장음표시 사용
311쪽
a71 Exempla haec ostendunt, methodum posteriorem quatenus quantitatum,
quae I se reddi debent, evolutionem non requirit priore methodo gene-
minimaerali posse esse laciliorem ac breviorem. g. 85. In exemplis praecedentibus relatio finita inter quantitates inc gnitas ita fuit post differentiationem determinata, ut ipsae quantitates incognitae quoad imperfecta aequationum domina permittit possent assignari. Transeo ad exempla, quibus quaestio proposita indeterminata esse videtur, quoniam qua titatum incognitarum numerus videtur aequationum numerum superare cum tamen quaestio proposita reapse sit determinata, si natura ejus attentius perpe datur. Hoc quaestionum genus 'ut facilius intelligatur, nonnulla proponam exempla, a simplicioribus ordiendo. Exemplum primum. Summa proposita o dividenda sit in tres partes, sic ut summa quadratorum ex iisdem actorum sit omnium minima. Hoc casu tres occurrunt quantitates incognitae & tamen prima fronte duae tantum proponi conditiones videntur, quarum una ad summam datam trium partium refertur, altera ad summam omium minimam quadratorum eamdem. Quare problema propositum potest videri indeterminatum quod tamen, re a curatius perpensa, reapse est determinatum. Etenim, parte qualibet eadem manente, duae reliquae partes debent esse invicem aequales, ut quadratorum summa posita unius partis constantia sit omnium minima Proinde partes propositae binae sumtae debent esse invicem aequales unde tres partes debent esse invicem aequales Ratiocinium hoc applicatur ad numerum quemcunque partium, in quas summa data est dividenda, ut partium quadratorum summa sit onmium minima. Transeo ad computum.
Sit S summa data; 4nt x, , et partes quaesitae. Erit ideo Sxx Hyy aam mimmo. Siti quantitas quaedam mutabilis, cui mutationes pro constantibus sumantur.
312쪽
313쪽
unde omnibus quantitatibus mutabilibus praeter q&x positis constantibus, fiunt
314쪽
Observatis. Minc determinantur tam relativa sub datis quibusdam conditionibus, quam ' absoluta, seu myrim νηηim'IV seisie.tuita
pluribusve quantitatibus mutabilibus positis constantibus, determinantur relati
nes mutuae reliquarum, ut d ζζζζ ad has conditiones relatum lociun habeat: remotis autem his conditionibus, determinatur 'l' absolutum, seu
maximum ma im0 stabiliendo nempe relationes mutuas omnium quantita
tum mut3bilium, ut mihisum mihim. - secum habeat Sic uno latere
trianguli alicujus magnitudine dato, summa reliquorum magnitudine data; triangulum aequicrurum, in quo latera haec sunt invicem aequalia, maximum est triangulorum sub priore conditione constructorum ut vero sub data perimetro triangulum sit omnium maximum, seu maximum maximorum, tria ejus latera debent esse aequalia. methodum praecedentem exemplis ad geometriam pertinentibus illustraro e re esse censeo. g. 86 Probismo. Inter parallelepipeda rectangula, eadem iuperficie i tegra comprehensa, quaeritur illud, cujus capacitas est omnium maxima Sint x, acies parallelepipedi quaesiti.
315쪽
Exemplum I. Figura proposita sit quadrilatera. Sin A, B, C tria latera magnitudine data; innis, a anguli figurae e terni, inter latera A& B, B 6 C respective comprehensi.
di do duPonatur a constans erit Ac eos: Co P unde B cos ym Ceos 18o' - a )Pariter factos constante 4soebi, ' O unde B cosam acos. I 8o' - ν 1 . Exemplum a. Figura proposita sit pentagona. Sint latera data A, B, C, D; anguli externi quaesiti is F, a.
316쪽
Proinde quaestio proposita ad alteram reducitur mere geometricam aut algebraicam), qua quantitate quaesitae , , a per tres aequationes datas deter
Investigationis methodum eandem esse, quicunque sit numerus laterum figurae propositae, ultro patet. Non immoror demonstrando formularum harum consensui cum altera palmaria figurae propositae omnium maximae proprietate, qua scilicet figura haec semicirculo inscribitur, cujus diameter est latus quaesitum. Vide inter alia opuscula inscripta: De relatione mutua vaeitatis V terminorum Agurarum, Variavi 178 et 2 rege Usoperimetri elementa re, Geneve Irq I. Quaeri etiam potest figura omnium maxima lateribus magnitudine dat comprehensa lavestigationis hujus methodum paucis etiam exemplis illustrabo; a casu determinato incipiens, quo figura proposita est quadrilatera Sint ιε, B, C, D latera data quadrilateri, quod omnim maximum fieri debeat. Ducatur recta diagonalis, quae propositum quadrilaterum in duo tria gula dividat Sint A, B crura imius horum triangulorum; in x angulus i ter ea comprehensus Sint C, D crura alterius trianguli; iis angulus illis comprehensus. Erit ---aocos'BB, C aCIIcos DII AB sin.:ιὰ sins maXimo. Uno
317쪽
dii d et avErgo AB si x γε - AB cosx cos 18oφ-ν tang.a - tang. I 8o' - f; I8o' finximuin igitui quadrilatem lateribus datis comprehensum circulo potest inscribi. Exemplam fleundum suaeratur pentagonum, cujus latera A, B, C, D, Edantur magnitudine, inuod sit omnium maximum. Ducatur diagonalis, quae pentagonum propositum dividat in triangulum. erius crura sim D, E;- in quadrilaterum, cujus latera reliqua sint A, B, C Sitis angulus extemus figurae lateribus A, B interjacens
318쪽
Fiat et constans P erit Mn.-Csin. xis): B cos,in os xis , Ata. xΦν ΦBtas: Acouxis ΦBcocy. Fiat, constans: erit B sm.m CD. xis : cos.x Ccos xis , m. cos. I 8o'-a . Pariter, posita x constante, fit Asm. xis)-B suis : Acos xis) B cos. - m. cos. 18o' a P quae r portio jam resultat ex duabus praecedentibus. Duae istarum proportionum cum aequatione ΦaAB cos in με aDEcosa -- combinatae ΦQAC cos. xis)φBBε aBC cosyε tres exhibent aeqnationes, quibus quaesti proposita ad problema algebraicum determinatum reducitur. Tertium exemplum Quaeratur hexagonum lateribus A, B, C, D, E, F magitudine datis comprehensum, cujus area sit omnium maxima. Angulus externus inter latera A, B comprehensus sit
- AC sin. α , BC an in F sin. α' , --sin. im0Disserentietur utraque aequatio Comnes quantitate mutabiles , ,κ ponantur successive constantes, duabus exceptis hinc eruentur tres relationes diversae quantitatum harum mutabilium quae cum priori aequatione coinbinatae totidem suppeditabunt aequationes, quot sunt quantitates incognitae. Theorematibus, quibus formulae, ad quas pervenitur, ansam praebent, evolvendis non immoror. Problemata haec proposui tanquam exempla universalitatis solutionum calculo differontiali innixarum eadem vero aptissima sunt ad ostendendum, quanto lucidiores esse ressint solutiones mere elementare iis casibus, in quos
319쪽
I79 quos quadrant cum lacillime Cuniversaliter demonstretur figuram latoribus magnitudine datis comprehensam omnium maximam eam esse, quae circulo potest inscribi. Video. gr. opuscula meo jam nominata. Iisdem principiis insistendo determinari potest figura omnium maxima, cujus anguli & perimeter dantur. Problema. Inter pyramide triangulares aequealtas, basi specie .magnitudine datae insistentes, ea quaeritur, cujus superficies est omnium minima. Altitudo pyramidis dicatur 4 latera basis sint A, Anguli quaesti , sub quibus facies pyramidis lateribus his respective adjacentes ad basin inaclinantur, sint x, respective. Functi, in quo altitudo pyramidis basi occurrit, a lateribus basis distantiae sunt respective racot.x, hcot.κ hcot.ae Altitudines lacierum pyramidi sunt hcosec. o. Icosec. e hcosec.x Duplum areae basis est Acot. Ahol. e 'coLE'). Dupla summa facierum est in Acosec.a 'cosec. e'ΦA'cosec. e ).. coti in cot.x AEOLa dato Acoiscix ' sec.x Alcosec.x' minimo. deoquΘΗinc A cosec. λύς
Eodem modo insertur Pyramidum igitur triangularium quaestarum,
320쪽
a8obasi datae insistentium, ea terminatur superficie minima, cujus acies ad basin aequaliter inclinantur. Vide opuscula modo commemorata, in quibus propositio haec methodo mere elementari adstruitur, Cuberes ejus consequentiae vob
g. 87. In quaestionibus postremo loco tractatis quantitas, qua ζζζζζζreddi debet, functi est plurium quantitatum mutabilium, a se invicem ita i dependentium, ut determinatio unius reliquas non determinet Criteria, quubus dijudicari potest, utrum ejusmodi iuncti esse possit, nec ne primus omnium universalissime constituit celeb. DELAGRANGE Miscellanea Sori tatis Taurinensis, Tom. I. . Sussiciat hoc loco functiones duarum variabilium comsiderare, atque criteria haec ex formulis capite praecedenti traditis deducere. Quouiam est in P I-a I.2.3