Nova Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae

422쪽

situm, quippe quod iam sine ulla dissicivitate ope methodi

initio inplicatae Promtissime inueniri poterit.

f. s. Problema Uod hactenus tractauimus, ad sciemtiam Perspectivam reserendum videtur, quandoquidem si essis gies cuiuspiam obiecti CCUrate fuerit elaborata, Plurimum intererit eum locum assignare, unde si tam ipsum obiectum, quam effigies aspicie tUr onmes artes homologae sub aeqU Iibus angulis sint appariturae. ste scilicet locus in eo puncto reperietur, quod Centrum similitudinis vocavimus. f. 16. Iam e iis, quae supra sunt allata, istudinem Fab. III trum similitudinis semper faCile assignari poterit,' quomodo- Fig. - cun tiae tam obiectum quam effigies fuerint dispositae. It tim enim considerentur Oo uncta homologa A et quo- rum luido in ipso obiecto, hoc vero a in effigie sit assu tum. tum ducta recta A a tanquam ad ipsum obiectum se tinent spectetur: in offigie autem e puncto a similis reclaedlaCatur a re, quae scilicet ad effigiem pari modo reseratur, quo recta Ala ad ipsum obiectum refertur Quo facto primo tenendum est, centrum similitudinis quaesitum semper reperiri in Flano, quod iis duabus rectis A re et i, siue tribus Punctis , a, α determinatur, et Usque locum ita definiri de- bere, ut simili modo ad utramque rectam a tis reser tur, UiUs ergo inuentio ex seqUenti problemate erit petenda.

Problema geometricUm.

Datis tribu3 unctis A, B, C, in Iano fabulae fcuimu que illa inuenire in eodem Iano unctum , ut ductis rectis'. AB, C, C, O et OA ambo triangula A et BC inter se an semilia, me ut evadant anguli OBII BOC, O AB OBC ct OBA OC B.

423쪽

Solutio.

Piodi icta recta A B in D ponatur angi ilus

Cim qui ergo datur tum ero Vocetiar angulos O A B Q qiai adeo erit inCognitia ; quia autem ei aeqtialis esse debet angultas i , erit angultis BD cp - , qui cum sit Xternus respectu trianguli A Oi, erit angulus ADt , ideoque datUS, CUI Orgo etiam aeqUalis erit angulus BD C; ex qua Conditione ipsum unctum O haud difficulter

terminabitur.

f. 18. Cum igitur triangulum o ita sit comparatiam , ut eius angultis Di Clementis Constat, super has Am innumera eiusmodi triangula Constitui post , quorum anguli Verti Cales Di omnes eiusdem sint magnitudinis , siquidem omnes isti anguli in peripheria Certi ioculi, super basi A B descripti, reperiuntur. Ulias igitUr i culi Centrum ali Cubi erit in recta VPN, e rectae in puncto medio M perpendiculariter erecta Vnde si centrum fuerit in I, necesse est V angulus ad Centrum A PB aequetur duplo anguini , ideoque erit eius semissis Bes ideoque angulus Mi P Io O - θ, e quo manifestUm Est ore angu-Ιum σν rectum, siue rectam di ita esse UCendam, ut ad rectam i fiat normatis, hocqiae modo innotes et Centrum circi id quaesiti Q atque adeo isto CirCulo descripto, Contrum similitudinis quaesitum O alicubi in peripheria uius i culi erit situm.

l. 19. Simili modo si altora recta C his colu in

m ad eamque statuatur normatis in , ope hac recta B etiam describi poterit circulus, ad uitis seripheriam omnes

anguli basi insistentes sint quoque rara, huiusqUC CirCUli Centrii erit in puncto , ita ut sit angulus im ρό, Vnde ui tu Acad. Imp. Scient. I in IX. X M

424쪽

patet istam rectam dii esse ad Ba normalem. Cum igitur, d

scripto centro i circulo per puncta C et B transeunte, in eius peripheria pariter situm sit Uncttam quaesitum , euidens ei istud punctum itum ore in intersectione amborum ci

culorum momoriatorum.

I, O. Hae autem multo laciliora reddi possunt hoc modo. Ad rectam B A X A erigatur perpendiculum rectae B I productae occurrens in V, eritqU I VIBII AI, ideoqUe punctum V in circulo, atque adeo recta di erit diameter istius circuli. Simili modo si X altera parte X ad n erigatur perpendiculum C F, occurrens rectae dii Productae in F, erit quoque F Bi Ci, ideoque Bi erit diameter huius alterius circuli. Quare si super diametris B Κe BF duo circuli construantur, eorum intersectio O dabit centrum similitudinis quaesitum . . a T. Construamus nouam figuram, omissis lineis simna , perfluis, a Primo Videm e punctis A et C ad recta B Aet B C erigamus perpondiculares , et C F, quae rectis D et in ipsis B C et B A normaliter iunctis, CCUrrant in punctis V et tum vero super his rectis di et in tan-qUam diametris constructi intelligantur in circuli, Ut se mutuo in puncto O intersccent, eritque istud punctUm primo in semicircido super recta B V Xstructo, ideoque amgulus B in rectus deinde vero idem tinctum O quoque erit in semicirculo super recta Bi Xstructo , Unde Uoquo angillus OF erit pariter rectus; e quo manis est am est ambas rectas no et D in directum esse sitas. uocirca ducta recta DF in ea punctum O reperietUr si in eam X puncto B demittatur perpendiculum BO Unde seqUens comstructio facillima derivatur.

425쪽

Consi ructio problematis propositi.

. et et UX tribus datis punctis A, B et C educam tu rectae, quae ad binas rectas A et B sint normales, quarum intersectiones dabunt duo puncta Κ et tum vero in ductam DF e B demittatur perpendiculum O, eritque punctum O centrum similitudinis quaesitum, ita ut

ductis rectis A et O , ambo triangula AO et B OCinter se futura sint similia. Demonstratio huius constructionis.

f. 23. Primo notandum est quadrilaterum ΑΕ ΟΒ esse circulo inscriptum, e cuilis nator sequitur Ore angi

AEBITA OB Deinde eodem modo quadrilaterum B OF Cest circulo inscriptum, unde sequentes angulorum aequalibtates prodeunt BOC BF C, BF GOF OBF

. et . is notatis primo demonstrari poterit esse triangulum Di simile triangulo DB F. Primo enim est angulus BAO FEB per 3 praeced.); deinde est angu- Ius OB AEB, qui est complementum angiali ΑΒΕ, sed anguli ii complementum est idem angulus A WE, Vnde sequitur ore angulum AOB EBF unde Ponte sequitur ore tertium angulum ira DF B. g. 23. Eodem modo ostendi poto esse i BOC QAEBF Primo enim est angulus BCO BFO; deinde est BOC iis, cui, ob n ipsi C; parallelam, aequalis est Iternus BF sicque erit angulus BOC AEBF Vnde X a etiam

426쪽

otiam tertii anguli OBC et B EF erunt pariter aequales Oxiare cum ambo triangula Di et B OG imilia sint bilem triangulo is necesse est ut quoque sint similes imter se E. D.

et 6 Notasse raralem AEUOqUe iuuabit Casum,' quo punctum Ytra rectam DF cadit, veluti in figura Hic Tab. IV. Vt ant ἘHadrilateriam AB OV est circulo inscriptum: de- Fig. . inde Vero euidens est quadrilaterum in F ade, in s micirculo, super diametro F descripto inesse undet demonstratio tonstructionis ut ante derivari poterit, Nun ostende-tiar ambo triangula AO et O C similiae esse triangulo Fig. 4. BF ideo ille etiam similia inter se Praeterea quoque notdri meretUr Castas quo ambae recta B est B sunt inter se normales tram enim manifestum est puncta E et in Ipsos terminos A et C incidere, unde iuncta hypothenus EF iues AC, si in eam o B demittat a serpendi CUIUM BD, erit suo' in contrum similitudinis quaesitum, siquidem triangula AD B et BD a manifesto dant 'similiatam inter se quam tertio in C. . et . Deniqiae etiam casum, quo recta C ad AB

sub angulo accito inclinatar, considerari Conuenit, UiPPe Fig. UO mbo PerpendiCUI A V et B; in plagas contrarias Cad Unt, veluti in adiecta figura Cernere licet, ubi punctumo intra angulum in C ita cadet, ut triangula Di et BO C inter se 1ant similia semper enim quoque similia erunt triangulo Et F.

. 28. Interim tamen unicos Casus occurrit, cui ista solutio aduersari videtur, qui contingit, quando recta AB

cum BC in directum iacet; propterea quod ambo uncta

427쪽

et in infinitum remoueantur, ita V praecedens comstructio hic plane adhiberi neqCeat. Statim autem perspicuum est, o Casta ventrum similitudinis O necessario in re. flam ABC productam incidere debere, ita ut fiat Ao: Bo B in C O. Ad hoc ergo punctum inueniondum OCemus AB Tu, BC IC O BOET Z oportet Ergo Esse i T C, Vnd si ideo ita qui valor sequenti modo Commode Construitur. octa Amsub angulo quocunque iungator recta Ab T IABIIIa, Oae seceto in cita, Vt c BC c, ductaque recta es ei agatur parallela recta D, Uitas intersectio cum recta proposita Ai ostendet punctum quaesitum O.

430쪽

PROBLEMATA

Auctore F. T. SCHVBERTConuentu eae lib. die 18 Iob. 790.

I. T.

Plurimae curvarum proprietates sine calculo infinitesima Ii aut plane non, aut non absque multis ambagibus erUUntUr. Eiusmodi sunt quadratura, recti fiCatio, normales, in PIimi autem tangentes, quas ad inveniendas Cal CUIUS disserentialis primum ab inventoribus fuit adhibitus unde et ipsas differentiandi regulas methodum tangentium PPCI- Iarsant eodemque iure nomen et odi tangentium inversus Universo calculo integrali tribui posset. Proprie tamen subha denominatione ea tantum Problemata Comprehendumtur, ubi e datis relationibus areae, Vel arCUS, Vel tam gentiS, etc. ipsa Curva est quaerenda quod itidem sine integratione, eaque interdum saepius repetita fieri neqUit. Huiusmodi problemata omni attentione sunt digna saepe'nUmero paradoXon e iis nasse videtur; nonnunqUam aequati, integralis aestata, impossibilis, cum clamet ipsum