장음표시 사용
241쪽
Eodem modo series obtinetur admodum regularis pro 'so', ex integratione sermularum cosa inia, facto a Go'. da
His introductionis loco de solidis cylindricis conicis breviter praemissis,
pergo ad considerationem solidorum magis universalem. g. 36 Quemadmodum punctorum in eodem plano jacentium situs mutui omnium requentissime determinantur, puncta haec ad duas rectas sibi invicem normales reserendo per rectas ad eas perpendiculariter actas; quemadmodum curvarum in eodem plano acentium symptomata selici successu determianantur per relationem mutuam perpendiculorum, ex singulis curvarum harum punctis in duas rectas sibi invicem normales demitarum ita etiam situs mutui punctorum in spatio sitorum saepissime determinantur, puncta haec ad tria plana sibi invicem normalia reserendo per rectas ad haec plana perpendiculariter actas; pariterque tam curvarum in eodem plano non jacentium, quam superficierum curvarum, Iolidorum superficiebus his terminatorum symptomata freque tissime determinantur per relationem mutuam rectarum, ex singulis curvarum harum aut superficierum punctis in tria plana positione data tabi invicem normalia perpendiculariter demissarum.
242쪽
243쪽
Vicissim rectae P, Q, R exprimi potant per rectas 'R Υ, T simul cum recta S angulis αδε Fit enim
g. 138. Sit M aliud punctum, ex quo agatur VP recta plano MX per Fig. u. pendicularis δε ex puncto P agatur H ' recta ipsi S perpendicularis. aues ' agatur etiam P recta ac sint ' ipsi Q ' μ' ipsi M'ν perpendiculares. Sint M'ν, ' ' μ',
244쪽
Zm; ratio rectae se ad projectionem suam P aequalis est rationi radii ad cosmum anguli, quo recta HI ad planum M. inclinatur. Universim notum est figurae planae cujuslibet in planum aliquod orth graphice projem rationem ad projectionem suam aequalem esse rationi radii ad cosmum anguli, quo figurae hujus planum ad planum projectionis inclinatur. g. 3q. Porro tertium punctum V. Sit pariter VP plano MM& 'O' rectae X perpendicularis Agantur ΜΛ 'Μ rectae sint ' Im rectis 'P VP perpendiculares Sint respective.
245쪽
re. 'T recta ad se invicem inclinantur angulus hic fit aequalis anguI T
PT o-y g. I I. Hisce praemissis de punctis in spatio, quorum situs mutui nulla relatione determinata secum invicem connectuntur pergo ad praecipuum disquisitionis hujus caput, ad casum nempe, quo puncta relatione aliqua datari ter se connectuntur ita ut locus punctorum M sit superficies aut curva aliqua, relatione quadam inter perpendicula ΜP, P, SQ determinata. Quem ut, quantum potero, luculenter explicem, ab exemplis omnium simplicissimis ordiar. Exemplum primum. metu summa quadratorum perpendiculorum MP, P, die. 4s. SQ, summa haec est: - g. 136. proinde recta indatur magnitudine, ' 3'puncta a jacent in superficie sphaerica, cujus enim in S, cujus radius magnitudine datur.
Quoniam summa ΜΠ PQ --Scae datur magnitudine si rectaram ejusdem manet magnitudinis, & proinde puncta, in plano positione dato & planoasIC parallela iacent summa PQ Φ SP seu SP pariter datur magnitudine. Agatur se recta SP parallela, quae ipsi ST in occurrat Recta SpCora etiam
246쪽
etiam datur magnitudine; proinde puncta sita sunt in circumferentia ch culi, cujus centrum A Cradius NM: SP. Hinc discimus omnes solidi propositi sectiones planis G, Tm, Traparallelis factas esse circulares, centra harum sectionum jacere in recta perpendiculari plano dato, cui plana acta sunt parallela; ideoque solidum propositum est solidum rotationis circa quamlibet rectarum SA, ST, M. Fig. 38. Secetur idem solidum alio quocunque plano per rectam 'U' transeunte. Si angulus, sub quo hoc planum ad planum M inclinatur αα,- angulus
a C Alba I datis duabus trium quantitatum S - , , tertia sc
determinatur, ut planum ductum tangat si fieri possit solidum propositum; facto nempe S 'sin. isn.2. C MI' PQ - -- sed de hoc situ planorum
actorum seorsim agere praestati Exemplam seundum. Summa quadratorum rectarum O, SQ habeat rationem datam ad quadratum reliquae P. Finas. I. Magnitudine rectae, manente eadem summa quadratorum rectarum
'' a' pQ SQ seu quadratum rectru SP, pariter est datae magnitudinis Proinde sectiones solidi propositi, planis plano SN parallelis actae . sunt circulares. quoniam ratio PQ SP seu in se datur in triangulo S rectangulo ad N angulus SN datur magnitudine; ideoque in es latus coni recti, cujus axis est 6 9 Sit i angulus datus SMII. Recta
247쪽
ao7ΙΙ. Recta SP eadem manente, quadratum rectae, est ad quadratum rectae PQ spatio data auctum, in ratione data proinde omne sectiones planis plano S parallelis actae sunt hyperbolae similes. Ejusdemque indolis sunt sectiones planis plano SN parallelis actae. III. Soli tum propositum plano secetur quocunque, quod plano Zmin S 'V Finas. recta occurrat sub angulo α,3 sit angulus S V, c. Est O; SQ i SE R'*cos. αεS'R'--aSS' AMR'coscita.ciis ot
eos i cos ip-αcosti a cos. cos. Θα γ' Quare sectio est ellipsis. si fuerit cos. φ-οι cos. φ μοι quantitas positiva, seu φεας 18o' hyperbola autem, si uerit φεοι 18o'. Et quoniam species sectionis pendet ab coεfficiente cos. φ -οι cos. νε α , omnes sectiones planis sibi invicem parallelis factae sunt inter se similes. Exemplam urtium. Summa Μ ΦP semper sit rectangulo sub recta S Fig. q. sub recta aliqua data et aequalis. Q.&30. Igitur SI MMαπκm proinde solidum propositum gignitur rotations parabolae, cujus Vertex , parameter π,- axis T. Secetur solidum plano ipsi S parallelo recta SP manente eadem, erit PQ παπκΜP- ' proinde sectio est parabolica idemque valet de sectionisbus plano SA parallelis.
248쪽
3'. Sit 'o' ideoque cossino erit SS'cos - 'sui. mapκm'. Proinde omnes sectiones planis plano in perpendicularibus factae sunt par bolae, quarum parameter et est eadem quae parabolae genitricis.
Sectio igitur est elliptica, species ellipseos pendet ab angulo, 'ο- inde omnes sectiones planis sibi invicem parallelis factae sunt inter se similes. Ut sectio possibilis sit, debet esse
me'-sec.ex plang.-- in. sec.am plang.α plang.α--aSS'sin.cη; si fuerit. 'msec. D-SS n.QΦsec.ἄW plang.α plang.-a 'sin.Q) planum ductum tangit superficiem propositam. Pauca haec exempla sussiciunt ad dijudicandum, quomodo ex relatione data perpendiculorum MP, Q, SQ symptomata solidi possunt deduci; is minatim, quomodo ex aequatione hac proprietates sectionum ejus, planis positione datis actarum, inseruntur. Et quoniam aequatio curvae, quae est sectio solidi propositi per aliquod planum, oritur ex aequatione data inter tres perpen diculares PQ, SQ substituendo valores harum linearum per recta ΜΗ - expresses; neque hae in valoribus istis alia operatione praeter additionem substractionem assiciuntur g. 137. gradus aequationis pro sectione ortae superare non potest gradum aequationis, quae relationem trium perpendiculorum IM, PQ, SQ determinatig 1 a. Transeo ad plana contactus solidorum generaliter consderatorum. Situs plani cujuscunque determinatur per duas rectas sibi mutuo vel parallata vel occurrentes. Proinde ut determinetur planum, quod propositam perficiem curvam in puncto dato contingat determinandae sunt duae rem ex hoc puncto ductae, per quas planum hoc agi debeati Secetur itaque solidum propositum duobus planis per punctum datum transeuntibus tum determinatis sectionum aequationibus juxta g. I i. ducantur Cap. V. rectae, quae se- ctiones
249쪽
ctiones genitas in puncto dato contingant Planum per duas has tangentes transiens erit planum contactus. Facillime autem propositum peragitur, si solidum ad tria plana Z.LX, Tu, Tra sibi invicem perpendicularia reseratur per rectas planis his perpendicul riter ordinatim applicatas pariterque duae sectiones fiant planis duobus ex illis parallelis proinde tertio perpendicularibus.
Sit igitur punctum datum in superficie solidi, e quo in planum m mig. gr. perpendicularis demittatur ΜΠ Tum per rectam, agantur duo plana M 'ΜΡ, Μ ΜΡ, planis IM, T respective parallela; ise , quae in puncto M sectiones planis ΜωP, Μ ΜP factas tangunt, plano M in τὰ T sun
Sit PT ipsi T perpendicularis P erit dae da
Exemplum primis Curva in plano M'MP descripta si circulus, cujusa cli curva in plano M mi parabola, cujus parameter
250쪽
Etenim solidum propositum secetur planis sibi invicem parallelis , Qqu rum distantiae sint v gr. aequales. Tum solido inscribantur .circumscribam tu solida cylindrica, quorum bases sint sectiones solidi, Caltitudo communis sit distantia duarum sectionimi sibi proximarum. Frustum solidi inter duas mctiones vicinas comprehensum, majus est solido cylindrico ipsi inscripto minus autem circumscripto. Atqui ratio aequalitatis limes est rationis horum solidorum cylindricorum ergo a sortiori ratio aequalitatis limes est rationis frusti s lidi ad alterutrum horum cylindrorum. Quare posita distantia communi du rum sectionum vicinariun - , area sectionis solidi capacitate solidiae, S: erit lim.U ideoque Data igitur lege, juxta quam se-
ctiones s crescunt aut decrescunt datur exponens disserentialis L & proinderes ad calculum integralem reducitur. L 14. Exemplum primum. Sit AMDD paraboloides gyratione Gnidii segmenti parabolici MC circa axem Singenita, quae secetur plano mu' basiis io pendiculari, & plano Sm per axem transeunti parallelo sectio Σκ pariter erit segmentum parabolicum nempe θ-κγ CX--.