장음표시 사용
312쪽
nanciscemur hanc aequationem disserentialem secundi gradus: δῖ4 1 - g - ΘΕΘ SH nu SΘTRIIT O , quae latissimo sensu omnia in se Complectitur, quae tam Circa sinus quam Cosinu angUIorum multiplorum desider ri possunt. Han igitur aeqUationem omni Cura pertractemus, a Primo quidem sine Ilo respectu ad doctrinam angulOIUm.
'oblema I. Prop0 ita aequatione differentiali secundi gradus
. o. Hic statim patet, hanc aeqUationem integrabilem fieri, si ducatur ino δ' multiplicetur igitur in adiret integrale erit δεῖ I-gg)- nn νε δ CS et'. si hac a quatione deducimus '' ς 'ΤΤ , quae se mula ita repraesentetur δεῖ - eae a ruitur:
313쪽
Otiodsi iam forma Constantium arbitrariarum immutetur, a lor integralis Completus quantitatis S per variabilem ita ConCinne Xprimi poterit
l. a. uanquam hic integrale complotUm Uaerimus, tamen suffiCiet bina int gratia particularia inuestigasse. Ioniam enim in aequatione proposita variabilis S Vbi-qUe niCam tantum habet dimensionem, si ei satisfaciant alores a P G, etiam satissaCiet alor I, atqUC adeo in genere 3 si in q, denotantibus itteris fet g ConstantCS UasConque. o obseruato negligntUr COII- stans in prima integratione adiecta, Critque is
314쪽
sicque duo habemus integralia particularia, per litteras et designata, e iis igitur conflatur istud integrale completum
f. q. QuaerimUs igitur pro valore litterae 3 seriem, Cuius singuli termini sint potestates ipsius , qu Tum Xponentes Continuo deCres Cant. V ipsa a Utem aequationis propositae forma facile ConCludere liCet, istos XPoenentes Continuo binario diminui debere, propterea Vod intin aequatione variabilis et Cum suo disserentiali met in singulis terminis vel Ullam, vel duas habet dimensiones Unde si primus terminus Contineat potestatem et , sequentes termini potestates R; ' P β; etC. Continebunt, ita V series, Uam quaerimUs, talem sit habitura sormam:
Vbi ergo totum negotium lita redit, Vt a Iores singulorum coefficientium rite determinemUS. f. s. Ante omnia autem hi inuestigari oportet Primiam Xponentem , a quo hae series sit incipienda, qui ita comparatus esse debet, ut sacta substitutione coe sicientes primi termini sponte se destria ant. Ad istum e Ponentem inueniendum sufficiet tantum duos terminos prio-
315쪽
Πi ergo ante omnia coefficiens primi termini Ah nihilo aequalis statui debet, sicque fiet o λ. - Ι - - ni O, ideoque λ ni, unde duo alores Pro obtinentur, scili,
I. 16. Qiuoniam igitur prora geminum nacti sumus Valorem, in pro quantitate S duas erilemus series insin, tas, Liae iunctim sumtae alorem integralem Completum CXPriment, iamqLie Verus iste alor ita exhibebitur: Ac Bg' ῖ--Cς GDgR β-Εz etc. et tuoniam acta substitutione pro traqUe serie Coessicientes Primorum terminorum Ari' et Uri ' sponte se tollunt, binae littera A et 2 non determinabiuntur, sed penitus arbitrio nostr relinquentiar, ideoque viCem gerent binariam Constanti um, quae per duplicem integrationem ingredi sunt Cens im
316쪽
dae. Euidens porro est utramque an seriem seorsim inuestigari posse; unde solutio nostra duabus constabit partibus
. 1 . Quo commodius huius seriei coeffcientes terminemUS aequationem Propositam mutatis signis ita re- PraesentemUs: et cum sit et
l. 18. In igitur quemlibet Coossicientem per suum antecedentem satis ConCinne determinare licebit; erit enim
317쪽
Hinc igitur omnes coefficientes per Primum A sequenti modo determinant II:
sicque prior series valorem ipsius S Xhibens erit
II. nuestigatio seriei posterioris.
g. 19. Determinatio Coefficientium huius serici simili prorsus modo institui potest, quo praecedentem CliCuimVs, neque tamen sus Ost omnes operationes hi repetere; nam quia totum discrimen harum duarum serierum in solo signo numeri u Consistit, quo ipsa aequatio Proposita non afficitUr, singillarum itterarum Germanicarum valores immediate XLatinis derivare licebit, si modo in iis loco u scribatur si, sicque obtinebimus:
318쪽
g. O. X his ergo aio integralis Completus quantitatis 3 e duabus sequentibus seriebus infinitis Componetur:
Ρroblema a. Quoniam valorem comi letum A seu S uylici modo e pressum inuenimu3, alterum scilicet e duylicem inlegrationem in Problemate . alterum Per dua. serie. infinita in problemate a Constante arbitraria it determinare , t duae illae e resfi0ne inter se consentiant. Solutio. I. I. In problemate Prim binas Constantes arbitrarias per litterasci et g designauimus, Vbi inuenimus
ubi binae constantes arbitrariae in litteris A et 2 continentUr OLIaeritur ergo, quomodo has littera A et 2 per j et g definiri oporteat, ut hae duae e rectiones inter se On imetientes reddantur ΤΙ. G. Perpetuo autem , quoties de Constantibus a hitrariis definiendis quaestio mora tur, ad Cas Um Uempiam specialem est respiciendum, quo valor per seriem XPressus Cuadat creuitus, quandoquidem, si Constantes Vnico Casciis pC-
319쪽
speciali satisfacitant, eorum alor rite erit determinatus Hano ob rem dispiciamias, an non quispiam Cascis specialis detur, quo in valores innotescant. Consideremus igitur primam sormam mitam, a manifestum quidem est, ibi Casum in hun finem adhiberi non posse, propterea quod iste valor ad imaginaria rediret. Deinde vero etiam binae series, posito Partim terminis UanescentibUS, Partim infinitis Constabunt; sicque e lio casu nihil plane Concludi potest. I. 23. Casus Utem aliquid polliceri videtur;
tum enim Prior sorma finita Praebebit S 1 -- g; at vero posito ambae series nihilo minus in infinitiam XCUDrunt, ita V earUm Mores nobis elatiquam CVadant cogniti; quamobrem eicismodi Cassi nobis erit optis, quo binae series inuentae desinant in infinitiam XCUrrere , et omnes termini prae primis quasi Uanes Cant, ita ut terminos tantiam primos considerasse sufficiat. Manifestiam autem est in utraque serie prae primo termino sequentes omnes Osso UanitUTOS, si ipsi, valor infinite magnus tribuatur. Statuamus igittar atqUe e binis serie bus Alor ipsius S pro hoc casti
s et . Faciam Us igitur etiam in priori serma finita
2 et Cum lio Casu sit L ag - 1) valor ipsius hinc orietur quam ergo CXPressionem Cum ante inuenta, quae erat Aiso' --, Congruere oportet, atque manifesto sequitur, hoc fieri,
320쪽
. et S. Supra Vidimias, si fuerit g taxo a VOCmtur os n. Tra', tum relationem inter per eam ipsam aequationem disserenti in differentialem Xprimi, Uam hactenus tractauimus vid. g. 9.). Necesso igitur est ut alor quaesitus os imi in superioribus expressionibus, tam in finita, qUam in infinita Contineatiar, totumque negotium tira redit, Vt binae constantes s et g rite pro hoo casu definiantur. At Vero meXpressione finita, Cos cpit, et g - 1y δε - 1 in Ohabebimus 3 1 scos p- - - Isin p)'-- g cos 4 -- - Isin. p 'Constat autem effo