장음표시 사용
401쪽
. 16. Apparet ergo UiUS Ilipsis Centrun cadere in ipsunt Unctum , atqUe ambas diagonales Ai t metus ore diametros Coni Ungatos, sub angialo obliquitatis Ο inuicem inclinatos CX Uo sequitur tangontes in punctis A et B diametro C D esse parallelas, tangentes vero in punctis C et D parallelas diametro AB, unde
haec curua facile describitUr Osiodsi angcitiis cicierit rectus, parallelogrammum abit in rhombsam, latus diagonales Bet D erunt Xes principales Cilisssis. . I . in Utem ambae diagonales Bet CD suerint inter se aeqUales, manente angulo θ obliquo, parallelograminum nostriam abit in Iectangialiam hunc ita Castam iam olim iam Contemplatras, Hipsin Oe minimam determibnavi tati rectangulo CirCUmsseribendam, quae obuio quoque cum praesenti egregie On lenit. f. 18. . Videamus mUnc etiam AEUOmodo AXOS IinCi Tab. II. pales et psit inuentae in genere desuairi oporteat. . Positis Fig. I. ergo coordinatis eXistente rangulo inuenimus an aeqUntionCm
Ponamus nunc O F esse semiaxem principalem huius et p- sis, inclinatum ad rectam OA Ab angulo AOFIII p, et referamus punctum ellipsis V ad isthim XCm OF se Coor dinatas orthogonales is Qtiem in meme ae ducamias prioribus coordinatis Parallelas u et i,
- φ, tum vero anguli is rure 4.
402쪽
I af rs. Iam resolutio horum triangulorum praebet:
unde per X et Y priores coordinatae ae et cita determi
--oa X G. py aua XYG. pcos et -- aia Y cos. νΙn hac igitur aequatione, quia ad axem principalem resesetur, ante omnia termini Continentes a se mutuo destruere debent, unde sit
cim. cpycos ain Q cos. φ, ecqua aequatione angulum et eruere licet. Cum enim sit a sin a pisci sin. 24 - cpy- cc in ad cos a p- ci os et e sin a p, per sin a cla diuidendo habebimus: α' oc in a dies a p χχ cos. 24, hincque siet Cos et lx in ta tiunde duplex ator pro angulo I elicitur, Pro utriusque aXis Principalis positione.
403쪽
l. o. Sublato iam termino XY aequatio nostra ΥΥ soccos. θ - py sucos p*JS vndo ambo semiaXes principales, qui sint f et , sequenti
unde ob iam inuentum angulum p ambo semiaxes princi, pales s et g determinari poterunt. f. ar Si duam postremam aequalitates . addantur, orietur ista aequatio:
sicque erit Tum vero si in alterius ae-
404쪽
. a. Nun hinae postremae aequalitates in se imuicem ductae dabunt 'μ' '' i'. I, ideoqueffv: iacessita θ', consequenter . ac sin. , in qua aequatione continetur insignis illa proprietas, tua parallelograminum CirCa binos diametros coniugatos deseriptum aequale perhibetia paralle Iogrammo Circa Xes principales des Cristo. Cum deindes Vora inuenerimus m quoniam modo id, mUS csse α- cc IIIJ fi g, in Testillat altera princisclli Proprietas, qua est α- cc Aff-- gg, Ci Cet in omni ellipsi summa quadratorum duorum diametrorUm semper aequales scin summae quadratoriam Sitim prinCiPesium.
f. a. Applicemus hae ad Casum rectangulorum iam ducllam tractatum, pro quo Oft a, atqUC Pro situ axium principalitam nunc habebitur ista aequatio:
405쪽
vndo fit ves ideoque γα νὸν vel et γα ' -- θ, ideoque. p. so' - ἴθ. . Min igitur paten alterum Xem ab Rprincipalem in angulum bisecare alterumque Fig. a. OG huic normalem, angulum o bisecare Deinde vero erit fg sin et 10H gQ m et i, Vnde colligimus: f-- gy m et ni 1 -- sin. ym cos. s' In ideoque erit
quocirca habebimus frauscos 43'-ἶθ)-sin. 43'-b Dymicos I .ga, similique modo
406쪽
QUAE CIRCA DATUM TRIANGULUM CIRCUMSCRIBI POSSUNT, EA VAERITUR, CVIVS AREA SIT OMNIUM MINIMA.
Auctore L EUL ERO. Conuentu exhibit die 4 Sept. 7 7 .
Ρostquam hoc problema pluribist modis iam olim frustra
tentassem, nuper tandem incidi in methodum prorsus singularem eius solutionem inuestigandi, Vae eo magis est notatu digna, quod ad constitictionem valde simplicem et facilem perducat. scis scilicet sum eadem Othodo, qua nuper inter omnes et pses, Vas se data quatuor uncta traduCere licet, eam assignare docui, quae minimam habeat aream, Unde Praecipua calculi subsidia e illa dissertatione sum PetitUIUS. Tab. II. Sit igitur ABC triangulum propositUm, sum Fig. 3 iux angulum ad B vocemus, o bina autem latera func
407쪽
angulum sormantia vocemus ΒΑ a et C c. ita et sit tertium latus: AC I sua. cc - Cos ae); Praeterea Vero notasse iuvabit aream huius trianguli essem La cin. . Videbimus autem semper aream minimae CLIipsis, per terna puncta A, B, C trans Untis, Certam mnere rationem ad aream Uitas trianguli, UiPPe quae I tio reperietur ad 3 3 3. f. a. Sito punctum quodcunque in ellipsi quamsta, cuius situm definiamus per binas coordinatas obliquam gulas binis lateribus A et B parallelas quamobrem, ducta recta a lateri BC parallela voCemus a Coord, natas et Ymy, quarum relatio XPrimatur Per hanc aequationem generalissimam secundi ordinis: πα- et Bri y--Cyy--am4-- ΕΥ - μα O, atqUe in dissertatione memorata, ubi quatUor puncta sum Contemplatias , ostendi totam aream huius ellipsis esse:
ubi more solito et denotat Peripheriam circuli, Cuius dia'
f. q. Ante omnia igitur istam formam generalem ad casum nostri trianguli accommodemus. AC Primo quidem Chim sumto pro ipso puncto B fiat quoqUe O , manifestum est statui debere F G, unde area mperior iam simplicitas Xprimetur. Deinde iam pro puncto A sit ae taet aequatio generalis dabit Aa a et D m O, Vnde sit D. Aa. Tertio vero pro uncto C erit ae s T a et
408쪽
quae ergo omnes Plane ellipses Complectitur, quae per data tria puncta A a traduci possunt: in qua aequationes ergo adhuc insunt tres litterae indefinitae, scilice A, B et C. f. s. a igitur litteras ita determinari oportet, ut area ellipsis omnium minima reddatur. Cum igitur sit F o D -JAi et Em - Cc, area ellipsis e so mula generali supra data ita Xprimetur: ZAACaα- AC Ccc-a ABC ac i. ae a
i ergo littera A, B, C ita definiri oportet, ista πιPressio omnium euadat minima; Vnde patet duplicem inum bigationem minimi institui debere. f. Quo istam formulam ad CalCUIum propius a Commodemus, statuamus primo i mos et C, ut fiat a B BELA C sin φ' ideoque
Nun ad irrationalitatem penittis tollendam stati Asr, ut sit HAC In Aci, hocque modo area nostra erit et quaesti, iam huc redit, quemadmodum quantitatem
409쪽
et angulum c determinari oporteat, ut alor Uius XPressionis μ η ας δ' 'N'ς μου S, omnium minimus reddatur ΤΙ. . PonamVs angulos iam datum esse valorem debitum ita ut sola quantitas 3 inuestigari debeat, qua isti sermulae minimus valo Concilietur; in Ua ergo investig tione angulus Q ut Constans, sola autem S ut variabilis erit Consideranda, si Cque minima reddi debebit ae expressio
cuius pars postrema iam est Constans , unde tantum haec sermula: ' - - S, ad minimum Perduci debet, UiUS ergo differentiale nihilo aequatum praebet an aequationem
ideoque sumi debet Ira Quoniam igittar in aequatione
nostra sola ratio inter litteras A et C spectatUr, sumamus Αα CC et C ii, hocque modo iam adita leuimus nam minimi conditionOm. . . Loco A et C scribamus istos valores inuentos, atque area e ipsis, ex parte iam minima reddita erit rsin. ω LMM Ε ) racsin. ω in ). Tantum igitur angi dus p ita definiendus restat, ut formU
410쪽
aut in redderet formulam in Cos o m o , ideoque maXimum non foret quare altera sollitio locum habebit, quae dat et Cos O, unde sit cos o b, hincque sin φ scilicet ipse angulus oret in gr. I. Nunc igitur conditioni praescripta penitus satisfecimus, et iam area ellipsis o modo exprimetur: UI' ET quae est minima inter omnes ellipses , quas Per tria data puncta traducere licet. Uni igitur area trianguli Ai sit ζαχ in tes euidens est aream minimae ellipsis quaesitae se habere ad aream trianguli a, a prorsus ut iam supra Commemorauimus. Hae autem ratio ProXime Vera in Umeris est V a, 18 O: I, Vnde sequentes fractiones continuo propius ad Veritatem accedent:
3. O in1neramus Un etiam ipsam aequationem pro curua inUenta, et Uia sumsimus A cc et mau,
hin reperiemus litteram B, e positione B cos et w C, unde ob os id erit id ac quo Hore substituto aequatio pro ellipsi omnium minima erit:
unde tro qualibet abscissa ae gemina applicat definiri Potest, reperietur enim:
qui valor concinnius ita Xprimitur :
EX hac aequatione primo patet abscissam ae nunqUam maiorem fieri osse quam negative autem abscissa non Hira