Nova Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae

391쪽

Haec adhuc commodius exprimi poterunt Si enim breuitatis Tratia lonamus I gg- v, pars Iogarithmica nostri integralis erit

392쪽

PROBLEMA

V INTER OMNES ELLIPSES, QUA PER DAT TVOR PUNCTA TRADUCI POSSUNT, EA QUAERI TVR, VAE HABET AREAM MINIMAM.

yasum Uit1 problematis , quo quatuor puncta in angulis parallelogrammi rectanguli Constituta assumuntur, iam olim solutum dedi verum problema generale tum temporis assigredi non tam ausus , proPter ingentem UantitatUm Um Itim, Uae in Calchaliam introdUC deberent, unde sormulae analyticae penitus inOXtri Cabilos orirentur quamobrem eo-m tris haud ingratum ore spero, si hic solutionem satis succinctam istius Problematis difficillimi tradidero. . . Primo igitUr quatiaor puncta data ita disposita esses de boni, ut per ea saltem unam Ilipsin ducere liceat, id quod euenit, Uando quodlibet istoriam Unctorum Xtra triangIllam per terna reliqua sormattam incidit. Statim vero ut itie niCa ellipsis per laec iuncta duci potest . iam

393쪽

satis constat simili quoque infinitas alias traduci posse, inter

quas ergo nostrLim Problema iubet eam inuestigare, cuius area omnium sit minima.

f. a. Sint igitii A, B, C, D, quatitor IIIa Uncta , et a per quae ellipses transire oporteat 'Agnitu Per binari Ino ii Fig. a. ptincta A et B linea recta in B, pro X habenda, Chii rect B, per bina reli tria puncta C et D ricta, OCCI irrat in puncto , ubi initium ' abscissariam Constiti lamius ADPIiCatas vero Jhic non more solito raXi OAB normales, ded alteri directioni L O CD parallelas stati iam is scilicet si vocetiu abscissa X ae, applicatae ei respondens XV X semper rectae C pa

Caeterium hic observetii perinde esse, Per IIaenam datorum Ptinctoritam Yis tradi 1Catim , di immodo directio applicatarum

394쪽

natas X ae et Ym hac forma repraesentetur: Ais -- Bisy-Gyy - 2 4--la Uy- F O, in qua ergo primo littera A et C eodem signo debent e assectae Praeterea Vero earum Productum maius esse debet, quam i, Ut alio 4 Uin Urtiae in a aequatione contentae orent hyperbolae. Vt nunc istam aequationem generalem ad statum Propositiam CCommodemus , statuamus Primo Xm C, Vnde aequatio abibit in hanc sormam: Aaeae 2DT-Fmo, qua ergo praebere debet bina Uncta in Xeposita, scilicet A et B pro quorum illo fit a pro hoc VOTO b, quae ergo esse debent radices illius aequationis Αaeae is DaeH-F O; AUamobrem statuamus

g. s. Ponamus Unc simili modo abscissam ae mi,

dices dare debent puncta C et D sita eius radices esse debent X mi et X ATDd , quamobrem statuatur:

395쪽

ergo modo ittera cindeterminata relinqUitUr a Pro Variis valoribus innumerabiles nascentur ellipses Per eadem quatuor Uncta A, B, C, D transeuntes, dummodo CCipiatur m Q A C. Si enim sumerestur ii A C, CurUasore parabola, siue ellipsis in sinite longa, nita ergo area etiam ore infinita, Uamobrem quaestio proposita ad minimRm aream adstringitur. Sin autem adeo esset Bi Curvae orent hyperbolae, ideoque a nostro Problemate X- cluduntur. f. Quaeramus nunc applicatam' a Manifestum aut in est uilibet abscissae geminam appli, Catam responderes debere et quandoquid in ista ab. I. applicata CGruam secabit in duobus punctis Y et V, quae rict 3 ergo applicatae ertant radiCes aequationis nostra generalis, cuius resolutio dabit

qUOrtim duorum valorum alter dabit applicatam a alter Vero applicatam a , ita ut sit:

. . tua nunc ambo puncta Y et Y sita sunt ine lipsi per puncta A, B, C, D transeunte, interuallum a intra ellipsin continebitur. tiare cum sit a - Xa XΥ, erit istud interuallum

396쪽

ς perpendictitari xv, quae ob ae et angulumae Xυ ae, Crit ae sin. ω per Uod si interuallum Y Y multiplicetur, orietur elementUm areae Y yy , quod CIM erit

Cuius orgo integrale, Per totam Ilipsin extensum, dabit totam aream ellipsis quam Consideramus. f. . Orioniam quadrati ira ellipsi pendet a tiadratura circi ili ho integrale Commodissime inueniemus, si rem ad circulum reseranatis. Considerem 1 igitur CirCUlum, Cimm , , LIS Taditi sit arm , ideoque Cit IS area II rrr, in tuo Fig. 4. Castatu Clementiam nalog 1m V X XX ad Uod X centro

397쪽

siue

His valoribus inuentis area tota nostrae ellipsis debet esse mur rim. ω, unde facta substitutione obtinebitur se quens Xpressio:

RUae area etiam ho modo Xhiberi potest:

Hae expromi ideo a Xime est notatu digna, qtio eius ope omnium ellipsi cim areae totae satis XPedite assignari ossunt e sola aequatione inter coordinatas, siue ea sint rectangidae siue obliquangillae. Ita si habeatur neqUnti ΠΟ-

398쪽

natas rectangulas erit primo in tam 1 tum vero A ff; Bio C ing , D mo; mo F. --ffg g, unde tota

area huius ellipsis Per regulam nostram erit, Orfg. g. o. tuoniam igitur hoc modo omnium ellipsium per data quatuor puncta A, B, C, D, transeuntium areae innotescunt, tantum superest, Vt inter Omnes has areas mi, nima investigetur. Quare cum praeter litteram B reliquae omnes Per quatuor data Uncta sint determinatae, siquidem inuenimus esse A. d; ab; et D m c d α--b); et VIII ib c d et ii id quaestio huc redit, ut quaeratur valor litterae , qui formulam modo inuentam reddat omnium minimam, siue Vt, posito breuitatis gratia CDD--ΑΕΕ. Δ, hae sormula: Δ- etBDE minima efficiatur. I. I. Tractetur ergo littera B tanquam variabitis huiusque expressionis differentiale nihilo aequale statuatur, Vnde nascetur sequens aeqUatio:

399쪽

l. 2. Ecce ergo tota soli1tio problematis propositi perducta est ad resolutionem aeqUationis UbiCae, Iane cum semper habeat radiCem realem, Certiam est, UOmod cunque quatuor puncta fuerint disposita, semper unam eblipsin assignari posse per quatuor illa tincta transeuntem, cuius area omnium sit minima, pro qua aequatio inter O- ordinatas ae et X Xhiberi poterit, si modo loco B radix ex illa aequatione cubica oriunda substituatur. Quodsi fio te eueniat ut aequatio illa cibica tres admittat radices reales, totidem quoque solutiones loCum habebunt, qua rum autem imiolem aliis perscrutandam relinquo.

huius solutionis ad casum, quo ellipsis minima dato Drallelogrammo circumscribenda quaeritur.

l. a. Cum hi 1atera opposita sint inter se parallela, neutrum eorum Pro X a CCipi Conuenit quamobrem alteram diagonalem pro X sumamus, alteri vero PPli C

tas parallelas statuamus. Sit igitur mi C parallelo Gb. I. grammum propositum, cuius diagonales Am et mu Fig. s. tuo in O intersecent, vocentUrqU AO Boma tCozzzΟDzzzc, angulus vero A OG 4. Qiuibus positis ponatur abscissa quaecunque, super diagonali AE a puncto O sumta, eique applicata respondenS, J- ter diagonali CD parallela, a zzzy, sitque aequatio re

400쪽

f. 1 ACCommodemUs igitur istam aeqUationem mneralem ad Cassim Propositiam, a primo quidem manifestum est, appli Catalam evanescere debere in punctis A et B pro

cuius area erit C m. . Vbi notetri aream tuitis parallelogrammi esse m ac sin e ita ut area ellipsi se beat ad aream parallelogrammi ad a.