Nova Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae

291쪽

Praebet Stata C, ideoqcie etiam O uti natura rei postulat. Quod si autem curua in infinitum produCatur, quontiam tum Curva Cum assymptota confunditur, fiet amplitudo sq, Vnde ob in et 1, in. I - 1 sua. I Q -- , in I I, et ita porro, Pro hoc casu valor ipsius 2 erit: euius seriei summa manifesto est finita, nihilo tamen minUsipse arCU S siet utique infinite magnus, Uemadmodum Cubdun est X aequatione S Si j , Ob Os a p Cos. 9O' TC.

s. s. Reserat nunc in figura punctum terminiam insinite remotum in hyperbola, cui in assymptota respondeat Punctum V ita ut totus arcus M existente et p tum igitur, cum sit in assymptota spatium indefinitum

292쪽

infinita Constat inutem disserentiam: inter

ctimam et rectam C V esse finitam , quandoquidem curua manifesto est minor quam recta C V, at si X A in C ducatur perpendicularis D maior quam recta V D. Sit igitur Dami, hi sufficit nosse , Δ esse quam titatem sinitam. in igitur erit - - Δ, ideoque Zm Cos et O , Consequenter, ob flos et erit et Iza; eX quo ConCIUdimus, summam seriei pro et inuentae, casu O sq, praecise nitati esse aequalem , iide perci multi plicando habebimus

ablata igitur trinque nitate erit

quae summatio mihi eo magis memorabilis est Visa quod non memini, eam squam Consignatam inuenisse. . . Quo igitur certior fierem de summationis limius veritate, eam sequenti modo mihi familiari sum perscrintatus Pono

ita ut posito summa quaesita aesultet Hinc a ergo erit disserentiando: D-- .s δ' - l. h. 9U' - - etc. Deinde vero Cum sit

erit itidem disserentiando

quae series, ducta imae et a priore serie disserentiali ablata, relim quit

293쪽

qui υ - . 3. ormae', sicque habetur aequatio sinita, ex qua alarem Usius S erui oportet. Facta igitur euolutione deducti sumus ad hane aequationem disserentialem: δε - ' δε- ae)εῖ ae metae Θae. Diuidatur hae aequatio per L 1 - Vt Prodeat

cuium aequationis membrum triui sponte est integrabile. Integrale enim estode aequatio hoc modo reseratur: δ. ι

Manebit igitur haec aequatio integrabilis, multiplicetur

Per quo pacto simul membrum deaetrum integrationem admittet , Sic enim erit quae aequatio, Posito breuitatis gratia induet hanc formam I

294쪽

I. 8. Facile autem patet an Postremam sormam integrationem algebraice non admittere. Interim tamen haec reductio ad sormam simpliciorem cum successu adhiberi poeteiit Ponatur scilicet et sumtis disserentialibus erit

l. . Quanquam autem hi postremum integrale sp i A. CNpediri nequit tamen facile perspicitur, istud imtegrale, Casu finitum alorem esse habiturum, id quod ad praesens nostrum institutum sufficit. Sit igitur iste Hor finitus formulae I et aeqUatio inuenta, posito dabit quae est ea ipsa summa, quam nobis Praecedens summatio suppeditavit.

295쪽

l. o. Similis igitur operatio nos ad plures alias summationes huiusmodi serierum magis generalium Perdueere valebit, Unde sequens Problema sit scistamus:

Ρroblema. Inuenire summam huius seriei in infininum excurrentis:

Solutio.

Cuius ergo valor quaeritur Casa ae I Un cro haeC series disserentiata dabit

quae etiam differentiata praebet:

quae series ducta in et a superiore subtracta destruet omnes terminos Post rimum P eritque

quae ergo est aequatio sinita, unde incognitam erui oportet. g. r. Facta igitur euolutione deducimur ad hanc aequationem disserentialem: dis i ae bH θ)s P λδ aeractae 'λὰ ae, quam Per a x-ἡ diuidamus, Ut obtineamus

297쪽

Quod autem hic ad postremum membrum titinet, etsi summatio institui nequit, tamen, quia in disserentiali habetur denominator 1-ae ) certum est, in integrali. exhiberi posset, denominatorem tantum ore 1 - ἡ) quippe cuius potestas nitato minor est quam Praecedentis. Hinc tuto assumere licebit hoc integrale tantum habere Brinam . ubi nosse sufficiet in a non amplius

Contineri denominatorem 1 - 'ν quo valore substituto h bebimus: . Titis' ' - 'Ε in . s. Inuenta iam summa seriei generalis tractatae, inde summam seriei propositae eliciemus, si faciamus tum autem prodibit A., ita Vt formula incognita a pro sus e calculo excesserit. Quoniam igitur breuitatis gratia Noua Acta Acad. Imp. Scient Ioni Ix G so-

298쪽

Posuimus - - , erit summa nostrae serieivnde deducimus sequens Theorema.

Quod si propUua fuerit isto series infiniI :

eius summa semPer erit cita Ti; inde sequitur, is fuerit, a sei, hanc seriem summam finitum non habere , sed I re infinitum. 16. Cum igitur ista summatio latissime pateat,

notasse iuvabit, in ea Contineri serie maxime cognitas, quae scilicet ex uolutione binomii nascuntur Si enim ,

testatem binomialem si XI euoluamus, ac suerit , a, sequens formabitur series: Hinc igitur si ponamus orietur ista summatio quae egregie Conuenit cum nostro theoremate SL enim multiplicemus Per siet ideoque

Si haec series iam nostra generali compar2tUr, quod nobis erat a , hi est i, quod nobis erat , hi est a b atquod nobis erat , hic est b. Vnde Ciam Umma misset iis Praesenti casu summa erit c l, id quod Phalcherrime Congrtiit.

299쪽

I. Quin etiam summa assignari poterit oriorum multo magis generalium, in quibUs adeo innumerabiles libterae arbitrariae CCUrrtant, quemadmodum in sequente lieo remate lentu sum ostensurus. Theorema generale. Si isterae a, etc. cum r Iubitu numeros quoscunque idenotent, uiri Progressonisi suo in infinitum e currenti , sui alicubi terniinatae: summa semyer es - . Hanc veritatem neutiquam methodo supra adhibita per Analysin Insinitorum ostendere licet; at Vero X principiis Algebrae communis geminam demonstrationem umor diturus priore scilicet e ipsa summae eXPressione v seriem propositam derivare docebo, altera vero ex consideratibne ipsius seriei eius summRm.

Demonstratio prior.

l. s. Ista demonstratio per sequentes Considerationes planissimas absoluetur Ponatur scilicet:

hocque modo quousque libuerit procedere licet. l. 19. his si iam statim in ipsa littera ' subsist

300쪽

Sin auten in littera et subsistantus, Uia ri,

Sin autem demum in subsistamus erit:

et ita porro. Vnde patet istam summationem Omper IOCUim habere, ad quotcunque terminos progressio Continuetur, id quod adeo in infinitum valebit. Id tantum hi est monen-dUm , Uoniam ostremus terminus a forma reliquorum aliquantillum discrepat, terminum in itesimiam hi plane non in Censum venire. Nam, quia omnes actore numeratoris minores sunt actoribus denominatoris , euidens est , alorem termini infinitesimi Prorsus CunnesCero

Altera demonstratio. . o. Uic igitur ipsam seriem tanqNam datam spes e-

mus atque in eius summam, Uae It m , inquiramus ' Adlio singulorum terminorum factores postremo in Vas partes discerpamus, sequenti modo:

s. o. tuo si iam hos Valores introducamiis, loco cuiusque factoris vltimi singuli termini nostras seriei in binas partes dissidentur, quas sequenti modo sibi inuicem subscis