장음표시 사용
291쪽
sar non evanescens est ' 'V . Quodsi vero, ' evanescente vel non o V positivus Anescente posito xino, impar exponentium differentialium, qui illum sequuntur. numerus simul evanescit, dum exponens differentialis sequens non evanescit simul abscissae , o respondet punctum flexus contrarii. dyHinc posito m numero integro positivo, si si Q; abscissae x mi respondet ' 'φημ' aut punctum flexus contrarii, prouti in impar est aut par.
minima' punctum flexus contrarii.
292쪽
Proinde aequatio curvae, ordinatam habentis, ab aequatione lineae
resti axi parallelae, Vel ab aequationibus ordinis paris parabolarum, quibus per potentias integras abscissae x exprimitur, eo minus differt, quo propius puncta curvae ad , punctum curvae accedunt. Et aequatio curvae, punctum flexus contrarii habentis, ab aequatione lineae rectae axi phallelae aut obliquae vel ab aequationibus, ordinis imparis parabolarum, quibus a per potestates integra ipsius x exprimitur, eo minus differt, quo propin Euncta cu vae ad flexus contrarii punctum accedunt. g 177. Qui symptomata inter curvarum, quibus flexum contrarii puncta
aut ordinata admittunt, intercedit nexu mutuus, sequenti etiam
Quaeeunque de si, dicuntur, vera sunt de exponente dis
serentiali, quando sexus contrarii punctum existiti Proinde flexus contrarii determinatio reducitur ad determinationem zzzi exponentis disserentialis seu mitionis . Atqui angulo coordinatarum posito recto 2 tangens est trigonometric anguli, quem recta curvam contingens facit cum axe. Itaque in flexus contrarii puncto tangens haec trigonometrica vinium Iz est;
293쪽
253 Propositio haec geometrice si stabilitur. Sit se curva ab A inde Fig. Ῥ6. usque ad tu versus axem concava, c. abis inde usque ad di versus axem con vexa; ita ut Μ sit punctum flexus contrarii. Ex M N M punctis agantur rectae tangentes, quae axi in , T 'I punctis occurrant; tangens UTta gentibus M'T', 'M' in '&' punctis occurrat Casu hoc in triangulis Tri 2 'T' angulum fit internus, & minor angulis externis oppositis 'Ι Casu
autem, quo eurva est ab A versus as convexa, ab II versus. Is concava, in iisdem triangulis angulus T fit extemus, .major angulis internis oppositis T . T. Tandemque casu, quo exponens disserentialis N evanescit, seu tangem eurvae in flexus contrarii puncto xi est parallela anguli, quo tangentes, per puncta ex utraque sexus contrarii parte sita ductae, cum axe ad easdem ejus partes faciunt, simul sunt acuti, continue ad evanescentiam accedunt. Casu, quo tam fimetis P, quam exponentes disserentiales successivi g, d dyis . . . da
L , signo impossibilis seu infiniti non afficiuntur, exposito; ad sumctiones progredior, quaeram huic ansam praebent. g. 78. Et primum quidem, si sit Pi φ' e lacto x iis, signil introductione docemur, functionem P fieri impossibilem Hoc quippe casu curva asymptotum habet abscissae a m a respondentem, ordinata puncto huic respondens est impossibilis Cap. IX Exponentes disserentiales successivi
di dae ' dae c-qn 1 x-a n ' x- a)n- successive etiam assiciuntur quibus monemur, contradictorium esse de maximis ac minimis, de concavitate aut convexitate curvae in puncto impossibili disquiarere. Omne cumae asymptoticae, dum propius propiusque ad asymptotum a eedunt, ad eum tendunt statum, ut tangente earum fiant asymptoto parallelae; curvatura ipsarum continue ad evanescentiam tendit, quam tamen nunquam assequitur.
f. 17q. vi hoc casu, ad eos transeo, quibus fimctio F quidem impossibilis signum Lino involvit, sed exponentes ejus disterentiales illo assiciuntur. Liae Ut
294쪽
a5 Ut hoc eveniat, functi P actorem cx- seu a- 0 continere debet, cujus exponens' est numerus positivus non integer; magnitudo hujus exponentis determinat ordinem exponentis disserentialis, qui primus impossibilis signum involvet. Exempla. Gito fractio vera, seu di': exponens V casu a iis assi- 1 dxcietur signo impossibilis quo docemur tangentem per punctum curvae, quod abscissae xrma respondet, ductam fieri rectis axi Ordinatim dipplicatis parablelam, seu tangentem hanc axi esse perpendicularem.
Sitis ramo spuria, inuidem dii tum exponens ditarentialis
impossibilis signo primus assicitur. Sit exponens differentialis . ille est, qui impossibilis signo a primus assicitur.
Universim sit et ' erit exponens disserentialis is, qui impossibi
lis signo I primus amicitur. g. 8o. Ut quae ad casum hunc pertinent, eo distinctius tradam a ca-sbus ordia simplicissimis, iis nempe, quibus D AR, seu a curvis parabolicis aequatione hac designatis. Et primo quidem sitis numerus fractus verus L ad simplicissimos redactus terminos, seu cujus terminis C diviserem communem non habent quod postea semper supponetur . Tres occurrunt distinguendi casus. Potest quippe ractionis ae terminus unus esse par, quo casu alter erit impar tum par erit Vel numerator , vel denominators vel uterque terminus si potest esse impar. Primus eo s. Gitu numerus par impar.
Functionis x idem est valor, seu, fiat ne gativa, seu positiva proinde duabus abscissis aequalibus, quartu una positiva, altera negativa est, duae respondent
295쪽
a5s dent ordinatae aequales positivae ideoque curva duobus constat ramis invicem congruentibus ad easdem axis partes, sed ad diversas verticis partes sitis. Quoniam a mon: sunt ρα - - 1 αεn
Proinde, quamdiu A non est ero, curva Versus axem concava est, propter n. I n- ., quoniam symx' quo major est ac, sive positiva, sive ne gativa, eo major est, ideoque facta ac rara, mo est omnium minima. Factis a mo, est proinde communis duorum ramorum tam gens in vertice est axi perpendicularis, seu rectis axi ordinatim applicatis parallela. Duo igitur ram cuspidem ad verticem formant, plus minusve acutam tum Pro vario exponente notum pro Varia parametro, qua fit rapi xR. Figura q. R. sistit curvam, cujus aequatio est Lm XV; ig. q. a'. cu Vam, cujus aequatio est να d. Casus seeundus. Sit 3 numerus impar, sari
Hoc casu non potest esse negativa. Et quoniam 3 m '; o, numerum parem, eidem abscissae duae respondent Ordinatae aequales, una positiva, altera negativa unde curva duobus constat ramis invicem congruentibus, ad diversas axis partes, sed ad easdem vertici partes sitis Casu hoc ordinata gero, abscissae gero respondens, minor est rectis axi ordinatim applicatis in regione o clinatarum positivarum sitis major autem in calculo algebraico censetur applicatis in regione ordinatarum negativarum sitis itaque ordinata haec neque --xima Dj0jtjgod by IOOQl C
296쪽
256Xima neque minima judicatur Sed abscissa ero minor est abscissis positivis;
ideoque hoc casu datur minimum abscissarum, sed nullum si ζ ordinat
rum Porro recta curvam in vertice contingens parallela est rectis axi ordinatim applicatis. Quoniam mi λ' sunt I n. I-n J . Proinde ramus ad parte ordinatarum positivam situs versus axem concavus est; sed ramis ad parte ordinatarum negativarum jacens versus axom convexus est, quatenu ad eaSdem cum prior axis partes resertur seu bi duo rami sunt h. ebhk easdem partes cujusvis rectae axi parallelae. Vorte ideo spectari posset in quam punctum flexus contrarii, quatenus curva ad rectam axi parallelam refertur. Sed cum duo anu similiter flectantur versus rectam axi perpendicularem; V. gr. VersuS rectam, quae curvam in vertice tangite usu receptum hoc casu non
est, verticem flexu contrarii punctum vocare; sed potius vertex
punctum, quod ad abscissas, spectaturi Fig. O. b curvam exhibet, cujus aequatio est y 'I.
Ad hanc classem pertinet parabola conica, cujus aequatio est 3 Cusus tertius umeri si ambo sint impares. Hoc casu abscissis aequalibus p xj j respondent ordinarae aequales etiam
nestatiViri uxv igitur duobus constat ramis invicem aequalibus, ad diversas tam axi quam verticis partes stis; ideoque ordinata vertici respondens nec ma xiis nec minima est censenda. Quoniam 3 proinde recta curem in vertice contingem parallela est rectis axi ordinatiis applicatis. Porro n. 1-.- ωquoniam inmerip ambo sunt impares. etiam fractionis a- ambo termini impares sunt. Proinde sumta x positiva. est negativa; ideoque curva versus axem concava est: sumta autem ict-gatiV
297쪽
asygativa, da pariter negatio est, proinde fit positiva quare in regione o
dinatarum negativarum curva est conveXa, quatenus easdem cum ramo priore partes axis respicit, seu quatenus resens ad reditam aliquam axi parallelam. Proinde hoc casu vertex curvae est punctum sexus contrarii. Figuris 51. ineantur ductus curvarum, quarum aequationes sunt
Jam sitis fractio spuria seu major unitate. Casus hic ad praecedentem semper reducitur. Cum enim sitis stam spuria, - est fractio vera: atqui quo
298쪽
I'. ditis numerus fractus verus erit E E S.
sacta e mi, fit vx. I seu tangens ad verticem parallela est rectis ini
ordinatim applicatis. Tum quo minor est x eo minus aequatio differentialis curvae differt ab aequatione Τέα - e. UL :- quoniam mon involvit sactorem , sunmo haec
formam habet σε Re m - ... imminuta x limes ejus est a. Proinde aequatio differentialis Nx es propius semper propiusque accedit ad aequationem disserentialem parabolicam A curva ipsa ad parabolam, cujus aequatio est, in Ax' ideoque, acta a m , y minima est, sin sit numerus stactus, cujus numerator est par nna maxima nec minima est,siis sit numerus fractus, cujus denominator est par. Denique abscissae a mirespondet punctum flexus contrarii, si, sit numerus stactus, cujus tam num rator quam denominator sunt numeri impares.
I Sitis numerus stactus spurius '
299쪽
Facta a mi est . mi proinde recta curvam in vertie contingens paralle
Igitur, imminuta , exponens differentialis secundi ordinis , propius semper propiusque accedit ad hunc valorem, ut sit bra n. . - IF mn .n I B τε Cac ΦDA' . . . . L. - proinde aequatio curvae propius semper propiusque accedit ad aequationem parabolae, cujus aequatio differentialis
IIJ Sitis numerus fractus spurius '.
300쪽
abscissae respondet punctum flexus contrarii.
Quare, imminuta x, exponens differentialis D propius semper propiusque a