Nova Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae

301쪽

ibi euidens est quemlibet terminum negatiuum a sequenti positivo destrui, ita ut tandem primus positiuus et vltimus negativus relinqUantur. Laodsi autem haec series in insibnitum Continuetur, modo obseruaUimus , terminiam Itimum negativum in nihilum abire, Propterea quod eius numerator infinities minor erit quam denominator, quo notato tota summa manifesto redigitur ad S - . . a. an ultimam summationem iam olim in assiversariis meis consignatam reperio non autem memini, eiUs mentionem unquam publice secisse. In Commercio quidem epistolico quod iam ante quadraginta annos cum III GImbachio beatae mem colui, Iurima tiUC pertinentiamCCUrrunt, quamobrem non dubito, quin Geometrae an euolutionem benigne sint accesturi

302쪽

VIBUS

MULTIPLORUM EXPRIMI SOLENT,

UBI SIMUL INGENTES DIFFICULTATES

DILUUNTUR.

Auctore

L. AEMERO. Conuentu eae lib. die mari or 7. Proposito angulo quocunque p. si eius cosinum vocetur

303쪽

f. a. In his formulis manifestum est primos terminos esse potestates ipsius ae eiusdem Yponentis, Cuius Ibtiplum Proponitur; hin vero exponentes Continuo binario deCre ore tum vero signa terminorum alternari Praeterea vero Coefficiens secundi termini semper aequalis est ipsi multiplo quod autem ad sequentes Coefficientes attinet IeX, Ua progrediuntur ita se habet, uti sequens forma ostendit:

Cuius formulae summus est usus in Cosinibus angulorum militiplorum quantcimuis magnorum Xpedit assignandis. Veluti si proponatur duodecuplum anguli l , in statim obtinetur sequens XPressito:

306쪽

cos 'η-x a ' II et Minoos j - assae Σ - , cuius veritas facile Comprobatur, cum sita cos. Ia p. a cos. 6 p) - . I. a. Quanquam Ulem haec formula maXimum praestat sum in multiplicatione angulorum, tamen seCundum rigorem geometricum neutiqUam affirmari potest, eam generaliter Veritati esse Consentaneam, quandoqUidem Plurbhus Casibus maXime a veritate recedit. Quodsi enim immamus ista irinula Praebet et os o p. mo, cum tamen eius valor sit et Multo magis formUI aberrare deprehenditur, si indiciis valores negativi tribuantur posit enin nα - , inde Prodiret

in infinitum, quae Xpressio manifesto est falsissima, cum sit a Cos. - pae a Cos. να Millius vero seriei summa U- , quae igitur

Plurimum a veritate discrepat, sicqUe aberratio formulae inuentae pro omnibus numeris negativis Clarissime in crulos incurrit. I. . Non solum autem hae sermula pro numeris negativis allit, sed etiam pro positivis, quidem totaeXPressio euoluatur, sumto enim it 1, in nanciscemur istam seriem: et cos hae L A-δ-Z-H etc. quae ergo omnibus terminis post prinium sequentibus a mTitate aecedit: vera autem dummi huius iuressionis est

307쪽

i 'Ll 1) Simili modo pro casu ii et ista formida Praebet

ubi duo tantum primi termini veritati sunt Conformes s quentes omnes Vero supersita atqUe adeo veritati contrarii. Hinc igitur intelligitur formulam illam Pro a Coisti et da tam si quidem in infinitum ContinUetiar, semper in immanes errores PraeCipitare; Cque Omnis eius usus tantum restringitur ad numeros integro positi Vos, ubi insuper caveri debet, ne series Vltra termino integros Continuetur , quandoquidem nulli termini, Vbi ae in denominatores imgreditur, locum habere Possunt. s. s. Otuod autem ad numeros hactos attinet, nullo plane modo ista series Cum veritate Conciliari se patibtur. Quodsi enim ponamUS i, ista formida nobis prae

Cum ero sit

Ε his iam manifestum est formillam in tentam, non obsinmte summo itis Vsti, ni illo modo tanquam veritati Consentaneam admitti posse; unde haec tua ostio ma Ximi momenti nascitur cur illa ornata I a veritate ita aberret, Ut certis tamen Casibus ad Veritatem perdiicat Τ

308쪽

Hic scilicet y ab cita pendet, ut sit QT M. f. . Contemplatio harum sormularum simili modo Vt ante Pro angulo indefinito sequentem suppeditabit

Hae autem formula iam veritate consistere nequit, nisi ita Testringatur, Ut primo tantum ad numeros integros positi- VOS Pro assumendos rapplicetur: deinde ut termini non

309쪽

vlterius continUentUr, quam quoad ad Xponentes negatibvos ipsius ae perueniatur. Ita sumendo Ia in reperietur a sin et clam X ae ae' -- a Sae' 46 as Τ-6M. . . Cum igitur ambae ista formulae generales tam Pro sinibus, quam Cosmibias angulorum multiplorum dari solitae tam enormiter a veritate dissentiant, hinc quaestio nascitur maXimi momenti quomodo hi errores euitari atque eiusmodi series erui debeant, quae Cum Oritato CDPetuo, atque omnibus plane Casibus persecte consentiant 'Tales igitur series ex ipsis Analyseos principiis hic inuinstigare constitui. Vocabo igitur Cos. p. g et os up S. et in seriem per potestates ipsa Piso procedentem inquiram, quae Verum alorem ipsi iis S Xhibent, UICUnque Umeri,

siue positivi, siue negativi, siue integri, siue racti pro substituantur. I. . Cum igitur si cos. erit o i similique modo, cum sit cos. nq, eritis o

aequatio Prodiisset, si litterae et to designassent sinus angulorum 4 et si nim altera finiam, altera Cosin UmssignissiCasset, prodiisset 'd' man obrem si