Nova Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae

431쪽

problema ni illam inVoIVere Videretur Contradictionem. xime autem ea inservitant CXamini institilendo, utrum Certa proprietas, qUam IiCU CUIVae Competere aliunde iam Constat, huic UrVae soli sit propria, an vero pluribus sit communis Atque hic mihi finis est propositus in hac iis iubsitione, Atiam tamen mitra sectiones ConiCas i a vice non extendam. iri Usquam autem aem ipsam aggrediar non nulla mihi videntur praemonenda. Dantiar Iarvarum funCtiones, NURO situ Coordinatat Iam minime dependent. sedim quovis UrVae stincto aedem manent, quomodoCunque axis vel initium abs Cissarum varietur eluti radium osculi. Dantur aliae, quae di Versos indiatant Valores, Prout coord, natae mutantur talei stant clangonS subtangens, morin iis . aliaeque sere omnes O Iodsi itaqUe e. r. nonnisi i dii curvedinis in problemate fit mentio, aeqUnti quae resultat integralis erit generali. ad Cnm CUIVIm Ianoe Tmblemati satisfacit in autem relatio suaedam Metur inter radium os CUI C tangentem, VO normalem, itC. haud sufficit ipsam Curvam nosse, sed etiam sitiam Xis abscissa rum et ordinatarum nosse oportet; inde integrale non Ῥωterit esse aequatio generalis. sed tali S, NURO Urvae natumram pro Certo Coordinatarum situ Xprimit Algobra enim quaestioni persecte satisfacere debet tiare Cum hisco casibus problema non CUIVae iantaXat natUram, sed coordinatarum quoque situm MVaerat, etiam O aeqUatio integra - Ιis determinare debet id quod infra circuli Xenipuim I rius ostendOt. Sit M Parabola, in qua AP PMITIX, Tab. V. parameter my, Obtangens t, subnormatis P et u Fig atqUe erit seneratim in omni curva H u Io et

in Parabola yy α ρ Cum itaque connet, in Parabola esse

432쪽

esse inqyliramus, Iam aliis curvis eadem compeiata proprietas Vis itaque debet '' etae, sive TV, linde sit integrando a ly lae--C, seu * a X, Iane est aeqOatio ad parabolam, abscissis in X a vertice Captis unde patet, solam Parabolam a Proprietate gaudere. Neque hae relatio in Ulla Curva adesse potest, si abscissae non a verti Ce , sed ab alio Vopiam puncto a Com-ΡUtentur, Ut nempe subtangens aequetur duplo abscissae, sive et a P. iniicunque enim valo Constantii tribhuatur, erit ' Ἀφη eV, quae est aequatio ad Miabolam, Cuius latus rectum es , abscissis a vertice sumtis. Ponamus iam in tenere Immae a , . e. Proinde uae, Uae est aequatio ad parabolammti gradus. Relatio itaque parabolae Apollonia-Dae est Propria, hae autem Trimae nonnisi Parabolae niti gradus Competit. Posito erit Iae, et VI a X, quae iterum est pro parabola Apolloniana, abscissis sumtis a e Fig. et tiCe X normalibus Appellatis nempe AP ae, M X, est Py, PT t. Est autem PM, Consequenter ob aequalitatem triangulorum Tt, PTM, P A seu tibae, Ut requiritUr. Quando ni est Umerus quicunqUe fractus . . , Π VenitUr ' TIT quae aequatio Parabolam repraesentat ti gradus, si 1 ν; sin autem in Q , permutati COOrdi' natis Curva est parabola et gradus. Unde perspicimUS, parabolas ratione huitas proprietatis in classes posse dispesci. CUIVa namqU Parabolica est mi gradus, si in ea sit sudi

Restat

433쪽

Restat casus, quo litera m eul valorem induit ne

gativum, ita V si iae', seu cy' quod indicat curvam hyperbolicam, coordinatis secundum asymptotas captis Posito e. r. PMI IX est Fig. 3. aerm C, proinde Gyrata Lyae, Unde sequitur seu F P, quae est propnotas HyperboIae notissima. Perspicimus timque, Proprietatem an omnibus Urvis hyperbolicis osse communem si nempe abscissae ae in una symptota sumam tur, applicata autem alter asymptotae parallelae, semperes se su angInterii ad abscissam in ratione Constante, Prosesus Ut in Arvis araboli Cis modo notetur, in hyperbolis subtangentein et abscissam sibi esse oppositas. Quamobrem pro omnibus Urvis parabolicis aeqUmuo generalis est: Izzmae, et Pro hyperbolicis: t -mae. f. a. Alia proprietas parabola notissima est a Crum ἶρ, seu generatim N IT C, unde invenitur α TH C, quae ergo relatio soli parabolae Apollonianae

Competit. Possit autem Hae est U-C, quae aeqNatio Ut hyperbolae aut duabus rectis Convenit.

Posito enim C o, sit X a M X-α CCterVm Patet, si in genere sit u uae , prodituras esse innumerIS Curvas Pro diverso valore itera m et constantis adiectae. Quare non diutius immoror. f. q. Intercedit in parabola inter summam Tubiam gentis et subnormalis atque normalem ipsam relatio admindum simplex. Scilicet si per quodvis parabolae PUnct a Fig. r. M Ucatur clangens T atque normalis MAE, AERI iant II

434쪽

I Oque abscissae Nira, ordinatae M v, reperitur aequatio se rug, Persecte similis ei, quae parabolae natin ram Xprimit per Coordinata orthogonales ad Xem rei tas. Est enim TN: NM NM: PN, h. e. y u S. Quare cum in sarabola 1 u a P Constans, erit se a T. Otiae aequatio Coniuncta Iam generali omnibus curris competenti, ly ma 2, Praebet u IIII a se subnormalem comstantem. Vnde vicissim seqUitur, an aequationem P ag, soli parabolae competere f. a.), tu,qUe naturam non bnus desinire quam istam, rata a T. f. s. Cum area parabolae Apollonianae aequalis sit ossi rectanguli ex abscissa et ordinata, faCile Patet, eandem relationem nulli alii Curvae competere posse. Sin autem generaliter Ponamus aream seu

esse parabolici generis, si1 n m hyperbolici, si m n, et

oritur aequatio ad parabolam Apollonianam γ' iae. . . Insignibiis paraboIae proprietatibus merito hae AnnUmeratiar, quae Ob usum suum in Catoptricis est notissima si e quovis Curvae puncto M ducatur rectam ad 1 Cum parabolae, aliaque Mn axi parallela binae istae lineae aequaliter ad tangentem M inclinantur, sive est MI n Mi. Inquiramus iam generatim, utrum Iure dentur Curvae, in Vibtis punctum quoddam fiXum possit assignari, ex quo si ad quodCUnqUe Urvae Unctum M ducatur recta, aliaque recta X parallela Per punctum Ms

435쪽

M, ut binae istae lineae aequaliter ad curvae tangentem in minclinentur Quem in finem pono AF f, ut sit T F. Tl a P - A Uzit - - - f. Quare cum sit Mn MI N, requiritur ut sit MF TFITt aeri f. Est autem

matre σὶ inde disserentiando nascitur

Hinc nanciscimur

Unde concluditUr aut ρ -- quod Praeberet alorem

436쪽

quae aequatio docet, man Proprietatem nonnisi parabolae Apollonianae OmPCteIO. . . Quemadmodum parabola Uno, sic hyperbola atque ellipsis binis praeditae sunt focis, quae ProprietaS

num aliis UOqIC Curvis Ompetat, iam inquiram Is P aE- monendum autem videtur, me nonnisi de soco proprie sic

dicto hic loqui, qualis in Opticis consideratur Radii nem- se ex alterultro soco in Urvam incidentes ita reflectiantur, ut vel in altero soco ConCilientur quo casu socias h rcus Ellipsin dat), vel ut facta reflexione omnes radii X altero soco egressi videantur quo casu sociis geometricus seu vi tualis Hyperbolam praebet). Ambo casus generatim sub Fig. q. uno facile Comprehenduntur. Sint curvae Am bini soci et G, per punctum quodvis M transeat tangens 4. Requiritur itaque, ut rectae a puncto M ad binos socos duotae tangentem 4 sub aequalibus angulis secent, seu ut sit MF QMG, quod de ellipse et hyperbola Valere Constat modo notetUr sim ad alteram uncti F partem cadat, ore Tm F G. Eadem vero relatio, quo tam trumque Casum Complectatur, generaliter sic nunc1atur. Est

437쪽

quae est integranda. Quem in finem reddatur ea homoge nea, Ponendo X-s V et atque in arte aequationis priore labstituatur aetaΘu, in Posteriore ae Θ eritque

438쪽

Hinc iam patet, problemati nonniti lineas secundi ordinis vel sectiones conicas satisfacere. . nunc Constans Ibbtraria c determinetur, abscissae a Vertice Curvae computemtur, ut casu aera sit quoque m O tum quoniam in a quatione integraliu-- UH-ὐλαχυ-ci sy*-Hi ')esse nequit σα , in ultima aequatione habemus: unde resultat

Una itaque radix est cras, altera Pro Priore ae quatio nostra est:

seu dividendo per g TUI,

Cum in hac aequatione iterae Petra eodem prorsus modo Contineantur, ad eandem quoque e ressionem servenissemus,

439쪽

si alteram substituissemus radicem cet L. Quamobrem haec

est aequatio generalis UrVarum focis praeditarum, abscissis a vertice Castis, in qua ellipsis, hyperbola et parabola continentus. In ellipse 1 axis transversus dicatur a Comiugatus a b est Unde aequatio nostra sit α -- b*π-8 ab*XIT O h. e. ' a x- P, quae est notissima illa aequatio ad Ilipsin. In hyperbola est et aeqUatio nostra: α - Hatf-8 ab aera O h. e. UT I Qx- P, uti requiritur 91 Parabola est unde aequatio nostra abit in hanc g*y f eae o seu fae, Ubi est sciatus rectum parabolae , quod e natur Parabolao constat. In Circulo denique est f gα α, proinde aequa tio nostra: i y - .i ae u ' 2MX-ae quemadmodum esse debebat. . . Si circuli diameter pro Yo abscissarum assinmatur, in UOVis puncto normalis est aequalis ipsi circuli radio, qui simul est radius o Uli; unde duae oriuntur Proeprietates Circes principales , nempe . quod radius ficuli est c0nstans, et . quod normali ubique radio osculi est ae qualis. Si iam methodo inversa Xamen instituamUs, Ubbusnan Curvis duae istae proprietates competant, VidebimUS, posteriorem sine priore esse non posse. Pro priore di Camus arcum πιε, ut posito ae constante sit radius osculi e

440쪽

- τε ideoque aequatio proposita: Ouo tinc irrationalitas tollatur, statuamus unde sit

quibus valoribus substitutis habemus aera et inte grando H-b Ubi si restituatur Hinc reperitUTProinde

quae est aequatio ad circulum generalis, UiUs radiUs m c distantia Xis abscissarum a centro mi, initi abscissarum a Centro J Solus itaque Circulus ita est ComparatUs ut xadius osculi sit constans quod Per se Patet. . Consideretur iam casus, Ubi normalis aequatUr radio osculi. Cum igitur normalis sit zi , esse Portet Iυ - δ h. e. δὰκ S seu posito δὴ constante, et