Principiorum calculi differentialis et integralis expositio elementaris

341쪽

Posito, et ramus uterque est versus axem ad partes abscissae in o proximas, prout C est numerus h. I. Et ordinata abscissae x morespondens λη'' est ordinatis ipsi proximis utroque ramo terminatis, muti β'

numerus est posito A positivo .

De problentatibus, quae vocantur, soperimet uis.

Problemata, quibus caput hoc destinatur, praecipuos tam vergentis superiori quam praesentis seculi mathematicos occuparunt; c nonnulla eorum materiam ipsis suggessere provocationum, quibu Vires sua mutuo tentarunt. Post Iou. BERNouLLIυς α ceL FONTΑΙΝΕ jam inde ab anno I73a ad methodum alia quam generalem problemata haec solvendi eniti allaboravit. f. I. E κnt eximium de illis anno 17M. edidit tractatum, inscriptum: Modas ninnisadisneas curvas maximi nimive proprietate gaudentra Sagacissimus DE A GRANcκ solutionem ipsorum ad methodum universalem mere analyticam reduxit, quae methodus variationum nominari consueVit. o Quamvis autem diversi post eum scriptores methodum hanc tradiderint Vel transcripserint dissicile tamen etiamnum mihi videtur principia ejus ita Xplanare, ut rigori mathematico assueti tirones nullibi haereant. Cum tamen argumentum hoc inter mathematicos celebre magni sit in mathesi, inprimis mixta momenti praecipuam saltem ejus partem distincto accurate exponere, atque ad instar ceterarum calculi differentialis Mintegralis applicationum captu tironum accommodare conatu sum. Nec dissiteor, me, pro hujus scopi ratione, argumentum illud eadem universalitate amplexum non

Ppra esse,

342쪽

3oa esse, qua ab Euxκ-- DR A GRANGE est pertractatum. Veruntamen satis me ostendisse spero, fieri posse, ut ad simplicia & solida methodi limitum primcipia reducatur. Expositionem meam ita instituam, ut singularia primum evolvam probi mala tum a casibus particularibus ad generaliores paulatim annitar. Fig. 6o. g. OI Probisma Sint A desis duo puncta positione data sit etiam in recta positione data ac sint , ' duo factores magnitudine dati quaeritur punctum M tale, ut Fκ--F'κ si omnium minimum. punctis A, A in rectam MP demittantur perpendicula Au, 'a; sint iis, a mi aura Sint etiam α - ι, Μααa Ἀμ-y, ααν Quoniam minimo;

hinc cos Aua, 'cos Λ'Ma. Proinde summa μεν est omnium minima, quando coso F cosis . Exemplum. Sit αν casu igitur, quo q-a est omnium minima, fit cos. Ita, cos. Λ' ua' proinde m AMO'; puncta A, M a jacent in directum. Corollarium. Per puncta data A, A agantur duae rectae AB, AB positione dataeam parallelae erit Mos MAB F cosam, casu, quo summa ΣΗ, est omnium minima. Fig. 6I. g. aoa Ducatur quaecunque recta, quae v. gr. st rectis AB, B pe pendicularis, atque ipsis in punctis B, B occurrat. Dividatur B in partes

343쪽

Sit S punctum aliquod in axe B producto v. gr. ; sint. F, F ' . . . iunctiones quaedam smiles abscissarum SP, SP um SP SP . . . Laterum figurae, seu axis B partium, numero

manent eodem pariter est 'cos M'MI quantitas constans. Proinde, aucto partiumaxis numero, in curva etiam, quae limes est polygonorum AMM'M UM' ... quantitatis cos.M,P limes erit quantitas aliqua

constans, quae dicatur C. Itaque C. Mitie Doc:

Existento igitur X functione quadam abscissa Lx & designante a arcum hujus curvae si fuerit M quaeratur curva, in qua sit omnim mi

344쪽

- seu tangens curvae fit axi parallela. Sit Lm , quando tum e mi, seu tangens fit axipe

F--cin.MMP quantitas constans. Unde aucto partium numero, in curva, quae Dies est figurarum rectilinearum, quantitatis D cos agi m limes eritnes est figurarum rectilinearum, quantitatis quantitas conssans se )''et est quantitas constansda: da Exemplam primum Sit Id quantitas constans, δε-- αγ erit f. iae; du da doproinde -- c, cui aequationi satisfacit linea recta. Generatim posito con-

aequatio ad lineam rectam.

stante, est mi ' - α aequatio ad lineam rectam.

345쪽

nitricis solidi, quod resistentiam omnium minimam patitur a fluido, in quo juxta directionem axi rotationis parallelam movetur. g. ao ioco summae δε ε F'a' proponatur summa 'α - ν pa quin omnium minima esse debeat postis epa, M similibus ipsarum , a funitionis, e ida'

bus, talibus, ut in ar, ideoque Tm in 'r in quibus m&η 'sunt

etiam functiones ipsarum araca similes Erit eodem modo Fetra 'sa -- - .

Igitur Furacos B, F acos A,PL Unde eadem facta com fructione, quaeri. oa deducitur, quantitatem Fπacos M 'IN esse constantem; Ῥroinde in curva, quae limes est figurae rectilineae A 'I MI est L .Fπ cosin' , seu F π u) quantitas constans. Sit nempe

es erit Z omnium minimum, quando X π i.) est quantitas

constans.

g. o5. Investigatio curvae maximi minimive proprietate praeditae paulo aliter institui potuisso modo sequente illi admodum analom, qui g. 85. 86. traditur. Sit B axis magnitudines datus, in partes quotcunque aequalet in

quae dicantur Quaeritur lamna quae sit omnium minima positis sunctionibus similibus ipsius a talibus, ut exponentes differentiales sint respective

Erit

346쪽

Omnes quantitates mutabiles , 3 4 4 4 . . . fiant simul constantes, una excepta ac proinde omnes exponentes differentiales M. , , ... simul T do di di dii evanescant, unoeXcepto. Erit, ut prius, Furacosm racosum Uetraco 'vi s F-cos. I in - ν τ' cos. ου', IUUnde eaedem, quae prius fluunt consequentiae. Occurrunt quandoque casus, quibus satius esse videtur investigationem propositam posteriori modo aggredi uti uno alterove exemplo ostendam. g. O6. Problema. Omnibus uti in L oa positis, quaeritur figura ΒΑΜΜ'Μ As , cujus area per perimetrum A 'Μ M'. divisa pra

347쪽

Quare pro vertice quolibet, duobus verticibus Μ, Μ interjacente est

348쪽

w8 maximi proprietate praedita est g. 192. Obs. 3. - denotantibus P S perimetrum Marcum figurae Proinde in curva proposita radius curvaturae est constans ideoque haec curva est circumserentia circuli. Astartim exemplum. Sit S punctum aliquod in AEaxe BB producto, per quod ducatur recta ipsi B perpendicularis requiritur, ut centrum gravitatis perimetri MumVM'. . . . si respectu hujus perpendicularis omnium maxime depressum. Distantiae B, P, in SP in .... vocentur respective

Compendii causa numerator' denominator hujus fractionis vocentur, is respective.

omnes quantitates mutabiles , ', is fiant fimul constantes praeter unam erit pro vertice quolibetis, cui respondet abscissa , Qqui vertices inter af, M' jacet,

349쪽

Observatio In duobus his exemplis maximi minimive proprietas intra lia mites datos continetur, atque ad partem tantum curvae inter puncta data s&A comprehensam pertinet. Quot scilicet , , quatenus curva intra hos ibmites continetur, tanquam immmutati spectantur. g. O7. Figura proposita, verectilinea, sive curvilinea reseratur adiu ctum aliquod tanquam lacum. Investigatio maximi minimis eodem sere modo instituitur.

Problema Sit S punctum positione datum p positione pariter dentur duo au. Q. puncta . - Α' Centro S radiis S AE, SA describantur circuli, qui rectae cubcunque per S ductae in QDB occurrant. Centro S radio quolibet SP inter , B medio, describatur circulus. Sin F, Scientes magnitudine dati. In circumferentia radii P assignandum sit, punctum sic, ut summa Fκὰ-- 'κ Amsit omnium minima. Sint Ama, Gio . --ι, - αν, -': y Arima sema. Erit ideo /κ Na minimo;

350쪽

stans.

Post igitur a m x. ' denotantesa iunctionem aliquam distantiae ME: