장음표시 사용
221쪽
est posteriore, Quare hoc casu aequatio differentialis - α' 'iε Σ' ,
limitum notione, prout g. 3. fuit extensa, nititur.
222쪽
bbSit - b: proinde facto e - , - π --ub - πω, juxta EX. I. Superficies hyperboloidum, rotatione hyperbolae circa alterutrum axem genitae, eodem modo determinantur.
yy ci g. io quadratura superficiei solidorum rotundorum pendet,
223쪽
a normali curvae genitricis Scilicet super axe curvae genitricis describatur curva talis, ut rectae axi ordinatim applicatae aequales sint aut proportionales normalib0 curvae genitricis iisdem abscissis respondentibus. Superficies solidi rotatione prioris curvae geniti proportionalis erit areae curvae posterioris. R tio autem harum superficierum ea est, quae circumferentiae circuli 4adii.&hosium. seriei Bernousianae ad determinandas solidorum rotundorum suis perficies applicandae non immoror; quoniam exponentes differentiales ordinum
successivorum quantitatis G1ε 2 ' adeo fiunt compositi, ut quila inde
utilitas duci possit. g. aa. 'Laxio differentialis superficierum, a curvis ad punctum d tum, latis genitarum, eodem modo potest determinari. Sit nempe angulii 'mae, min&rassius vector Mumr; stam πrsin.aW re Fa)'b. Exercitii causa oste dere sufficiat, quomodo ratio haec differentialis ex priore deducatur m ideo
224쪽
g. Iaa. Quemadmodum superficies solidorum rotundorum aequatione curvae genitricis determinatur: ita vicissim, expressione superficiei solidorum rotundorum data, emi potest aequatio curvae genitricis uti paucis exemplis ostendam. Exemplum a. Superficies solidi crescat ut abscissa inis.
rr-yy aetaE U Vr-- , quae est aequatio circuli. Exempis et Superficies crescat in ratione duplicata abscissae axis Est ideo mi aequationi satisfacit in casu particularix linea recta, quando nempe est ratio constans, unde latio a P est ConstanS.
Exemplum a. Curva reseratur ad aliquem lacum, superficies crescat in ratione radii vectoris Est ideo
225쪽
g. a . D ecta magnitudine data circa axem quemcunque in eodem plano situm reis volvatur. Superficies cylindrica vel conica, rotatione rectae hujus genita, aequalis est rectangulo sub hac linea & sub circumserentia a puncto lineae hujus medio descripta. Proinde superficies, a recta magnitudine data circa varios axes revoluta genitae, proportionales sunt distantiis puncti ejus medii ab axe revolutionis. Pariter cylindrus vel annulus cylindricus, a rectangulo circa unum ipsius latus, vel circa rectam uni ex lateribus ejus parallelam revoluto genitus, aequalis est prismati, cujus basis est ipsum rectangulum Ccujus altitudo aequalis e circumferentiae, quam centrum figurae rectanguli hac revolutione percurrit seu generat Solida igitur ab eodem rectangulo, circa varios axes uni laterum ejus parallelos revoluto, genita proportionalia sunt distantiis centri hujus rectanguli ab axe revolutionis.
His exemplis omnium simplicissimis iraemissis, facile intelligitur, quid sibi
velit regula capit hoc explicanda Scilicet lineae vel superficios quaecunque tam specie quam magnitudine datae circa axem aliquem revolvantur: superficies vel solida, rotatione hac genita sunt inter se in ratione composita ex rationibus magnitudinum atque circumserentiarum a puncto quodam, cujus situm magnitudo genitrix determinat, descriptarum.
Cum regula haec determinationem capacitatis & superficiei solidorum tundoenim de qua duobus postremis capitibus actum fuit admodum juvet; re esse censeo, undamenta ejus hoc loco exponere. g. 1as Lemma Sint quotlibet puncta in eodem plano positione data, sint totidem rectae magnitudine datae. Ex oninibus punctis datis demittanturis rectam quamlibet in eodem plano sitam rectae perpendiculares Sumatur furinna restiuigulariun factorum ex his perpendieulis is lineis magnitudine datis respective. Dico dari in eodem plano punctum, ex quo si in eandem a rectam
226쪽
186 rectam demittatur perpendiculum, rectangulum, sub hoc perpendiculo & sub
summa rectarum magnitudine datarum contentum, aequale sit summae priorum rectangulorum. Fig. 32. Exemplum primum Sint duo puncta A, B, in quibus in rectam quamcunque ΗΒ demittantur perpendicula A, B Sint etiam duae rectae a, b magnitudine datae. Recta AB in puncto Z ita secetur, ut sit AZA uae: BZκb; a puncto Z in rectam AE' B demittatur perpendiculum T. Dico: fore ΑΛ κχε BB'κ T a i). Constr. Per Z agatur recta ab ipsi AG parallela, quae rectis A M ina occurrat. m. Propter similia triangula AM, BZ est Aa χλα AZ BZ M a; hinc a ZT--' BB-ZM; proinde T a b lax AA bκ Fig. 33. Exemplum secv idum. Sint tria puncta A, B, C positione data, tres rectasta, b, e magnitudine datae & sint AA BB CC perpendicula in rectam quamcunque demissa. Puncto Z respectu punctorum A, B ita determinato, ut sit TOεb iAsκa BBNb determinetur punctum Z respectu punctorum , C, ita ut ZYχ--ι ZΠ-b,- 'κe erit 'Ty--e io'Naε 'κθε 'κα Exemplum tertium. Sint quatuor puncta A, B, C, D positione data, 'u tuo lineae a, b, c, d magnitudine datae. Determinetur punctum Z respectu punctorum A, B, C juxta exemplum secundum tum determinetur tinctum Z respectu punctorum Z is, sic, ut Z T αεθειε d i r αεbει - -'κd erit γ' a φθερεπι -'καεBB'κλε 'κ φ DD'κ d. Ex his exemplis patet methodus generalis procedendi ac demonstrandi. Propositione nimirum evisti pro punctis quotlibetis positione datis, & pro otiadem rectis magnitudine datis eadem etiam vera esse demonstratur, si tam pum,ctorum quam rectarum numerus unitate augeatur. Cum igitur vera sit propo-stio de paueis punctis Crectis a 3, 6 . . . . ea etiam vera est pro quinque
punctis inde pro sex, sic deinceps Ideo semper determinari potest punctum tale, ut sit a Nais'εb ABB'Φικ 'ε. . . A XLL My-- Φ.... o.
227쪽
Sthosium. Quoniam puncti Z in plano positione dato situs determinatur per pendiculis, quae in duas rectas positione datas, se mutuo secantes, ab eo ducuntur demonstrandum est quod, si praecedens propositio locum habeat pro ejusmodi duabus rectis, eadem quoque valeat pro alia quacunque recta. Et primo quidem praedicta aequatione locum habente pro recta qualibet positione data, adhm valet pro quavis recta priori parallela; cum utrumque aequationis prioris membrum ita augeatur vel minuatur rectangulo sub dista tia duarum parallelarum sub summa εθε e*d- . . . Lας. Sint duae recta SN SN sibi invicem perpendiculares; demonstra Fig. 3 tum fuerit duas aequatione sequentes locum habere: ακπι' bκBB' e X ' . . . IX.LL i ZZ a φοες-d . . . I a κυ ε/κSB'Φeκα' . . . IX. ra' a*bες--d ...1 .
3'. Vicissim si propositio locum habet pro duabus rectis SV μ', eadem locum habet pro tertia recta SN uni priorum perpendiculari per S ducta. Propositione igitur pro duabus quibuscunque rectis sibi mutuo occurrenti- Aa a bus
228쪽
ctum occursus priorum, sive non.
Observatio. In enunciatis praecedentibus iuppossit, puncta data aeere ad easdem partes rectae, in quam perpendicula aguntur. Si secus uerit mutatis signis perpendieulorum ex punctis ad diversas ejusdem rectae partes sitis demisesorum; quaecunque de summa dicta fuerunt, applicantur excessui, quo summa rectangulorum, puncti ab una laujus lineae parte sitis respondentium, superat summam reliquorum, Quo monito praemio, in sequentibus pariter de summa tantum dicor lassiciet quasi omnia puncta ad easdem rectae, in quam perpendicula aguntur, parte jacerent. g. 126. In chanica ostenditur punctum g commune esse gravitatis emirum totidem massarum o b, c, . . . I, quarum singularum centra gravitatis
sint A, B, C, - - - L. Qua puncti Z denominatione hic etiam brevitatis causa uti liceat. Itaque punctum rectae magnitudine datae mediim est centrum gravitatis hujus lineae; superficies, quam recta magnitudinc data circa axem quemlibet revoluta generat, aequalis est rectangulo sub hac recta & sub circums rentia, quam centrum gravitatis ejus rotatione hac describit. Item centrum figurae cujusvis rectanguli simul est ejus centrum gravitatis;& solida rotatione rectangulorum circa axes quoscunque, uni e lateribu eorum parallelos, genita sunt in ratione composita ex rationibus ipsorum rectangulorum atque circumserentiarum, quas earum centra gravitatis describunt. Sint quotlibet rectae in eodem plano positione ac magnitudiis datae, quae simul circa axem quemlibet revolvantur. In punctis rectarum harum mediis fingantur massae singulis rectis proportionales, Qquaeratur centrum gravitatis commune harum massarum. Summa superficierum a rectis illis rotatione hac genitarum aequalis est rectangulo acto ex summa harum rectarum, & ex cucums rentia ab communi massario harum centro gravitatis eadem revolutione percuris.
Sint quotlibet rectangula in eodem plano positione & magnitudine data; sic ut singulorum horum rectangulorum unum latus sit rectae alicui positione datae parallelum. Rectangula haec simul revolvantur circa axem recta huic
229쪽
I80 parallelum. Tum in centris figurae horum rectangulorum concipiantur massae iisdem proportionales, quaeratur centrum gravitatis commune omnium harum massarum solidum ab rectangulis his revolutione illa genitum est in ratione composita ex summa rectangulorum, ex circumferentia a communi gravit iis centro revolutione hac genita. g. 187. Lemma notum Trapegium AA'B'B, cujus anguli B, 'sunt recti, ainai. rotetur circa latus 'B' , solidum revolutione hac genitum est ad cylindrum ejusdem altitudinis AR, imus radius baseo est', ut, i adis . Proinde, post π dimidia circumserentia circuli, cujus radius est unitas, capacitatis solidi hujus expressio est AB' - --π'. Theorema. Rectangulum quodcunque girca axem quemcunque extra rectangulum in plano ejus situm revolvatur dico, solidum rotatione hac genitum esse in ratione composita ex magnitudine rectanguli is circumferentia a centro ejus rotatione hac genita.
Sit ABCD rectangulum, cujus centrum S, quod revolvatur circa axem Fig. 3s. AD extra illud in plano'sius situm ei demittatur in hunc axem perpendiaculum ' dico, solidum rotatione rectanguli ABCD circa axem AD'genitum esse in ratione composita ex rectangulo ABCD, me circumferentia, cujus radius est 53' seu expressionem capacitatis hujus solidi esse ABCD A Nam Suitis, b, c, puncta media laterum AB, C, D, A. Ex omnibus punctis B, D, is, , , , demittantur in axem
quo α' inclinatur ad latera oppssita rectanguli AB, CD. Solidum rotatione rectanguli genitum est excessus, quo solidum rotatione spatii 'ABCC genitum superat solidum genitum rotatione spatu AADCC; AE M.ABCD m M.AMBB'- sol. D'D 'inses.B B '-sM.AADD'
230쪽
resiarium pri--. Rectangula quotcunque circa eundem axem revolvam tur summa solidorum, quae rotatione rectangulorum horum generantur, aequalis est prismati, cujus basis est summa horum rectangulorum, cujus altitudo. circumserentia percursa a centro gravitatis communi totidem massarum in Centris rectangulorum coadunatarum singulisque rectangulis proportionalium; quod punctum dicitur centrum gravitatis commune omnium horum rectangu
Corollarium se-dum. Sint quotcunque rectangula positiones magnitudine data, quae circa axem quempiam revolvuntur. Solidum rotatione hac genuetum proportionale est distantiae centri gravitatis communis omnium rectanguiorum ab axe rotationis. Scholium Modo haud multum absimili demonstratur solidum a parallel grammo obliquangulo circa axem quemcunque revoluto genitum aequale esse Prismati, cujus basis est ipsum parallelogrammum Ccujus altitudo aequalis est circumferentiae a centro figurae parallelogrammi rotatione hac genitae. Et smilia inde nectuntur corollaria.