sunt spatia DP 'Μ' RPP'R Compleantur rectangula P 'Μ'm P'mΜ, quorum prius est curvae circumscriptum p sterius inscriptum ad normam g. I. EX. 3. . Ratio mutationum multanearum superficiei curvae ΜP rectanguli Rminor est ratione rectangulorum Μ', R . seu ratione PA SA; major autem ratione rectangulorum seu ratione Μ: SA Quoniam autem ratio aequalitatis limes est rationis rectarum 'P MD, seu rectangulorum Μ m; ratio rectangulorum Μ It minor fieri potest quacunque ratione proposita, quae

a Si coordinatarum angulus non sit rectus; quaecunque de rectangulis dicentur, trans serenda sunt ad parallelogramma aequi- angula, quorum anguli sunt angulo coordin tarum aequales. Dj0jtj70d by

189쪽

I49 quae major sit ratione ΓΜ SA; a sortiori ratio spatii P i' ad rectangulum Pn minor fieri potest quacunque ratione proposita, quae major est rationem : SA. Proinde ratio j Sittae est rationis mutationum simultanearum spatiorum ΜP4 SARP , se est ratio disserentialis horum spatiorum. Sit ideo P - , ΜΠ - , SA superficies curvae dicatur S; erit

Data igitur ex aequatione curvae relatione x is, determinatio proposita superficiei curvae ad calculum integralem reducta est.

190쪽

Iso. minor fieri potest quacunque quantitate proposita proinde ob lumes est quantitatis crescentis ub-y uΦx P adeoque spatium ABS limes est spatii asymptotici crescentis ABPΜ, quod aequare, nedum superare nequit, utcunque magna sumatur abscissa BP. In eodem casu fiatis negativa unde νω- Ay - a b ων - μου - . Erit a b Ω- -1--C)

m-1 Quoniam autem nullus est limes parvitatis quantitatis a-x, inde ab a ad gemusque decrescentis contra nullus est limes magnitudinis quantitatum cresce rium proinde nullus est limes magnitudinis spatii asympi hic ad alteras partes ordinatae AB. Hoc casu posito x - , fit S ab L. quod symbolum indicat, tam contradictionem suppositionis fieri posse a in a, seu hyperbolam asymptoto occurrere, quam impossibilitatem spatii asymptotici limitem determinandi.

est limes magnitudinis ipsius Φx, nullus etiam est limes magnitudinis quantitatum ' ' ; proinde, crescente abscissa BP spatium asympto-