Principiorum calculi differentialis et integralis expositio elementaris

331쪽

1'. Sit an in T, seu vis ἔ: erit Fry, - pa an ar-x- ρ ar . Pr inde, imminuta ac rationis posterioris limes est ratio G ar; ratio haec est tio aequalitatis sis, ar, seu lv. a'. Sit an I; ideoque D s ' par non' ar-x. Imminuta x, nullus est limes quod ad parvitatem posterioris rationis itaque nullus etiam est limes quod ad parvitatem rationis prioris quaelibet igitur circuli circumferentia, curvam in vertice contingens, cadit extra curvam ad partes vertici vicinas, utcunque parvus sit radius ejus r. 3'. sit an in I; R :yymp* η: Ham ar- . Imminuta , nullus est posterioris rationis limes, quod ad magnitudinem ideoque nullus etiam est prioris rationis limes, quod ad magnitudinem. Proinde quaelibet circuli circumferentia ciuvam in vertice contingens cadit intra curvam ad parte vertici vicinas, utut magnus si ejus radius r. Ideoque parabolas inter aequationeis py 'x' determinatas, parabolam nica sola est, cujus curvatura in vertice cum curvatura circuli consere possit Idem consenuitur ex applicatione sermulae generalis radii osculi ad casum, in quem quadrare non potest eum nempe, quo nullus est quot vi limes, sive quod ad magnitudinem, sive quod ad parvitatem seu quo formula radii

curvaturae fit aut gero, aut impossibilis. Etenim posito umpi xn fit et i 11Wηx i

332쪽

αR Sitn et erit ETL ; facta betato, 'Ty uod est signum impossibilis. Nullus est circulus, utut magno radio describa

est minis seu nullus est circulus, radio utut parvo descriptus, qui curvam in vertice ita contingat, ut ad parte Vertici vicina intra curvam cadat.34s . Sit m in erit rix Hoc casu linea proposita est recta proinde contradictorium est, de curvatura ejus dicere quod monemur signo impossibilitati l ab abscissa cindependente. Idem contingit, si sit mini; quo casu linea recta parallela est aXi, ad quem resertur 5'. Sit permutatis coordinatis, casus hic ad tres priores reducitur. M6'. Sitis negativa, seu curva proposita sit hyperbolica.

Tunc '''V' Et quoniam contradictoria est suppositio x mi introductione signi monemur, contradictorium esse, loqui de

curvatura curvae in puncto per absurdum ficto, ubi asymptoto occurrat.

Quo minor est, eo magis radii curvaturae alor accedit ad 2P--- ---;

quoniam nullus est abscissae Himes quod ad parvitatem, nullus etiam est radii Rames quod ad magnitudinem. Sit IIU - xx a-p0. Erit π au-3M

333쪽

Utrique abscissae respondent puncta flexus contrarii, quibus nullus r

spondet limes quot T. Vid. Fig. 48. In puncto flexus contrarii obet is est Rm C C e. Proinde

aequatio curvae eo propius accedit ad aequationem lineae rectae, quo puncta cu vae ad punctum flexus contrarii propius accedunt. g. 96. Consideratio curvaturae curvarum ad secum aliquem relatarum in mathesi, mixta praesertim, requenter magni momenti applicationibus inservit; quare breviter eam explicabo.

Si F secus, ad quem curva MΜ refertur per radios vectores M, - rins Aatque angulos ATM, MN Per M agatur recta tangens H, cui Fae in t o currat. Curva est versus secum ''yyy , prouti iam:

334쪽

Proinde quotis limes si quis detur est 3ν--L. t ' L. R.

&ὰς puncto erigatur perpendiculum qR, quod normali per Μ ductae ina occurrat: erit 2 diameter curvaturae in puncto Μ quod demonstratur, uti g.193- . Sed

AER - γδ ἴ---δὸν recta missariam divisa in , fit radius cum

Formulas has variis exemplis illustrabo. Exemplum primum. Sit mi, quantitas constans tunc πι- α παs, quae est aequatio circuli. v Exemplum secundum. Sitis issee. D: quae est aequatio socalis parabo conicae sec. ' tang. Ix is tang. I .

335쪽

Eaedem formulis ad hyperbolam quoque applicantur. Exemplum quartum. Sit quae est aequatio spiralis logarithmiem.

ari Sih

336쪽

Fiat mo erit - - Nempe conchois inferior casu, quo bina bina, in polo cuspidem habet & dum ad polum accedit, nullus est radii curvaturae limes quod ad parvitatem. Vid. Fig. 58.3'. Conchola superior habet punctum flexus contrarii, quod determinatur

rum prior tantum proposito satisfacit 4' Facto x - ooo, fit 2 - ακά ς' 'φ' asee. 3ρο - a, b

sec.'o' tang. yo Signum hoc impossibilis monet contradictorium esse de curva loqui casu, quo 'o' nempe conchola curva est asymptotica, cujus asymptota est axi empendicularis. g. 97 Cum doctrina curvaturae arctissime connectitur, quam primus geometrica methodo tradidit celeb HUGENIUS theoria curvarum Volutione genitarum strictim itaque hoc loco adhuc Xponenda. Fig. M. Curvae se filum seu linea flexilis circumplicata intelligatur; , mane te una extremitate illi affixa, altera extremitas, stylo ex gr. illi annexo, sensim ita abduci concipiatur, ut pars fili dra , quae soluta est, semper in directum extensa sit,is curvam tangat in puncto Μ, ubi illam deserit. Curva in quam stylus motu hoc describit, dicitur evolatione curvae se genim ipsa vero Ase dicitur evolata. Observatio. Filum curvae ΑΜΜ' applicatum potest in is terminari quo casu curva evolutione genita transit per punctum A. Sed fieri etiam potest, ut filum ultra curvae punctum A protendatur juxta rectam A positione & magnitudine datam, quae scilicet curvam se in puncto A contingit. Quo casu curva evolutione genita transit per punctum A Centro

337쪽

297 Centro, radio ουν describatur circulus, & agatur recta re ipsum in

tangens. Dico rectam T in eodem puncto N contingere curvam evolutione descriptam.

10. Sit V punctum curvae in remotius a principio , quam est punctum Fig. m. N. Sit ΝΛ situs fili, quo extremum ejus pervenit in C; sit μ' punctum curvae evoluta AMM . ubi fit 1 'M eam contingit rectast ΝΜ, 'M sibi invicem occurrant in puncto ', recta M'Ν occurrat inis tangenti T circuli. In triangulo mixtilineo se, est: - - - mu' ΜΜ' proinde addito utrinque arcu mi MV, fit μ' --'M'-- M'N': unde 'M 're Atqui, propter angulum remam δε , , m'N: ergo a sortiori , 'n m 'N' proinde punctum n tangentis ψ est extra curvam in α' Sit 'iunctum inter puncta Ade Sit 'Μ situs fili, quo exue Fig. D. mum ejus est in N Agatur recta ΜΛ quae tangenti NTrino puncto occurra la triangulo mixtilineo 'N' est M 'N' hoc est MN -'; atqui propter angulum rectum N est Mn se ergo a sortiori

- -' ideoque punctum n est extra curvam in Circulus igitur centro, radio se descriptusis curva evolutione genita se habent in N puncto tangentem conlinunem proindeque circulus hic curva in sese invicem contingunt in V. Porro autem circulus hic curva in sese invicem in iuncto ita contingunt, ut prior posteriorem osculetur, seu ut nullus alius circulus, curvam

in contingens, inter hanc curvamis priorem circulum transire possit. Etenim I'. Sit, punctum quodvis curvae se ultra punctum, situm ac si Fix sq. Μ'N' situs fili, quo curvam ΛΙΜ'4 Μ tangit, eodemque situ filum in pu cto ' occurrat circumserentiae radio se descriptae. In triangulo mixtilineo vivia est 'Mεψ' M'R o a a

scripta cadit intra curvam Ν' - nulla circumferentia, radio minore quam se descripta , atque curvam in N contingens cadit inter arcum curvae V V

338쪽

unde 'i n,'N' ideoque circulus centro radio m'ν descriptus extra curvam in cadit. Fig. sq. R. Sit 'iunctum quodvis curvae Au inter puncta AH M situm sit rursus M'iu situs fili, quo curvam se tangit; hoc situ filum occurrat in 'circumferentiae M A curvae JUN in v puncto. In triangulo mixtilineo 2 f'Il est ΜΜ Μ'R' ΜΗ'-- - ΜΝ': unde 'R' 'N'; proinde circumferentia is cadit extra curvam NN' - a sortior nulla circum- serentia curvam in contingens in v radio majore quam se descripta, inter arcus 2GU', JUR 'transire potest Sit autem ivm radius minor quam lm; sit 'M'N' situs fili, quo per m punctum transit Quoniammis Φm'M', mr addito utrinque arcu 'A, est

unde 'N' N. Proinde circulus centro m radio 'NI scriptus cadit intra curvam se. Circumferentia igitur circuli, centro, radio m descripti, curvam lam latur in N puncto. g. 198. Curva itaque Pinu locus est centrorum circulorum curvam in osculantium. Si curvata v in aliquo puncto nullum habet radium cumaturae, ideo quod nullus sit radii laujus limes quod ad parvitatem curvae M', IVN hoc puncto si i invicem occurrunt: si vero curva se in aliquo puncto nullum habet radium curvaturae, ideo quod nullus sit radii hujus limes quod ad magnitudinem nullus etiam est limes distantiae, qua curva 'ab curva in removetur. Quando autem aliquis est radii curvaturae limes quod ad parvitatem, curva My curvae N non occurrit; curva se intra limites quosdam o tinetur, si simul aliquis est radii curvaturae curvae in limes quod ad magnis

tudinem. R

339쪽

29'Sita centrum circuli ejusdem cum cum Smcumtum in puncto Is et Fig. 56. quo demittatur in axem SP recta perpendicularis Data aequatione curvae in determinatur etiam aequatio curvae, quae est locus punctorum , per coo

Unde lacile deducitur: cycloidis vulgaris evolutam pariter esse cycloidem vulgarem, eamque cum priore congruentem.

340쪽

igitur conicae evoluta Cipsa parabola est aequatione ny m ac determinata Contra determinatio curvae evolutione genitae requirit rectricationem cum e evolutae. Et cum curvae propositae unica respondeat evoluta uni eidemque curvae respondent innumerae curvae evolutione hujus genitae, quatenus variatur fili evolventis principium. g. aqq. Quamdiu curva e Iuta non habet punctum flexus contrarii, cur va evolutione Jus genita continue versu easdem parte progreditur. Quodsi autem curva evoluta punctum aliquod flexus contrarii habet dum filum abducitur a punctis curvae sensu opposito flexae, stylus ad partes oppositas regreditur unde curva evolutione genita duobus constat ramis, in puncto regressus in cuspidem coeuntibus, quorum uterque verius easdem partes VR est Quare doctrina evolutioni curvarum apta est ad dirimendam controversam de hoc curvarum genere inter mathematico agitatam, Cab ill EuxEno in Comm ntariis Arad Bero ad oris. I7qq. solide enodatam. Hic brevissime argumentum illud attingere lassiciet. Sitis numerus fractus spurius positivus, cujus denominator est numerus par Sit pi m ex ε x. x' ita ut functiones φx φx factorem x non compre hendant. Per hypothesin x non potest esse negativa. Sint 'H A B,w, -,3- ... AΦBxΦει Φm Φ... Igitur H AΦB, C, *Dx' ...ic vini Φει alm--... νη- B aC'-3D'x Φ-- ,-- Φ -I μεθεα ει--μ DY

Posito