Nova Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae

341쪽

his inseruire possunt, ad Criterium illud generale demonstrandum, quo Primias ostendi sormulam Udae semper admittere integrationem, quoties uerit: . II. Ad hanc autem regulam demonstrandam, ΡΟ-sito V mae V, per gradus progrediamur, muti functio Continuo plures Continet litterarum , , , , , CtC. AC primo quidem Contineat functiora tantum binas variabiles et D XClusis omnibus differentialibus, ita ut sit

Hinc iam ectheoremate tertio erit ), theorema autem secundum nobis praebet aes ) Θ ) Cum igitur inde S)m ), hoc valore substituto siet

ideoque per ae diuidendo orietur haec aeqtiatio

titas V etiamnunc cinuolatet, sequentes Ver littorne , , t etC. XCludentur. Cum is itur iam si multo

nobis

342쪽

nobis praebcbit:

unde sit ), qui valor in tertio theoremate substitutus dat

unde ergo Crito Z- ΘV εῖ RV qui valor in theoremate secundo substitutus praebet: Vnde sequitur, prorsus ut nostrum Criterium postulat,

l. a. Inuoluat nunc unctiora etiam litteram 7, et quantitas V etiamnunc Continebit litteram , ob q mrdae: sequentes vero inde XCludentur. Cum igitur si )mo, theorema Uintum nobis praebet

unde si in qui Hor in theoremate quarto substitutus suppeditat hanc aequationem:

unde colligitur: Substituatur hi Valor in theoremate tertio, fietque

unde sit

343쪽

qtii valor in seCUndo theoremate substitutus praebet hanc aequationem: g. 1 . o igitur modo Criteritam UPra memorat Im, quod primum e Contemplatione maXimoriam Ct minimorum, via maXime indirecta, ConCuis ram, omni rigore est emonstratum atque hae demonstratio non multiam discrepat ab ea, quam saga Cissimus noster Prosessor LeXeII exhibuit, Novor Commentur. Cad. Cientiar. Otropol. Tomo XV. ag. 1 et ). Nunc igitur sormulas disserentiales supra e functione deductas per ultoriores disserentiatione QUOIIamVs, Unmdoquidem hinc innumerabilia alia theoremata, iis quae dedimus suntlia derivari Possiant.

Evolutio formulae

per ulteriorem differentiationem.

. s. UmamUs primo solam a Pro variabili, ac facta disserentiatione prodibit

ubi si statuamus erit

nde manifesto erit atque hinc nascitur seqUens theoremn:

. 16. Sumatur nunc pro eadem sormula sola I pro variabili, a reperietUr

344쪽

vhi si statuamus ' )mT, erit

Vnde manifesto erit sicque adepti sumus seqUens theorema:

Si fuerit f δα Q, tum semper erit

Hinc ergo si ponatur m , erit

hincque formatur sequens theorema:

Si fuerit VΘae Z, tum semper erit

345쪽

Si fuerit Ir ae Z, tum semper erit δαί )-ῖ aes m zzzῖ. L. Euolutio formulae per ulteriorem differentiationem.

l. s. an euolutionem iam multo concinnius absoluere licebit. Cum enim sorma proposita ita repraesentari possit, ut sit aes )md singulas disserentiationes in hac forma instituor poterimus. Ita si sola ae variabilis sumatur, erit is quod iam est theoremas praeCedentis et lutionis. Simili modo si sola y variabiblis sumatur, prodibit is quod est nouum theorema ad hanc uobitionem pertinens, unde sitfyae U). Hinc patet si fuerit V mi Q, tum semper fore fis U). At si sola se variabilis CCi Pintur, tum

quadam ii Cia inspectione opus est, quoniam OC Casu nou

erit aes sed insuper aliquod membrum

accedet. IIoniam enim formula . euoluta continet partem μὰ ae s ), huius disserentiatio praebet dae quod ergo insuper adiici oportet, ita ut sit consequenter sumtis integralibus erit

sicque integratio formulae δὴ sisy insuper inuoluit Io anulam integralem fisae in). M a s o

346쪽

f. c. Sumatur nun solam pro Variabili, et quia formula continet terminum variabilitas ipsius producet terminum ae ), sicque orietur ista

de Natio Eodem Modo sale sola littera r Variabilis accipiatur, tum ore Ac si sola S variabilis BCCipintUr, tum erit

sicque Porro

Euolutio formulae

3 et 1. Quodsi hi vel sola ae vel sola X variabilis accipiatur, hae sorma simplaCiter disserentiata ad quaesitum perdescit priori scilicet casu prodit posterior vero Crit

haecque duae formulae iam ante prodierunt. f. et a Sin Utem littera ρ variabilis statUatur, iam

347쪽

a re unde intelligitur ob ὶν miiod in prima formula occurrit, postremum terminUm Oplicari debere. Theorematibus autem hinc declUCCndi non immoramur, quando litidem deincePStheoremata multo generaliora prodi1Cere licebit. . 23. UmnmUs nun solam Variabilem, et quoniam in formula . euoluta CCUrrit terminus uΘae ''),ec hoc peri disserentiationem mascitur 'erminus iae ). Hinc ergo facta tota disserentiatione perueniemus ad hanc aequationem ubi patet, ob bina clementa , et δ' insuper Hos terminos adiici oportere, id quod etiam Oeniet, si sola r pro a Tiabili sumatur; nam quia formula Continet terminumrdis ), o hoc per disserentiationem prodibit mae m),

qtiem ad reliquas partes inscipe adiici oportet hoCque modo impetrabimias an aeqUationem

ubi iterum ob clementa , et Θ duo membra CCesserunt.

Euo itio formulae

quae reducta est ad hanc:

Si hic vel ae vel, solum variabile capiatur, nihil in disserentiatione de notio accedit, eritque casu PIiOIC

348쪽

Posteriore Vero casu

In reliquis autem differentiationibus elementum , suppeditat, praeter disserentiationem solitam, insuper membrummae at vero elementum M producit is flua elementum porro r producit aes ), elementum δε vero praebet is etc. quibus obseruatis obtinebuntur sequentes aequationes:

f. s. si his iam abunde perspicitur, perpetito, qUγties vel sola , vel sola X variabilis accipitur, disserentiationem more Consueto institui debere, nihilque insuper esse amiiciendum; sin autem reliqUae litterae , , , , CtC. R Tiabiles accipiantur, tum pro quolibet elemento sitie di, siue di, siue is, etc. praeterea unum nouum torminUm C- cedere debere. in igitur pro solis elementis ae et dyiam sequens theorema latissime patens constitui Potest:

Theorema generale T. Si fuerit 1 Udaema, tum semyer erit

349쪽

Εuolutio harum formularum, si sola se pro variabili

accipiatur. f. 26. . Quemadmodum iam Vidimus, cum sit

tum fore ita si porro disserentiemus, ii sola variabilitate ipsius prodibit:

unde generaliter habebimus

hincque deducimus sequens Theorema generale a. Si fuerit V dae: Z, tum semper erit

l. et . Quodsi iam ulterius quantitas Q. pro Varia tali sumatur, et disserentiatio continuo repetatUr inUestigationem sequenti modo suscipiamus. Quoniam elementa is et dy nihil turbant, proficiscamur a formula supra inuenta:

Vnde

350쪽

Vnde variabilitas solius primo dabit: . et 8 ' Diuodsi iam hanc formam ulterius secundum Θ disserentiemus, perueniemias ad han aeqUntionem o denuo disserentiando prodibit:

haecque sufficiunt ad constituendum sequens Theorema generale . Si fuerit I Θae tum seinyer erit: