장음표시 사용
231쪽
19Ig. et 8. Solidum, factum ex aIiqua figura atque ex distantia centri gravistatis figurae ab aliqua recta, vocatur momentum figurae respectu hujus rectae Pr inde momentum alicujus rectanguli respectu aris, circa quem rotatur, est ausolidum ab eodem rectangulo hac rotatione genitum in ratione constanti nempe in ratione radii ad circumferentiam, seu ut I π. Et momentum quotlibet rectangulorum respectu axis, circa quem rotantur, est ad summam spatiorum solidorum ab iisdem rectangulis hac rotatione genitorum, in eadem ratione Constanti Pariter rectanguIum, factum ex aliqua sine atque ex distantia centri ejus gravitatis a recta quapiam dicitur momentum prioris lineo respectu posterioris; rectangulum, factum ex summa quotcunque linearum is distantia communis earum centri gravitatis ab aliqua recta, vocatur momentum harum linearum respectu hujus rectae. Proinde si rectae quotlibet circa axem quempiam revolvantur, momentum harum rectarum respectu hujus axis est ad summam superficierim, qua eaedem lineae hac rotatione generant, in praedicta ratione
His praemissis ergo ad superficiem, aclinea quacunque circa axem aliis quem rotata genitam, & ad solidum rotatione cujuscunque figurae circa axem aliquem genitumia g. Iaq. Brevitatis causa denotent .R, S. χIida a rectangulis figurae alicui inscriptis aut circumscriptis, , figura ipsa rotatione circa eundem axem smul genita porro denotent M. R, M. F momenta horum extensorum respectu hujus axis G. R G. V distantias centrorum gravitatis horum extenserunt ab eodem axe & A. R. q. Mareas horum eXtensor LI' Est M. Fc AFN. G. M sun. u. Itra lim. A. RX G. Iun.A. RXEm.G. R A. FAlm1.G. Rproinde G. Fra 1 .G. M
232쪽
Proinde solidum notationa figuram genitum aequule est solido sua ex hae Auru
inque ex circumferentia a centro gravitatis ejus rotatione hac genito seu solidum a Mura Fgenitum est ad momentum ejus respectu axis rotationis in ratione consanti ircumfere iis circuli ad radium re solida rotatione ejusdem sigura circa varior axe gmita sunt Hur se uti dis tiae antri gravitatis hujus Auror ab iisdem axibus. Eodem modo superstes rotatione ilicsvr sineae circa axem quempiam genita σε lii 'rem vio, facto sub hae sine re sub circumferentia a centro gravitatis ejus rotationa hae genita seu superstes hae es ad momentum linea genitricis respectu axis, o quem rotat. in ratione consa, circumferentia cireuli ad radium. α)g. 3o.
Theorema hoc suppressa demonstratione. PAPpus iam sub finem Praefationis Lib.
Ionii Desectione rationis, spatii Libr Oxon. 17 . ita Vertit: o Figurae e ,, secto oro genitae rationem habent compositam ex ratione gyrantium QEx illa r sedarum similiter ad axes ductarum ab ipsarum gyrantium gravitatis centris. Ratiori ero incomplet gyro genitarum fit ex ratione gyrantium, arcuum, quos de ,, scripsere earundem centra gravitatis. ,, GOMMANDINU PAPPI mathe- . Coueri . Pisauri 1588.hverterat: o Persectorum utrorumque ordinum proportio composita estri ex proportione amph1smatum rectarum linearum similiter ad aves dumirum a pun- ,, ctis, quae in ipsis gravitatis centra sunt. Imperfectorum autem proportio compori sita est ex proportione amphismatum circumserentiarum a punctis, quae in ipsis,, sunt centra gravitatis, lactarum. , 'EPLERU Nova tereometria doliorina Lincii 1615 P. I. Theor. XVIII. R. omnem annulum, genitum rotatione cujuslibet figurae symmetricae cirea axem diametro figurae parallelum, sive extra figuram situm. sVe perimetrum ejus contingentem, aequalem se ostendit cylindro, cujus altitudo aeque longitudinem circumserentiae, quam centrum figurae circumductae descripsit,
233쪽
Iqag. 13o. Hinc deducuntur methodi centrum gravitatis cuiusvis figura determinandi. Nempe determinetur solidum rotatione figurae hujus circa axem quemlibet genitum quod transformetur in prisma, cujus basis sit ipsa figura votata altitudo hujus prismatis imminuta in ratione circumferentiae ad radium erit distantia centri gravitatis hujus figurae ab axe rotationis. Et proinde e trum gravitatis ipsum determinabitur, si determinentur solida rotatione figurae hujus circa duos axes sibi invicem non parallelos genita. Vicissim, centro gravitati figurae alicujus positione dato, determinantur lida rotatione figurae hujus circa axem quemlibet positione datum gensia. Eadem applicantur ad superficies rotatione alicujus lineae circa duos axes genitas. Quodsi autem figura symmetrica est, seu axem aliquem figurae habet: qcioniam centrum gravitatis ejus in hoc axe situm est, ut positio centri hujus desterminetur, sussicit momentum figurae quaerere, respectu unius rectae v. gr. respectu lineae, quae sit axi huic ordinatim applicata.
De solidis earumque superseiebus in genere, et de curvis duplisis
solidorum rotundorum proprietates tum a figura genitrice, tum a positione axis, circa quem figura haec rotatur, pendere, in tribus capitibus praecedentibus abunde sui declaratum Solida haec praecipue mathematico occuparunt. Dantur autem innumera alia a solidis rotundis diversa quorum potiores duas specim
basis vero eadem sit cum sectione annuli GuLDTNus De eentro paritatis Lib. H. Viennaeo o Cap. VIII. Prop. II. regulam, quam Vocat, generalem compositionis potestatum rotundarum hanc tradidit sed per inductionem tantum comprobavit: se Quantitas rotunda in iam rotationis lineam circularem, quam in rotatione d se scribit centrum gravitatis magnitudinis rotatae ducta producit potestatem rotundam si uno gradu altiorem potestate V quantitate rotata. , Demonstrationes regulae, quae ad GuLDINυμ tanquam inventorem referri consuevit, varii deinde varias proposuerunt cons. MONO A Hi . ex Μαιλ. T. II. p. 19 sqq.
234쪽
19 species primum breviter pertractare, tum generatim de illis disquirere non alienum ab re erit.
g. 31. Si figura quaecunque plana positione magnitudine data. Rei a quaepiam ita moveatur, ut sibi semper parallela maneat, in aliquod eja punctum circa perimetrum figurae hujus progrediatur. Singula rectae hujus puncta describunt lineas perimetro figurae datae parallelas, eidemque similes aequales proinde solidi hoc modo geniti sectio, plano quocunque figurae datae parallelo facta, aequalis & similis est huic figurae. Superficies a recta mobiligenita dicitur superficiei sindricosis recta mobilis dicitur ejus latus Figura data, sectio solidi, plano figurae huic parallelo per alterum lateris extremum transeunte facta, dicuntur buser solidi Solidum ipsum, basibus superficie cylindrica terminatum, dicitur cylindrus seu solidum cylindricum Cyli drus est rectus aut obliquus, prout latus est basi perpendiculare aut obliquum. bis antia basium cylindri dicitur ejus altitudo. Solidum cylindricum limes est prismatum ipsi circumscriptorum aut inscriptorum. Sed capacitates horum prismatum sunt in ratione composita ex rationibus basium Waltitudinum eorum; bases solidi cylindrici sunt etiam limites basium horum prismatum proinde etiam solida cylindrica sunt in ratione composita ex rationibus basium Waltitudinum ipsorum. Ideo denotante Sis pacitatem solidi cylindrici, Biasin ejus, in altitudinem erit S - HProinde quotiescunque area basis solidi cylindrici terminis finitis exprinii potest capacitas quoque solidi cylindrici accurate determinatur. Pariter superficies cylindrica rectae sunt in ratione composita ex rationia huc rimetrorum basium, Maltitudinum. Superficies autem cylindricae obliquae pendent a perimetro sessionis cylindri, plano ipsius lateribus perpondic Iari factae. g. 13a Solida inter quae a cylindricis originem ducunt, ea contemplarisu ciat, quae cylindrorum rectorum inprimis sectione basi obliqua generantur.
235쪽
M transeunte; sitque Midu' R sectio superficiei cylindrica plano ho lacta. Solidum, superficie cylindrica . D 'BM' ου,- segmentis ANN'B AMAE B com
prehensum, Vocatur conο- euneus vel ungula cylindrica.
In plano basis ducatur recta quaevis P ipsi AB perpendicularis per Pagatur planum basi perpendiculare .st MNP sectio ungulae plano hoc facta. Trianguli rectanguli is angulus dum aequalis est angulo inclinationis duorum planorum A 'B, A 'B, qui sit proinde omnes sectiones pari modo factae dantur specie; nempe est in tang. φ, 'M'- Ν'P'tang. p. Capacitas ungulae cylindricae limes est capacitatis ungularum prismatic rum, quae oriuntur ex sectionibus simul lassis prismatum solido cylindrico inscriptorum aut circumscriptorum. Capacitate igitur imgulae posita S, axis AB abscissa -- x, ωψαν fit Dytang. φ proinde imgulae capacitas
lab blang. φ. Idem dicatur de ungulis ex sectionibus cylindrorum parabolicorum aD perbolicorum genitis. Observatio. Ex formula - in tang. sequitur ungulas , sectionibus
ejusdem solidi per eandem in basi rectam transeuntibus actas, inter se esse uti tangentes angulorum p. Verum haec rati tantum subsistit, quamdiu tang. est possibilis, seu quamdiu planum A 'B cylindri lateribus occurrit. Quando autem anguli ιν tangens fit unpossibilis, seu quando angulus φ trio' signi lB a seu
236쪽
seu o. introductione monemur non amplius de ungulis agi posse nec formulam pro ipsis traditam posse ad capacitatem solidi plano ba normali a cyli dro abscissi, determinandam applicari. g. 33. Equatio differentialis superficiei curvae ungularum ex iisdem principiis deducitur. Sit nempe a arcus segmenti basis . N 'B sit
superficies curva ungulae fit Ilifras tang. p unde re ad calculum i tegralem reducitur. Exemplum primum. Solidum cylindricum sit cylindrus circularis rectus, sit AB a diameter basis; erit hinc --rtang. φ S mctang.φ. dx Sit τ' ar erit m arriang. α ar Xrtang. φ proinde hoc casu etiam superficies curva ungulae absolute liqbetur. Seholium. Eadem, quaeri praecedente, de impossibilitate applicationis harum formularum ad casum, quo ' observentur. Exemplum se undum Solidum cylindricum sit cylindrus ellipticus, & sit AB axis alteruter ellipsis.1φ. Sit AB: rao axi transversus ab axis secundus, sitque ---bbrare; abscissae x axis AB sumantur a centro erit tang. φW - - ac c): cuius
formulae integratio non ab rectificatione ellipsis, sed a quadratura tantiu circuli pendet. Nempe est ym4 Tarc. sin. sex 4tang. p.
237쪽
Unde facto et o superficies proposita est rum tang. sp ut prius . Eodem modo ostenditur superficiem ungularum parabolicarum aut abs late haberi, aut ad logarithmos reduci; superficies ungularum hyperbolla rum sectione per alterutrum axem genitarum a rectificatione hyperbolae non pendere. g. 13 . Solida conica aliud constituunt sesidorum genus, quorum conmderatio stequenter occurrit. Si figura quaecunque plana positione Magnitudine data. Sit etiam pumctum quodvis extra planum figurae positione datum; recta per hoc punctum ducta circa perimetrum figurae rotetur. Recta haec ita revesuta gignit sum rim ionicam, cujus varie est planctum datum. Recta e Vertice ad punctumasquod perimetri basis ducta coincidit cum linea genitrice ea positione, qua per punctum hoc perimetri basis transit ideoque recta haec tota in superficie e
niua jacet, & dicitur istu superficiei conicae. Solidum, figura data supe Bb a ficio
238쪽
sicie conica terminatum, dicitur onur, seu solidum conicum & figura ipsa ejus besti. Recta ex vertice in planum basis perpendiculariter demissa vocatur astitudo ni Si basis habet celitrum figurae, Caltitudo coni plano basis in hoc emtro occurrit conus vocatur rectus: si secus conus est obliquus.
Si conus plano secetur basi parallelo figura sectionis basi similis est; dimensiones homologae sectionis ac basis sunt inter se uti distantiae plani seca
tis & basis a vertice coni. Sint duo coni aequealti bases eorum in eodem plano aceant, ita ut ipsi sint versus easdem hujus plani partes siti. Altitudo communis duorum con rum dividatur in partes quotcunque aequales utrique inscribantur ac ci cumscribantur prismata aequealta ad normam g primi exempli tertii quorum hases sint figurae similes sectionibus simul inscriptae aut circumscriptae Duo prismata in utroque cono sibi invicem respondentia seu a vertice coni aequaliter distantia sunt in ratione constanti basium suarum, seu in ratione figurarum basibus conorum simul inscriptarum aut circumscriptarum; proinde summae horum prismatum sunt in eadem ratione constanti Quare Climites harum summarum, nempe duo coni, sunt uti limites figurarum basibus inscriptarum circumscriptarum, seu ut ipsae bases Ratio igitur duorum conorum aeque- altorum aequalis est rationi basium eorum.
Atqui ratio basium aequalis est ration cylindrorum aequealtorum basibus illis insistentium. Proinde coni aequealti inter se sunt ut cylindri aequealti si dem basibus insistentes. Sed conus circularis est pars tertia cylindri circularis aequealti super e dem basi. Proinde conus quilibet pars est tertia cylindri aequealti eidemque basi insistentis. Determinatio igitur capacitatis cujusvis solidi conici reducitur ad deterin
mationem basis. g. 135. Secus autem res habet quod ad superficiem solidorum conico Tum Notum est, superficiem coni recti circularis a circumferentia circulite dere. Determinatio autem superficiei coni circularis obliqui cujus investigatioru
239쪽
tioni tot tantique mathematici incubuerunt nequidem ad rectificationem secti num conicarum terminis finitis potest reduci. Omissis casibus particularibus, quibus compendia quaedam possunt indag tioni saperficierum conicarum adhiberi, methodum omnium universalissimam disquisitionem hanc instituendi strictim exponam. Sit AMB basis coni S vertex ejus SP ipsius altitudo, quae plano basis in Fig. 37. P occurrit. Plano basis circumscribanu figura quaecunque rectilineas per si gula figurae basi circumscriptae laterais per verticem coni agantur plana quae constituent superficiem pyramidis cono cu cumscriptae Sitis punctum coni ctus unius ex lateribus; in quod ex vortice , demittatur perpendiculum T. Sit e latus figurae basilino continvns Ducantur in PM rectae Sum Q ficies trianguli, cujus hoc latus est basis cujus vertex S, est limST- e, SMO.SMI In angulo solido Μ, cujus acies sunt ψ ψ, NT, duae facies SMP, PMT sibi invicem sunt perpendiculares: proinde cos Surm cosmTcosmP; in mT W 1-cos PMTcos. Sum Superficies c nica ponatur S, arcus. qalma erit: Ἀ-YIi-cos.*PWcos SM
μα tW Saf - Rincos PMT Atqui ex aequatione data basis datur angulus mT per μὴ per angulum M v. v. daturque etiam exponens differentialis proinde res ad ea,
240쪽
Unde, sumtis integralibus arcui a Mi8o respondentibus, superficies integraeoni obliqui fit
Series haec eo promtius convergit, quora seu C Min' major est respectu α is se a 4r. Ea nititur hoc principio quod si fuerit -- cos.* a est