장음표시 사용
271쪽
πι plum tertium Git --- - functio ex duobus teminis impossibi
272쪽
Ag. 50 Casibus explicatis, quibus quoti fiunt determinati paucis stringam casus non satis hactenus observatos , quibus signum i absolutam indicat Jndeterminationem. Quod ut luculentius faciam, ab exemplis quam sinplicissimis ordiar.
273쪽
a33 Exemplum primum. Sit m tam ratio data duarum quantitatum , y; sit nes ratio etiam data earundem, postquam quantitatibus datis a b auctae suerunt.
Atqui ratione quantitatum a cis rationi quantitatum aequali posita, patet quantitates, is esse posse qualescunque se eas esse indeterminatas; proinde hoc casu signum absolutam indicat indeterminationem. Casibus, quibus quantitates A sunt determinatae, quantitas Q v. gr. determinatur aequatione innae, na m m --mb. Atqui posito :m'in: n . est in m mn ideoque termini mi 'oc, m x sunt invicem sequales unde debet esse nam nmb, seu 'a in b, a: α ι n duae Xpressiones mnx mna, mi Ἀm sunt ideo identicae, nihil ex illis deduci potest, quod ad valorem quantitatis incognitae , casu, quo
quantitates incognitae aequationibus praecedentibus determinantur casu autem, quo a: emb b se a m in simul b - bi fit rib - ν' unde pinu, 4'b--υ-pb' fit ideo x - φ, seu quantitas indeterminata: si non essetis' u signi ' ξρ introductio quaestionis propositae im-
possibilitatem nos docereti Eadem applicari possunt ad quaestiones, in quibus tres aut plures quant, rates incognitae occurrunt. Exemplum tertium. Exemplo primo prorsus analogum est hoc alterum.
274쪽
23 Detur summa a quantitatum , ' it m summa b quantitatum , ' dentur etiam rationes tam quantitatum M. , quam quantitarum x 4: quaerantur quatuor hae quantitates. Si rati summarum datarum n, b aequalis est rationi datae quantitatum , ν rati quantitatum exinde ita determinatur, ut aequalis sit priori rationi datae quantitatum x, hae quantitates possunt esse quaecunque in e ratione data, quae indeterminatio symboli Dintroductione indicatur.
Quantitates datae numero pari , , , d . . . . sint unamae
aut disserentiae quantitatum , x ty, y Ra v . . . Dentur etiam
quaest io sit indeterminata. Inter applicationes geometricas propositionis hujus ad indeterminationem ducentis tres sequente indicabo, quae quasi sponte se mihi obtulerunt. Figurae rectilineae positione ac magnitudine data inscribenda sit figura rectilinea cognomini perimetri omnium minimae Casus, quo figurae propositae numerus laterum ess par, ita est indeterminatus ut, si problema propositum possibile uerit, solutionum numerus nullum habeat limitem: facile est indeterminationis hujus neXum eum casu praecedente ostendere. Vid. Relatio mutua evacuatis, terminorum syrorum Varsaviae 178a.
Pariter circulo dato inscribenda sit figura rectilinea, cujus latera per p-cta positione data transeant. Problema hoc casibus quibusdam etiam fit indeterminatum ut ostendi in dissertatione, quam de hoc eleganti problemate ad Academiam Berolineissem ante aliquot menses transmisi: cindeterminatio haec ad eundem omnino sontem potest reduci. Idem contingit, quando figura rectilinea cognomini figurae rectilineae ita imscribenda est, ut latera ejus per puncta positione data transeant, aut sint rectis positione datis parallela. Sed missis hisce quaestionibus magis arduis transeo ad exempla geometrica simplicitate sua commendanda. Sit circulus, cui inscribenda sit linea recta, quae per punctum positione datum transeati
275쪽
235 Siti centrum circuli, cujus radius sitis si P punctum positione datum, Fig. a. cujus distantia CP a centro sit a st T recta magnitudine data inscribenda in ab & siti ipsi V perpendicularis. Omissa analysi .constructione geometrica quibus hic immorari a scopo foret alienum exponam tantum calculum algebraicum, quo fit sin. CPZ- , - Fiat autem ν-r Cproinde recta inscribenda transeat per centrum fit m. m eodemque casu pu ctum P propius propiusque ad centrum accedat, cum eo tandem coincidat; ita sit n. IV - g cum hoc casu unica sit conditio, nempe ut recta ducenda per unum tantum punctum datum transeat; signum hoc indicat indeterminationem positionis lineae magnitudine datae. Observatio. Si suisset tantum non autem oret n. CIE -
hoc symbolum esset signum impossibilitatis Cap. IX
AIterum exemplum. Sint duo puncta positione data sit & tertium punctum Fig. s. positione datum, per quod ducenda sit recta talis, ut perpendicula ex duobus prioribus punctis datis in eam demissa sint inter se in ratione data. Sint AE, B duo priora puncta data siti tertium punctum datum: quaeratur recta X, in quam demissa perpendicula cisa, Bb sint inter se in ratione data. Agatur recta AB, dividatur in C in ratione data recta C est rectaqi aestas. Ut problema sit determinatum necesse est, ut P&i puncta sint diversa si secus eveniat, unicum datur punctum, per quod recta ducenda sit, proinde positio ejus est indeterminata quod calculo etiam indicatur. Sit -- , PC- b, -- e in triangulo AP fit sin. -
Ratione data manente eadem, seu a- abdem manente AC, evanescat C: et AP --, seu a - , αὐ-o; undesin.Cαα ἶ quod signum indicat, omnes rectas per ductas conditioni propositae satisfacere.
Haec possent ad niunerum quemcunque punctorum positione datorum ap-G a plica-
276쪽
plicari Chuc quoque revocatur indeterminatio, ut ansam praebet problema locale, quod exposui in opusculo meo inscripto: Pulygonometrie, pag. 72-93. Indeterminatio haec, ubi occurrit, affectione quasdam generales quantitatum, quae locum ei praebent, potest indicare Sic v. gr. postremum exemplum intime connectitur cum proprietate centri gravitatis, de qua vide g. Ia5 sq. Sussiciat paucis exemplis elementaribus assertum lio iterum illustrare. Circulo dato inscribendum sit quadrilaterum, cujus anguli dantur. H Sit ABAB' quadrilaterum propositum, inscribendum laculo, cujus e
'A' A '--x 'A - CAB' ---ΗΦB-- - x Unde angulus sit indeterminatus simul in B B L seu discimus, summas angulorum alterne sumtorum esse invicem aequales. Idem valet de quavis figura rectilinea numeri laterum paris, circulo inscribenda. Huc etiam pertinet casus indeterminatus problematis in Geoda a tantopere utilis quo tribus unetis positione datis, quaeritur quartum punctum, observatis echo puncto angulis, sub quibus mutuae priorum punctorum distantiae apparent. Idem dicatur de immis laterum alterne sumtorum figurarum circula ei cumscriptarum. Sint A, B, C latera alicuJus trianguli po, b, c anguli his lateribus oppositi: quamdiu latera A de B sunt invicem inaequalia, ac proinde etiam anguli a C invicem inaequales; est tang. tang.Q εB A-B data igitur ratione inaequalitatis late
rum A&B, data disserentia angulorum aracb, determinatur tangens dimidiae summae horum angulorum o aequationem tang. - - a tang. X - .
Sint autem latera , invicem aequalia fit tang. α tang. f;
hoc seret signum impossibilitatis, nisi esset sines Arab, 4ang,-mo unde
277쪽
aartan . v. q. Signum ideo indeterminationis 8 nos monet quod, si nulla sit laterum disterentia, etiam nulla sit angulorum oppositorum disserentia. Idem dicatur de altera propositione, quae unum est etiam ex praecipuist trigonometriae planae fundamentis. Sit A basis alicujus trianguli, in quam ex vertice opposito b agatur recta perpendicularis; snt C segmenta basis lateribus A 6DC adjacentia. Quamdiu Adc sunt invicem inaequalia, stat proportio A*C A C, BQ --C'; unde εσα Η si vero Ata C & proinde m C; fit ΑΦ Cm B q, quae est expressio indeterminata. Numerus nempe triangulorum aequicrurorum super data basi construendorum estillimitatus. Sed haec sufficiant de re ad elementa pertinentia nec immoror ostendendo nexu inter propositiones, ab antiqui Porismata nuncupatas, ignum g casu, quo indicat indeterminationem
De theoremate Tolorinis ad functiones duarum pluriumve ariabilium extenso et de rationibus disserentialibus atque ut rasibuseaxundem functionum.
Νit iunctio duarum quantitatum mutabilium x, Ualores, quos functio haec recipit, quando quantitaSa sela, aut quantitas soIa, mutationes Ax, respective patiuntur, denotentur signis P, 'A Valor, quem eadem functio recipit, quando aeraco mutationes x- Δ successive patiuntur, ponatur P; pariterque valor, quem uncti haec recipit, quando dcx mutationes - Δ u
successive patiuntur, designetur per P.
Functio P ex unctione P oritur, si in ea , Iόco substituitur; p riterque functio P ex uncti'ne oritur, si in ea x in loco x substituitur
Proinde duae expressiones P, P unum eodemque unctionis P valorem desi-Ggo manta
278쪽
a33gnant eum nempe, quem obtinet, si quantitatum racis loco quantitates κεΔε, νε- simul substituantur. Quoniam notatio a mathematicis usurpata, qua exponentes disserentiales functionum duarum pluriumve quantitatum mutabilium designant, .minu commoda mihi videtur liceat aliam proponere, calculo mea quidem sententia aptiorem. Scilicet exponens differentialis sunctioni P duarum pluriumve variabilium, quatenus x sola mutatur, denotetur signo 'd'ρ; exponentes differentiales successivi eodem modo sumi ponantur 'd P, Vis, ' P. . . . um exponens differentialis functionis 'P, quatenus y sola mutatur, designetur 'la'I generatim exponens disterentialis 3nx ordinis functionis ' P, quatenus y sola in hac functione mutatur, sit χ IVRQuibus suppositis, paucis ostendam quomodo theorema Taylorianum, defunctionibus unius tantum quantitatis mutabilis demonstratum, ad functiones duarum pluriumve quantitatum mutabilium extendatur a functionibus duarum quantitatum mutabilium ac, , quae fiant, ina: ν-Δis, ordiundo. g. 61. Per theorema Taylorianum Cap. III. est
279쪽
280쪽
a og. 6 a. Ex g. praecedente insistendo vestigiis Capitum L II. deducitur determinatio mutationum simultanearum duarum quantitatum variabilium A, F, atque functionis ipsarum P ac speciatim Sponentis disserentiali harum mutatimaum. Consideratis nimirum functione μὴ quantitatibus malabilibu A, y, tanquam unctionibus unius ejusdemque quantitatis mutabili p; erit -- a P
, contradictionem non involvit, ut aequationi differentiali propositae respondeat aequatio integralis, quae fit aPm Φρο-