Compendiaria matheseos institutio quam in vsum auditorum philosophiae elucubratus est Paulus Mako ..

131쪽

delere positiuum idem est, ac eam utrobique tollers. I 6 I. THEORBΜΑ. Siqvis terminus aequationis per aliquam quantatatem es multiplicatus, possunt omnes alii virisque per eandem retenta aequalitate dividi. et illa in termino illa deliridi aut si es diuisus, posunt reliqui multiplicari, et ea ibi rursus deseri. DEMONsTR. Aequalitas enim retinetur . si utrumque aequationis membrum Per eandem quantitatem diuidatur. aut multiplicetur; atqui Per eandem quantitatem diuidendo in primo Casu, vel multiplicando in secundo, terminus ille erit per idem multiplicatus simul et divis r quare deleto diuisore. ae multiplicatore manet inuariatus; ceteri Vero, qui per eam quantitatem non multiplicabantur . nec diuidebantur, iam diuideatur In primo Casu. multiplicabuntur in s cundo r ergo retinebitur membrorum aequalitas. E. g. si fuerit a x - b x - ac ed. diuidendo utrumque aequationis membrum per a

diuisum sit per ae , hoe in primo membro omi, tend9, et alterum per illud multiplicando erit

132쪽

Ias ELEMENTA

I 6 a. COROLL. I. Si ergo omnes aequationis termini per eandem, Vel Oasdem quantitates tuerint multiplicati, aut diuisi, post unt eae virin. que omitti retenta aequalitate. E. g. si fuerit arb- ab M ac, erit omittendo a Vtrinque ab

- b - e. Item si fuerit --- , erit

ac 2 comittendo ae utrinque α' - δὴ - d 163. COROLL. a. Patet hinc methodus liberandi aequationem a fractionibus. Si enim omnes utrinque termini reducantur ad eundem denom, natorem, poterit utrinque omitti denominator. E. g. si fuerit ax - lx' - ab. Eritaedu- Cendo omnes terminos ad communem denomi-

m a ab. Possunt etiam fractiones altera post alteram tolli, si nem p utrumque membrum ae quationis per singularum fractionum d nomina tores successive multiplicetur E. g. in praee dente aequatione terminos omnes primum mult1Plicando per 5 erit aax- V α' α 5a , rurIus multiplicando per 4 erit 8ax-I5α - 2 Oal,

ut ante. 164. THEORBΜΑ. Potest utrumque aequationis membrum retenta aequalitate ad eandem poten riam evehi. vel ex utroque membro eadem radix extrahi

DEMONSTR. Quantitatum enim aequalium tam Potentiae . quam radices eiusdem gradus aequales sunt; cum illae oriantur aequalium per aequali multi-

133쪽

multiplicatione cos , hae aequalium Per aequa Ea diuisione cras .

E. g. si fuerit a V x-bU V, erit eleuando ad potentiam m Vtrumque membrum a x a b R ; rursus utrumque eleuando ad potentiam n erit ad 'x aera b ', . Similiter si fuerit k3α ab , erit utrinque extrahendo radicem cubiis

SCHOLIGN. Ope horum theorematum facile soluuntur omnia problemata, quae ad aequationes simplices reducuntur, uti elucebit e sequenti capite.

De resolutione problematum quae ad ae-qriniones si pisces reducuntur.

16s. ROBLEMA. Aequationem sirpticem, in x qua unica es incognita, reducere; seue ere, vi in νno membro aequationis sola incognista , in altero merae quantitates eognitae sint. RE sonu T. IJ Si in membris aequationis occurrant fractiones , eae ante Omnia tollantur

163 : et si termini omnes per aliquam quantitatem multiplicati sunt, ea ubique deleatur cloa .

134쪽

ELEMENTA

1 3 os Si in utroque membro aequationis occurrant termini quantitatem incognitam continentes, transferantur signis mutatis in eam partem, in qua facta finali reductione quantitas incognita euadat postliua 159 . E. g. sit 5 rx' - ab Σααi- Ωaxy: transpouendo - arax erit 7 ax' - ab 'umcd: qilodii 5 ix' transponeretur, quantitas incognita x' euaderet in fine negatiuae a) Si terminis incognitam continentibus adhaereant quantitates cognitae signis -- aut iunctae, tranSserantur omnes ad membrum altearum ci 50 . E. g. si fuerit a v -bx -- c - a dy - 3ab', erit transponendo cognitas e et ady ad aliud membrum, ax - bx - 3ab'

Si quantitas incognita fuerit per Cognitas

multiplieata, per eas utrinque omnes termini dividantur. E. g. in exemplo superiore x est multiplicatum Per a-b ς ergo Per ia-b omnes

s) Si quantitas incognita a cognitis iam plena

separata ad aliquam potentiam, e. g, secundam, tertiam etc. eleuata fuerit, ex utroque membro aequationis eXtrabatur radiX eiusdem gradus, quem indicat Exponens potentiae. E. g. Si fuerit x

m: a -- b , erit x U α' - b ). Sin autem quantitas in gnita signo radicali affecta fu-arit, eleuetus Vtrumque membrum ad eam P

135쪽

tentiam, quam indicat exponens radicis 164 . E. t. Si fuerit V ae ab . erit x - a b . Scuo eros. Si iti qua piam aequatione plures

adfuerint radicales, reductio commodius instituetur hunc in modum. Sit e. g. reducenda haeCaequatio, a x bx' d. Ponatur Uax ansi λ πῆ, erit ax p , bx - q'. Iam facta pro radicalibus iubstitutione erit ρ - 7--d, et

membrum Utrumque eletiando ad quadratum erit

valores superiores erit ax - a d --d rquia vero terminus aqa a, bx etiamnum radicalis est, rursus eleuetur utrumque membrum ad quadratum ante bx et dy in alterum membrum traiiciendo , Eritque a xy-aa y--byx-- audis

ab sya .l -4qyd . Vbi si pro q substituatur eius valor bae , obtinebitur aequatio ab omni radicali libera. Atqua hoc pacto quantitates radbcales eliminare semper licebit. I 66. PROBLEMA. Datum problema ad suas

aequatione ς reducere.

REsoLuae. Statu quaestionis , et inclusis in ea conditionibus diligenter expensis, sedulo duspiciendum est , quaenam dentur quantitates, quaenam quaerantur, quaenam item inter quaestas sit illa, a cuius inuentione pendet solutio problematis: quaenam denique inter datas. et quaesitas intercedant relationes.

a) Quantitates datae primis alphabeti literis, quaesitae postremis designentur. Si quae propter mutuam relationem eadem litera designari ponsint, eadem designentur iuxta eam, quam habent

136쪽

1 3a ELEMENTA relationem, Ut si maior sit minoris tripla, et minor adpelletur x , maior exprimenda est per χ , non per uouam literam. 3) Videndum accurate, quaenam quantitates iuxta problematis conditiones vel simul, vel seorsim dicantur esse aequales . Vel ProportiOnaleS: earum aequalitates per aequationeS exprimantur, quae quidem semper tot erunt, quot problema habet conditiones i5 I et proportio Vero, siqua occurrit, resoluatur in aequationem , Vti

I. Sit propositum sequens problema. Tres Disores lucrati sunt aureos I 6o ; secundus octonis plures accepit quam primus; Derum tertii aequat amborum lucrar quaeritur singularum lucrum. I Patet dari summam Iucrorum, nempe I 6 O aureos. dari item numerum 8; quaeri autem singulorum Iucrum e patet autem inuento primi lucro Ceterorum lucra innotescere; nam lucrum secundi tantundem est plus aureis 8, lucrum tertii e lucro utriusque coalescit. Igitur a) sit summa χεο - a, 8 - b, lucrum primi -x, erit iuxta . problematis conditionem lucrum secundi x-- b; lucrum tertii - ax--b. 3 Cuin lucra omnium trium simul essicere debeant 16oam a , collectis omni um luris nascetur haec aequatio x H- x-b -- axe b - a, seu Ax

137쪽

II. Sit propositum sequens problema. Inuenire

tres numeros quorum primus eum secundo Deior 8 . 'eundus eum tertio I 3, tertius cum primo II.

19 Patet hic dari tres numeros 8, 13, et II, ac quaeri tres alios. a) Itaque sit 8 - a, Is xx - e; et quia tres numeri quaesiti a se non pendent ita. Vt unus ex alio innotescat singuli singulis literis designandi sunt e sit ergo primus x , secundus - ν. tertius 3 Ex prima problematis Conditione nascitur, haec aeqatio x v - a; eX secunda haeeν - χ - b; ex tertia haee x - χ - c. III. Sit propositum sequens problema. Inue. nire duos numeros , e quorum primo si ad secum dum transferiatur 1, ambo aequales flant: sin autem e fecundo ad primum transferatur 1, primussat se eundi duplus. I) Perspicuum est quaeri

duos numeros a se independentes. et dari duas earundem relationes, unam scilicet aequalitatis. alteram. Vt sic loquar, duplicitatis. Quare a Prior vocetur x, posterior ν. 3 Iam e prima conditione si ex x ad y accedat x. erit x παν-- I; et ex secunda si ad x ex ν accedat x , erit x I duplum de ν - I ,' Ut ergo hoc illi aequale fiat. debet hoc per a multiplicari. Eritque x - Ι - aν - a. Atquct ita inuenistae sunt duae aequationes e totidem conditionibus

problematis erutae.167. PROBLEMA. Aequationes intermediar, in quas problema resolutum es. reducere ad Oi- eam Iinalem. in qua una tantum contineatur qua titas incognita.

138쪽

ELEMENTARRsotur. Postquam problema in suas aequa. tiones rite resolutum est, hae inter sese ita comis Parandae sunt. ut quantitates incognitae sensim Eliminentur, unica in aequatione finali remanente. Et siquidem problema determinatum fuerit. ea incognitarum eliminatio semper obtineri poterit his modis ri) Substitutione, si nempe valor cuiusdam

incognitae ex Vna aequatione erutus in altera

substituatur. E. gr. sint duae aequationes . in quas problema postremum e superioribus resolu

- a. Quaeratur in posteriore valor incognitas x 165 , reperietur x - - 3; valor hie in priore loco x substituatur , erit aν- 4 - νI. ubi Vnica tantum est iam incognita M. Similiter sint tres aequationes x Durata a, a

3 7 - b, ν - c. Quaeratur x in secunda cit.); reperietur x b -- 3 ς ae ν in tertia, reperietUr ν c - et e valores hi in prima substituantur, et obtinebitur aequatio b - set Dac - ar παιγ, Vbi Unica duntaxat est in. cognita I. α Aequalitate duorum cum vno tertio, Cum 'scilicet e duabus aequationibus totidem valores eiusdem incognitae eliciuntur, ac deinde inter Rcomparantur. Sic in postremo superiors exemplo si tam e prima, quam e secunda aequatione eliciatur valor incognitae x. erit in prima x a - , in seeunda x - b-- 3 et ; hinc a- a pumbis- 3ῖ : eliciatur deinde e noua hae aequa-

139쪽

tione valor incognitae ν , nempe F - -

idemque eliciatur e tertia ex propositis , nimbrum ν - e - χ; erit duos hos Valores conferendo

-c-I, Vbi Unica tantummodo astincognita z. Curandum tamen, ut diuersi eiusdem incognitae valores e diuersis conditionibus eruantur. secus eorum inter se collatio dabit aequationem, Cuius membra adhibita reductione utrinque fient aequalia nihilo, az proinde soluendo problemati inepta. SCHOLION. Quaenam eliminandi ratio in catahus peculiaribus fit adhibenda, usus, et Crebra exercitatio optime docebit. Illud certum, his nothodis posse semper reduci quaestionem ad unicam incognitam, squidem problema. sit determinatum; vel ad paucissimas, si indeterminatumst. I 68. PROBLEMA. Resiluere problemata dete

minata, 1n quIbus unica oecurrit quantitas ineo-gnita.

RESOLUT. I Reducatur problema ad suam. quam continet, aequationem cI 66). a Reducatur eadem aequatio ita, ut incognita in uno membro sola sit 165 . a Inuento valore incognitas fi Problema per numeros solui debeat. suus cuiuistiterae numerus substituatur, quemadmodum EX-isit expressio aequationis. Sin autem problema per lineas sit resoluendum, Construatur iuxta ge metriam figura prout exigit aequatio. Quod si reportus numerus, aut linea conditionibus proble

140쪽

ra 6 ELENENT Amatis satisfaciat, rite facta est resolutio; sin minus erronea est, nisi forte Iroblema ipsum fuerit impossibile.

L Inuenire numerum. cuius pars dimidia. temtia. et quarta simul ipsum numerum vnitale su

perent.

Sit quantitas incognita aer quoniam Unica incognita quaeritur, unica est e problematis conditionibus eruenda aequatio. Cum ergo x ponatur aequalis numero quaesito , erit eius numeri dimidium αα ; pars tertia - ix, Pars quar ta - τxr atqui problematis conditio postulat. ut omnes hae partes numerum x unitate superent, adeoque ipsum unitate auctum eXaequente ergo enascitur aequatio sequens Ix se xx lx, x- I, quae reductis fractionibus abit in hane

Ponendo a 4x fit a6x-24α - 24, id est . ax- a 4r denique omnia per a diuidendo obtinetur x la. Rite solutum esse problema patet: nam numeri Ia pars dimidia, tertia. et quarta simul efficiunt summam Is . quae numerum ipsum Is unitate laparat . uti tu problemate petebatur. En typum calculi r