장음표시 사용
201쪽
relata. y mna: α , quae est aequatio hyperbolarum ad asymptoto relatarum.
Ne series propositionum principalium, hoc capite contentarum, abrumperetur satius esse ratus sum particularem hyperbolae conicae quadraturam geometrice consideratam seorsim exponere, ut sequitur. Vid. g. 99. g. Io7. νε-o. Si curva quaecunque diametro sit praedita hoc est, si datur recta, quae omnes rectas sibi mutuo parallelas & curva utrinque terminatas bifariam secat dico, hanc diametrum spatium quoque curvilineum in duas partes aequales dividere.
202쪽
I6a Etenim currae inscribantur & circumscribantur parallelogramin adiso ma g. I. Ex 3. . Parallelogramma haec bina sumpta ad utramque diametri partem sunt mutuo aequalia proinde, summae horum parallelogrammorum ad utramque diametri partem sunt invicem aequales unde climites harum summarum, nempe duae partes spatii curvilinei ad utramque diametri partem sitae, aequales sunt. m. n. Theorema Super asymptoto hyperbolae conicae sumantur a centro C remeta 'in proportione geometrica. Per puncta A, A B, B agantur rectae alteri asymptoto parallelae, quae hyperbolae in punctis D, D E E occurrant. Ex centro C agantur recta CD, CD ' dico, sectores
D A trapegia ADD'A BEE'B esse invicem aequalia. Jungantur rectae ED . 'D, quae asymptotis in G, H, G is respective
ergo G B': G iEῬ': P proinde triangula Gi'E Esunt invicem similia, Crectae GE GE sunt invicem parallelae. Ducatur re, quae rectam in bifariam in secet. Quoniam GF: 'ν--: CF --:F'Η'; erit etiam 'F'-F Η Atqui GE-D'Η, m 'E'-DH' ergo EF- FD AE'ν-F D. Proinde recta CF est diameter hyperbolae, . spatia SER SE, respective aequalia sunt spatiis DF, DF . Sed triangula EF respective aequalia sunt triangulis CD'F, CDF' ergo & spatia CES, CE'S respective
aequalia sunt spatiis CDs CDS proinde sectores DCD sunt invicem
Rectae AD, CD sibi invicem occurrant in I Quoniam C A EO'κπD' semper est triangulum OD aequale triangulo CA D' hinc, sublato utrinque otio communi CALA adjecto utrinque spatio communiim fit sectori 'aequalis trapezio mixtilineo a is eodemque modo sector ECE aequalis est trapezio Bb 'E:
203쪽
Corollarium primum Super asymptoto M. et sumantur abscissae quotcunque ' . . 'in progressione geometrica, ducantur ordinatae AB, A 'B A, Λ Η Α'M' . . AMMOmnia trapegia AB', A 'B A B' As' A's . . A IBN
sunt invicem aequalia & proinde spatia hyperbolica AB crescunt ut togarithmi abscissarum C , CAECorollarium fleundum. Datis in symptoto duobus punctis quibuscunque γε, nullus est limes numeri abscissarum in progressitone geometrica, cujus eXp nensi CA, crescentium, quae in symptoto producta C sumi possunt. Quare nullus etiam est limes numeri spatiorum re egi AB aequalium, quae .
in spatio symptotic sumi possunt; ideoque nullus est limes magnitudinis hujus spatii. Corollarium tertium Detur ratio OH O Ratio haec dividatur in quo cunqueis rationes CA sibi invicem aequales proindeque trapegium hype bolicum AB dividatur in eundem numerum partium aequalium AB AV, A B . . . AN M. Ducantur Bb', 'b asymptoto CA parallelae, quae ipsis AB AB inis' is occurrant. Quoniam
ceps unde omnia parallelogramna spatio AB circumscripta sunt invicem aequalia. Quoniam ratio CA datur eodem manente numero , pariter datur ratio CA' adeoque Cratio in G, seu ratio parallelogranuni Amis ad potentiam hyperbolae CA, AB sin. Et proinde etiam datur rati sunmiae omnium parallelogrammorum spatio AB circiniscriptorum ad potentiam hyperbolae & proinde limes summae horum parallelogrammorum seu spatium AB est etiam ad potentiam hyperbolae in eadem ratione data. In diversis itaque hyperbolis raperia, duabus ordinatis, aut duabus abscissis, quarum ratio datur, respondentia sunt inter se uti potentiae harum hyperbolarum seu potentia hyperbolae est modulus systematis logarithmici ad hanc hyperbolam pertinentis.
204쪽
id . Applicatio I. in consequitur mensura spatii hyperholici inter duas rectas asymptoto ordinatim applicatas, quarum ratio datur comprehensi Scilicet sumatur togarithmus naturalis rationis harum ordinatarum .per hunc togarithmum multiplicetur potentia hyperbolae. lnam Applicatio a. minc etiam fluit mensura spatii cujuslibet hyperbolici Sit V. gr. CS semi- axis transversus hyperbolae, quaeratur spatium E . Sit Misib semi- axis secundus; sit Sb asymptoto CB Ordinatim applicata, seu ipsio parallela atque potentia hyperbolae, nempe G 'Ab 'Sta.C, seudab, dicatur RE MECF-ΚCS ECF- b SE ECF-Plog. ECFΦPlog.
205쪽
I65 Eadem aequatio differentialis potest etiam ex g. q. obtineri Quoniam est
Quodsi autem angulus coordinatarum non est rectus, ponatur hic angulus
Data igitur aequatione curvae rectificati ejus ad calculum integralem reducitur. Exemplam I. Sit pun- τ', seu 3 - ἰοῦ erit 're' unda
Proinde parabolae, aequatione v determinatae, rectificatio absoluteis
est aequatio differentialis arcus parabolae. inde erit
quae est aequatio differentialis arcus ellipseoS. Hanc sermulam terminis numero finitis integrare, aut saltem ad arcu circulares aut ad logarithmos terminis finitis reducere, frustra huc usque sui tentatum. X a Nume-
206쪽
' -xae et ' 1. a a a 4.α., a Integratio uniuscujusque termini hujus serie reducitur ad arcus circulares; nominatim, acto x is, quadrans perimetri ellipseos reducitur ad quadrantem circumferentiae circuli serie regulari, quae sequitur. s M, IU ' 3 I-3.1t' I.3.5 ... e i. 4. et ' ci ci. a. 6. .a a 4... 8... a' Quae series promte convergit, si exigua tuerit ellipseos excentricitas e. AEquatio disserentialiis rectificationis ellipseos potest etiam paulo simplicius m .dio. obtineri, ut sequitur Sint dimidii axes ellipseos Centro C radio CA v. gr. describatur quadrans circumferentiae Am, occurrat in D. Tum angulo AG dicto a erit CP- asin.a, NP-acosiaz, --bcosa,
. a. a' a... 4 Facto a Io oritur eadem series, quam prius obtinuimus.
207쪽
Ex pluma Sit ν - arx-x Rarc.D.V. , quae est aequatio cyclo, dum protriatarum aut contractarum.
reducitur. EX. q. g. 1oq. Rectificatio curvarum ad lacum aliquem relatarum eodem modo determinatur, aut etiam paulo aliter, ut sequitur.
Exemplum I. Sit 3-r. - , quae est aequatio spiralis logarithmicae.
etiam arcus spiralis logarithmicae crescunt in progressione geometrica, dira a guli crescunt in progressione arithmetica. Exemplam a. mitis m*rsec.'έx, quae est aequatio parabolae conicae. Erito isti feci' S-r sec. Ixtang.έxΦlog. sec.υς ε tang.90
208쪽
ta da: mi etiam potest per seriem Bernoullianam Plerumque autem exponentes disserentiales altiorum ordinum, quibus haec series constaret, adeo fiunt complexi, ut reductionis hujus utilitas valde dubia fiat. Maj6ris momenti est observatio, quae curvae cujusvis rectificationem ad quadraturam alterius curvae reducere docet. Fig M. Sit nempe altera curva M'm super eodem axe descripta, cujus superficies
S evanescant simul facto x M. Natura autem alterius hujus curvae per priorem facilius determinatur modo sequente. Definitio. Si curva ad aliquem axem relata per rectas ipsi perpendicae riter ordinatim applicatas Ad punctum aliquod hujus curvae ducatur recta ipsam tangens. Tum per idem punctum ducatur recta tangenti perpendicularis; quae axi si fieri possit occurrat Pars hujus perpendicularis, punctum intercontactus axem intercepta, dicitur normalis; pars axis, normalem inter rectam an ex eodem puncto ordinatim applicatam comprehensa, dicitur jub-
Sit nempe MN tangenti m perpendicularis, Qquae axi occurrat in N; linea MN dicitur normalis QP dicitur subnormalis. In triangulo rectangulo MN est ' - - - PN; proinde
3: --o: y 'οinde posterioris curvae ordinata est quarta proportionalis ord, natae & normali prioris curvae, alicui rectae magnitudine datae.
209쪽
posterior curva, nempe parabola conica est quadrabilis prior curva est rectificabilis. Videri. Io8 EX. I. g. III. Data expressione arcus alicujus curvae per coordinatas ejus dete minari potest ipsa curva quantum permittit impersecta calculi integralis conditio . Exemplum I. superatur linea, cujus longitudo est abscissae proportionalis.
quae est aequatio ad lineam rectam. Exemplum a. Quaeritur curva cuius arcus crescit in ratione subduplicata
it curva quaelibet ad axem aliquem relata per rectas xi huic perpendiculariter v gr. 6 applicatas Sit etiam rectangulum datam habens basimis, cujus
α Quaeremque dicentur de casu, no re laxi ordinatim applicantur ad angulos rectos, lacillime applicantur casui, quo eaedem sub dato angulo obliquo axi occurrunt. Dj0jtj70d by
210쪽
17o cujus altitudo mutabilis sit abscissae axis aequalis. Rectangulum spatium curvilineum eidem scissae respondentia circa hujus axem simul revolvantur. Dico limitem rationis, quae inter mutationes simultaneas cylindri a rectangulo, solidi a spatio curvilineo rotatione hac simul genitorum intercedit, aequalem esse rationi duplicatae basis rectanguli & ordinatae huic abscissae respondentis. Fig. α . Sit m curva ad axem SP per rectas P hvic perpendiculariter applic tas relata Sit S recta magnitudine data eidem axi perpendiculariter applicata Sit SP abscissa axis, cui respondet ordinata P;- compleatur rectangulum ARP, cujus altitudo crescit ut abscissa SP Spatium curvilineum S & rectangulum SARP circa axem Si simul reVolvantur. Dico, thnitem rationis mutationum simultanearum cylindri a rectangulo SARPA solidi a curva SMPImiui genitorum aequalem esse rationi A : P . Sit ps mutatio abscissae axis; proinde mutationes simultaneae cylindri praedicti solidi sint solida rotatione rectanguli SRRν- spatii P 'ρ' finiuigenita. Curvae SMP inscribantur&ci, cumscribantur rectangula I ms. M's Solidum a spatio ΜΜ'ρ' genitum minus est cylindro a rectangulo Pm, P genito majus autem cylindro simul genit a rectangulo inscripto P P AN qui hi duo cylindri aeque alti sunt in ratione duplicata ordinatarum M'P isse: proinde imminuta altitudine P ratio aequalitatis limes est rationis horum cylindrorum I. I . tantoque magi ratio aequalitatis limes est rationis auterutrius horum cylindrorum ad solidum rotatione spatu AP ' genitum. Quare solido a curva SNP genito dicto S, fit lim. ας cyl. P s