Nova Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae

271쪽

. r. Cum igitur qUaestio nostra in eo versetur, ut pro quotiis numem n alore lysius ae assignentur, quibus nostra series

evanescat, id quod euenit, quoties fuerit et C resolutio hin

E sin. fae' IS ae cos. V - cos fae' IS ae sin. omnes dabit radices quaesitas . l. a. Videns autem est, resolutionem huius aequationis vires Analyseos aeque superare atque ipsam quaestimnem propositam, eXCeptis iis solis Casibus, quos iam supra euoluimus, qui sunt nta a et Z TIa unde Perno pretium erit soliitionem modo inuentam ad hos casus applicare. Si igitur primo n I, ideoqUE J J I, et formula integralis prior dabit fici cos ae . . , posterior vero fisci sin m 1 - cos Mintubus valoribus substitutis aequatio nostra erit in F mos Cos Cos , ideoque cos ae mi, uti per se est manifestum. s. a. Pro casu secrando sit 'a ideoque et ne formula integralis prior dabit faedae cosae II aesin. ae dae Cosae maesin. ae Cos X-1, posterior Veros Pae sin πα-aecos ae--finae Conae -aecos ae -- sin ae , quibus valoribus substitutis aequatio nostra sitae aesin. PH aecos sin. T IT-sin. X, ideoqUe in ae mi, prorsus Vt supra habuimus.

272쪽

g. I . Pro casu tertio faciamus' a V sit c Izaeae, et formula integralis prior dabit

Prorsus Vt supra iam notauimus. . s. Talis reductio autem succedit, quoties 3 suo ii numerus integer positivus , ad quod ostendendum sit asLUC et ' ae'. ac prior formula integralis dabit fae'dae cosae ae)sin. ae-s faex Jaesin. ae sue

Prorsus Vt supra Huiusmodi autem e ressiones pro Casibus quibus λὶ est numerus integer, facillime e notissimis seriebus ipsius sin ae et os rideri clare licet sitis f. 16 Quoniam igitur satis certi sumus, casibus quibus Q aequationem propositam insinitas habere radices

273쪽

reales, maxime optandum esset, Vt etiam istae radices, qua ibd n non est Umerus integer, assignari possent; verum in hoc negotio Vires Analyseos est Ciunt, atque nos Contentos esse oportet, si modo has radices vero ProXime exhibere V leamus. Consideremus igitur Casum et aequatio O, stra an induet sormam:

uhi ii ipsim g valores requiruntur, qui summam huius seriei nihil aequalem reddant. Hi primum notasse iuvabit, quoties fuerit et summam seriei sempor esse positivam, et Uidem Miorem qua m , minorem vero quam . am si series habe

274쪽

. hinc ergo erit si is et siue --I IT 13 13 - ara'. Addamus utrinque t et habebimus P g v - ψ)', unde e tracta radice in fractionibus iecimalibus erit υ - I,

assio, Cuius minor ator Praebet et T , Ieto. Hinc ergo erit 2' ,2O' aeae, Vndo OTIO Orit XI 2, Os, ideoque ae I, Oas. Hunc autem valorem a vero multUm aberrare mox Videbimus, si rem accuratius definire Velimus. l. 9. In hunc finem autem Commode adhiberi poterit methodos Celeb Lernoullii, raclicem minimam huiusmodi aequationum per seriem recurrentem desiniendi. Si enim in genere habeatur huiusmodi aequatio ITIT αῖ-i gra-- T -itC. indeque formetur series reCUrrens e scala relationis , - β, -- γ, δ, etc. quae sit , A, B, C, D, E, etc. ita ut sit

tum sequentes hactione S, etc. continuo pr Pius ad verum valorem ipsitas 2 CCedunt, Unde patet ac methodo nostram aequationem in genere resolui posse. f. o. Cum igitur pro nostro casu, quo et sit

in hactionibus decimalibus erit ΑαDO, 33333ν

275쪽

ulterius progredi ore superfluum Hinc stactiones continuo

propius adis accedentes erunt: I. zzza,OOo, ΙΙ. 2 3, 28 I III. zma, s T. I. ar Sin autem ulterius progredi Velinatis, reperiemus

hinc ergo quartus Vesor m g erit ao Vnde satistiato Concludere possumUS, vercim valorem ipsius et esse tam tillo maiorem, quamobrem sumamUs , 3,31. Et cum sit. χ' aeae, Atractu Indi CC Crit XTI, 8 I9, ideoqUC TO,9O9. g. et Satis audacter igitur affirmare possumus, casu quo minimam nostrae aequationis radicem esse TO,9Os, quae ergo notabiliter minor est quam pro Casu irata I , ubi erat minima radicae ue I attamen maior est quam huius semissis. Videamus igitur, quamnam rationem hi duo nUmeri O,9O9 et 1, s et inter se proXime teneant. Diuid mu ergo maiorem per minorem, et Continuo per residuum Praecedentem di Uisorem, et quot resultantes erunt ordine I, , , , , , Vnde fractiones Continuo Propius ad ve

Tum CCedentes sunt , , , , , . in colligimus nimmeΙum inUentiam , 9 O se habere ad . ut 11 os, siue satis Prope quae ratio Cum satis Xacte CCedat ad rationem 1 hinc suspicari merito liCet, Verum MIorem ipsius ae esse ae f. 3. Quo autem certiores reddamur circa hanc suspicionem euoluamus simili modo alium casum, quo l, eXaminaturi, num minimus valor ipsius ae etiam ad tam sim

276쪽

plicem formam reduci queat. Tum autem, posito breuitatis

cuius radix minima ut methodo Bernoulliana inuestigetur, Orit. α IIII, Vnde socios CCvirens in fractionibus decimalibus erit

n1erus a satis est notatu dignus et suspicionem nostram ideo augere Videtur, quod in omnibus huiusmodi casibus radiboes ae satis Commode per periphoriam Circuli et repraesemtare liceat. Operae pretium igitur erit adhuc alios casus hylius generi examinasse.

277쪽

. st 6 Sumamus igitur et Posito aeae Ε, aequatio resoluenda erit

de sit

III. as 28; IV. ,2s3a, unde tuto statuere licet as 3 q. s. et . Cum igitur sit g 9aeae, erit ae Ta, o Ga , ideoqU VIIIo, 68 s. At pro ratione uiti numeri ad miripti etiam Cimul et detegenda consideretur ractio PQ, Cilarius Iogarithmos est II, 319So6O, ideoque ma O, 883 qui numerus ita est comparatus, Ut omnem spem Vertat, quempiam ordinem in his valoribus detegendi, qui ergo ad quantitates magis transcendentes erunt Ieserendi. f. et 8. X his Xemplis patet, quo minor fractio Pro u CCipiatur, eo promptius seriem re rrentem clar VC-m Valorem ipsius , ita ut sufficiat statuisse et a si modo

278쪽

32 modo meritis Q Statuamus igitur in genere zzz , et Posito νaeaem aequatio nostra Crit

iam elicitur

EX UO Valore manifestum est fieri non posse ut fractio APraebeat cimertim integrum, quemadmodum sumus scissi, Cati, sed potius valor ipsius ae ad altiora genera UantibiatUm trankendentium esse reserendos quemadmodum etiam Valores ipsius seriei casibus quibus u est numerUs fractus, quantitates transcendentes altioris ordinis inuoluUnt. s. o. Quando autem numerus n non os fractio tam Parila, Vt hic assumsimus, atque adeo sit superet nitatem, seriem recurrentem ad multo plures terminos Contibnuari necesse erit. Quod quo Clarius perspiciatur, UOIUM UUS Casum quo ma, qui est extremus, in adhu radices reales implicat, quarum minimam ΟUimus esse I asta

c uni igitur aequatio nostra posito ae et sit

279쪽

ideoque habebimus

unde in fractionibus decimalibus termini derici recurrentis Post Primum, Ut si I, Crunt A m C, O 833333,

s. r. His terminis inuentis fractiones Pro numero erunt sequentes: I. Ist, o oo IV. et 8, CC,

Valorem inuenire licuisset. et Quoniam autem casus est Xtr mus eorum qui radicem realem admittunt, necesse est v Pro omnibus casibust, quibus valores inc serie recuTICnte formati non otiam non Convergant, sed adeo divergant. Inm u Ata Acad. in . Scient. I m. IX. E , terim

280쪽

terim tamen, quoniam Casib as, IubIJ n erat sim rus integer, omne Indi Ces tam Con Cinn Per Uadraturam CirculieX ibere licuit, suspicari poterimias, si modo n scierit Umertas integer, etiam radiCes imaginarias per ii Culum fortasseeXhiberi osse, id quod niC Casu Xaminas s non erit alienum, Propterea quod nud Via Patet factore trinomi, Ies inuestigandi. g. uoluam is igitur Calam quo aequatio euolsienda haec

quam ad hanc simpliciorem sormam reuocari Upra vidimias: ae in ae, Ut aeqUationi Cum manifesto nulla radi re Iis satisfaciat, omnes Utem ciantitates imaginariae in o ma Comprehctndi Oeant, statuam Us -- , o, Et quaestio hia redit, quomodo etiam in aepe talem formam Xprimi possit. Ad hoc praestandum Constagiamus ad formillas Monentiales, qVibiis sc

Cum igitur sit

vicissim erit