장음표시 사용
211쪽
17 Iobservatio. Eadem expressio differentialis eodem modo obtinetur, si pa Fig. u. tium curvilineum AERI 2 f, duabus ordinatis AB, MP, abscissa axis BRA arcu AM terminatum, circa axem I revolvatur.
I'. Sit m numerus positivus - sit Sino, quando a o P erit Fig. M. S, rata xyy Proinde data parabola, cujus aequatio estam*I inani- am 1 m paraboloides dimidio parabolae segmento circa axem revoluto genita est ad cylindrum aeque altum super eadem basi in ratione data I 4-I. Seholium. Exemplo hoc continetur casus, quo spatium revolutum est tria gulam, facto nempe I. a'. Sit m numerus negativus, seu sit , a Ergo die Maam a J Fig. M.
rotatione spatii hyperbolici Bo genitum proportionale est differentiae cylindrorum a rectangulis ABSD, MPm genitorum. Quoniam autem y - - - - ωquo nec ullus est limes magnitudinis ab- Hisbam a Jai 1 Dscissae a*x nullus est limes parvitatis quantitatis seu cylindri
magnitudinis, nempe sim. Sin abb.
is ribue Quoniam autem nullus est limes magnitudinis abscissae
212쪽
proinde aucto x, nullus est limes magnitudinis solidi S. 3'. Sit amm I. Ex aequatione in L bba-abb nihil deduci potest prae- aequalitatem cylindrorum A D. Ium AEquatio differentialis linos monet, hunc casum ad logarithmos reduci. g. 62. Scholium. Casu, quo am a A proinde S abb- sumta ex altera parte ordinatae AB, fit -- obb- autem nullus est limes parvitatis differentiae u-x, nullus etiam sime est,
gestudinis quantitatis proinde nullus est limes magnitudinis solidi S Quoniam autem y - facto x o, fieret, unde a- aer, amo om Cap. IX. x impossibile est, ut sit x in aequatione S, ais '-1 posito ina, fit in Lilb L 1); quo rursus: monemur, impossibile esse assiignare solidum etiamnunc fictum, spatio etiamnum ficto abscissae S respondens Cum omnia ratiocinia, expressitoni abb -Iy ad varios infinitorum ordines illustrandos superstructa, contradictoria nitantur suppositione posse fieri W-a; consequentias inde ductas labi necesse est Idem dicatur de altero casu, quo animi,&proinde S-- .aM i ;unde sub contradictoria suppositione si in o s o fit y- PM . ὁ I g. I 3. Determinatio capacitatis solidorum rotundorum nonnunquam etiam lacilius peragitur modo sequenti. Basi figurae genitricis in partes quotcunque aequales di Visa curvae inscribantur
213쪽
bantur & circumscribantur rectangula, quorum reliqua latera sint axi revol tionis parallela. Rectangula haec gyratione sua circa axem gignent annulos cylindricos, solido inscriptos & circumscriptos Solidum rotatione curvae genutum majus est sumi annulorum cylindricorum remingulis inscriptis genitorum minus vero summa annulorum cylindricorum rectangulis circumscriptis genitorum sed idem solidum limes est tam prioris summae crescentis, quam posterioris summae decrescentis. Sit -- segmentum curvae, quod rotatione circa axem Smbas AB per Fig. 4.pendicularem gignit aliquod solidum; segmento huic circumscribatur recta gulum GAD, quod sua circa eundem axem rotatione gignet cylindrum solido circumscriptum. Dividatur AB in parte quotcunque aequales sit R' una harum partium. Ducantur Μ, 'N' ipsi A perpendiculares, quae curvae in M, M occurrant, Wipsi SD in P, s ducantur m um ipsi AB arablelae, quae rectis α'R . R in ην -' respective occurrant Annuli cylindrici, gyratione rectangulorum RM', 'M RI 'geniti sunt i ter se respective ut ipsa rectangula Μ 'Μ, s seu uti lineae 'R ME, RPL Solidum rotatione curvae SMA genitum dicatur S, cylindrus rotatione rectanguli ABm genitus dicatur C ac mutationes senuitaneae horum solidorum
dicantur ΔS, C erit SQ Sed prima ratio potest fieri 2: ζ quacunque ratione proposita, quae ζζζ sit ratione I I. Proinde g. i.
214쪽
determinanda solidorum rotundorum capacitate momenti; easdem paulo aliter explicare e re esse censeo.
n. rus Sit S 's dimidium segmentum parabolae, cujus aequatio est, in mamaen. Per verticem S ducatur tangens Semento SMP- spatio exteriori Suinscribantur . gr. rectangula Qm: Spatio MM 'et circa axem Sprevoluto, rectangulum M m gignit cylindrum segmento paraboloidico inseriaptum Crectangulum AR m' gignit annulum' cylindricum solido, quod rotatione spatii exterioris SM'et gignitur, inscriptum. Atqui ratio cylindri ΜPP, ad annulum PQ eadem est, quae solidorum Μmκm , Μm'κPΜ aismκ-b proinde limes rationis cylindri
215쪽
m n an g. a. Hinc clim.cyl.ΜPPVn ann. cyl. 33sPQ 'Μ' an. Proinde etiam ratio summae omnium cylindrorum, solido rotatione spatii ΑΜ genito cu cumscriptorum, ad summam omnium annulorum cylindric rum, solido rotatione spatii Ammgenito lacumscriptorum, aequalis est eidem rationi constanti, an & proinde solida, quae limites sunt harum summarum, quae gignimtur rotatione spatiorum Μυ, A D, sunt in eadem ratione data sis g. q.
216쪽
a'. Sit m an erit sol. AMR l.AMPB QM.AMR D--QLA B icyLABSD-cyL SQ; proinde sol. UIS: cyl. SD-cyl. UIS ni: an m. 3'. Sit mi an Nihil ulterius inde concludi potest, nisi quod Mida, RAMura sint inter se aequalia; proinde etiam cylindri A D sint in ter se aequales. g. II 5 Curva generatrix solidi reseratur ad lacum aliquem per radios Vectores ad hunc secum ductos, & per angulos, quo radii Vectores cum recta positione data comprehendunt Capacitas solidi det minabitur modo sequenti. Hoditi Sit M'u curva ad lacum 'relata per radios vectores M, - - an gulos ν' - quos radii vectores cum recta S positione data comprehendunt. Centro radio m pro unitate sumto describatur circulus, qui diis vectoribus in Fu in punctis L .X occurrat. Tum centro Fradiis in, o descriptis arcubuim, inscribantur inlacumscribantur curvae sect res laculares ψm, M' Solida sectoribus his circa axem SI revolutis genita sunt inter se in ratione triplicata radiorum Μ, Μ Sed ratio aequalitatis limes est rationis horum radiorum proinde Cratio aequalitatis lunes est rationis solidorum ab his sectoribus genitorum g q. tantoque magis ratio aequalitatis limes est rationis alterutrius horitin solidorum ad solidum rotatione sect ris curvae Min genitum. Sit --ν -'ααν m - , angulus Ma - , MX'-Δx. Notum est, solidi rotatione sectoris circularis o geniti expressionem esse 'Try cosa: ' cos. 0 Hπr 'aco x. Sit S solidum sectore cur e rari genitum; ex lim. sol. M'
217쪽
seu ry sin. x, quae est aequatio differentialis solidi propositi.
4'. Sit quae est aequatio ellipseos conicae :
9. 116. Series Bernoulliana applicari etiam potest determinationi capacia talis solidorum rotundorum.
218쪽
Quae series, utut regularis, non semper est calculo omnium promtissimo accommodata imo ε non abrumpitur quibusdam etiam casibus, quibus alia via, pacitas solidi terminis numero finitis exprimi potest.
Cylindrorum Ablido rotundo tam inscriptorum quam circumscriptorum summae eodem modo determinari possivit, quo rectansviorum spatio curvilines inscriptorum & circumscriptorum summae g. Ioa determinatae fuerunt. g. II. Solidorum rotundorum cubativa reduci potest ad rectificationem circuli 4 auq am m alteriu cur . Etenim quoniam est S. II et Laiam Ny si describatur super eodem axe, Wiistinem axis abscidis, altera rurva, dinatae ' fini quηdratis ordinatarum curvae genitricis proportionales: ita ut o m DP eriti αα αν
, ' ideoque .pacitas prioris solidi erit areae posteriori; curm proportionalis.
219쪽
tas solidi erit areae curvae, cujus aequatio disserentialis est proportionalis. g. 118. iam expressione capacitatis alicusus solidi rotundi per rectas axiordinatim applicatas, determinari potest natura curvae genitricis. mpla. I'. Sit metra ideoque rim: Ima hinc oram mma; pr
axinde basis est constans, & solidum propositure e cylindrus rectus.
De supersciebus solidorum rotundorum.
g. q. Linea cum quaecunque circa axem aliquem rotata generet superficiem cumvam. Dico rationem aequalitatis limitem esse superficierum a chorda Cab arcu curvae simul genitarum. Sit se curva, quae circa axem SP rotata superficiem curvam generat. p. Dico rationem aequalitatis limitem esse rationis suphrhcierum a chorda se Mab arcu mu simul genitarum. Per is , actae concipiantur rectae se of , mi S parallelae 4r- cui mr aequales, quae simul cum curva rotatae superficies curvas cylindricas
gignent. Quoniam singulae partes rectae se xi Sy Maho , inus ab hoc axe distant, quam pars quaelibet arcus - superficies a recta uis gehitantino est supefficie ab arcu ΜΕΜ simul genita conti quoi ala ne i ta res rectae ' magis distant ab axe, quam pars quaelibet a cus ines superiscios a recta Μ'm' genita major est superficie ab Hes simul genita. Atqui superficies cylindricae rotatione iectarum in ,-- genitae sunt hie se uti bi- a dinatae
220쪽
dinatae IID, 'P' ωproinde ratio aequalitatis limes est rationis harum supermcierum; la sortiori ratio aequalitatis limes est rationis alterutrius harum superficierum ad superficiem rotatione arcus genitam. Scilicet arcu mu' posito moz, superficie ab eo genita mi S est
Superficies rotatione chordae Creme maenitae sunt inter se uti rectan
dx Δκ laeti inde aetyr . - quae est aequatio disserentialis superficiei rotatione curvae genitae.1'. Arcus μή totus sit concavus versus axem rotationis SP. Quoniam arcus major est chorda Cpartes arcus inter rectas quaslibet axi ordinatim applicatas ab axe rotationis magis distant, quam ab eodem axe distant partes chordae ordinatis iisdem interjacentes duplici hoc respectu superficies rotatione arcus genita major est superficie, quae rotatione chordae gignitur. αφ. Quodsi autem arcus est versus axem rotationis conVeXus generatiis de aequalitate aut inaequalitate superficierum ab arcu chorda simul genitarum statui nihil potest. Nempe quatenus partes arcus duas inter quaslibet axiordinatim applicatas contentae huic viciniores sunt, quam parte chordae ordinatis iisdem interjacentes superficies arcu genita minor fit superficie a chorda genita dum ex altera parte ob arcum chorda majorem prior superfitae major est