장음표시 사용
161쪽
eadem vero addita ad xumerum ex eorum multipliacatione productum Deis dimidium, seu 39. Quaeritur numerus drojudorum utriusque classis. Sit summa discipulorum Vtriusque classis in axdisserentia in v. erit numerin maior x- ν, minor - x-ν. Sit 39 - a, erit 78- a' erit praeterea summa quadratorum x-ν φ-- x )- - a xy- ', aqua si tollatur amerit ex prima probismatis Conditione ax- Φ. - ax aa, seu diuidendo per a , x' --ν -x - a. Ex altera vero conditione lx-ν π x seu α - ν' - - ax - a. Addantur iam sibi ambae aequationes. erit a xy-x- aa, et diuidendo per a , x -:x za. Complendo quadratum, seu utrinque addendo ae, erit P -- : x ' του - a -- ρους eXtrahendo utrinque radicem quadratam erit x- - - a - -
162쪽
. III. Quaerenti nuper quotnam finit in regio hoe Collegio auditores phaeficae. quotnam metaphysicae, responi plures esse illos , quam hos ; factum numerii trorumque e ere 16O ; disserentiam quadratorvm 156. Quaeritur numerus auditorum seorsm. Sit χω - a, I 56- ab, summa auditorum in ax, differentia se υ; erit numerus auditorum physicae in x Dy, metaphysicae - π-ν . factum eorundem - xy - ν'. Quare ex prima conditione problematis nascitur hae aequatio κ' - ν' - a , et γ' transponendo. xymaa - ν'. Ex secunda Conditione differentia quadratorum, seu 4 -ab, ac diuidendo per . erit x ---, et eleuando ad quadra-
163쪽
A L G A B R A E. - τας rum S extrahendo radigem quadratam
IU. Inuenire duos numeros erus conssitIonIs, ut
quadratum primi eum eorundem fano ejiciat 55.55 - a, numerus primus ae, se uu-dus - ν, erit ex Condition2 problematis xy-- a. Complendo quadratum xy - - et γ' - a -- ν'; extrahendo radicem qua
164쪽
I Gotrsnsponendo ἰν, x - Q -- - : V. Adparet adeo problema esse indeterminatum; quare pro ν assumi debet numerus ad arbitrium. eiusmodi tamen, cuius quadratum per 4 diuisum cum 55 faciat persectum quadratum. Sit γ - 5.
SCHOLION. Sequentium problematum solutio. nem tironi relinquimus, addentes tantum aequationem , ad quam Unumquodque eorum redu
I) Inuenire numerum x , qui Cum 4a eff-ciat suum quadratum. Aequat. xp - x --42. ρ) Habeo apud me certum forenorum numerum x. a cuiuS quadrati quintuplo .si demas quadruplum ipsius numeri, restabunt storent Ios. Dic numerum storenorum meorum. Aequat. 5xy- 4χ -IO5. 3 Duorum lusorum unus lucratus est aureos 1 o , qui si per numeri in aureorum alterius multipli-
165쪽
tiplicentur , et facto quadrata amborum adiiciamtur. prouenient Ia 4. Quaeritur lucrum secundi x. Aequar. 1 Ox- IOO xy-I 24. 4 Agricolae duo ex agro reuertebantur, aiebatque primus ad alterum: Ego 6 metretis plures seminaui, quam tu: et siquidem singulae metretae tantum procrearent, quantum tu seminasti, inferrem in horreum metretas I 35. Quaeritur numerus metretarum x, quem secundus agricola seminauit. Aequar. 6 x- 135.
166쪽
DE VARIIS QUANTITATUM RELATIONIBUS.
1r6. atio est habitudo quaedam duarum
L eiusdem generis quantitatum ad soinuleem comparatarum. Duobus autem modis possunt quantitates ad Pse comparari; nimirum vel quoad disserentiam, ut innotescat , quantum altera differat ab altera; vel quoad quotitatem, ut innotescat quoties altera Contineatur in altera. Hinc ratio duplex est, et prior quidem vocatur arithmetica, Posterior geometrica. E. g. habitudo . qua numerus a differt a 6. est ratio arith, metica: habitudo autem, qua idem numerus a continetur in 6 est ratio geometrica.277. COROLL. Quare differentia duarum quantitatum , quae obtinetur subtractione, indicat earundem rationem arithmeticam : quotus , qui
167쪽
oritur unius per alteram diuisione, indicat ratio nem geometricam. Sicubi ergo eadem fuerit diseserentia , Uel idem quotus, eadem quoque erit ratio arithmetica , vel geometrica.I78. Quantitas, quae Cum altera comparatur, dicitur antecedens, et priore loco scribitur; quantitas Vero, quacum comparatur, adpellatur consequens, et posteriore t o scribitur interiectis inter utrumque duobus punctis, e. g. ar b, id quod in ratione arithmetica sic enunciatur: a differt ab; in geometrica sice a se habet ad b.
quae repraesentet omnem ratronem arathmetacam.
RESOLUT. Cuiusuis rationis arillimeticae amtecedens potest adpellari a . differentia di iam Consequens Vel erit maior antecedente, Vel minor ; si maior, Constabit ex antecedente addita differentia r ergo erit si minor, mustabit ex antecedenta demta differentia i ergo erit a - d : Ergo Consequens generatim erit. adidrergo quaevis ratio arithmetica bene repraesentatur hae sormula ae a fi d. I 8 o. Exponeeta rationis geometricae est illa quotus , qui indicat quoties antecedens , aut quota eius pars contineatur in Consequente ; seu qui oritur diuisione consequentis per antecedens E. g. 3 : 6 exponens est a ; a t b exponens est ar am exponens est m. I 8 1. GRO . I. Si ergo antecedens maior sit consequente , exponens erit fractio . si minor, erit quantitas integra vel sola, vel cum aliqua fractioue.
168쪽
I 82. COROLL. a. Cum fractio quaevis de. signet quotum e diuisione numeratoris per den minatorem oriundum 65), quaevis fractio denotat exponentem eius rationis, quam habet da nominator ait numeratorem. 183. COROLL. 3. Si duarum rationum exponens idem fuerit, eae rationes aequales erunt iret . Hinc identjtas exponentium est certum indicium aequalitatis rationum. I 84. PROBLEMA. Conservere formulam generalem, quae repraesentet omnem rationem geometricam
REsotui. Cuiusuis rationis geometricae amtecedens potest adpellari a, exponens m, dico consequens fore amr nam diuisor ductus in quoetum producit diuidendum 53 , atqui hic a est
diuisor. m quotus, consequens diuidendus et 8o :ergo consequens est amet ergo quaevis ratio geometrica bene repraesentatur hac Ermula, ae iam. i 85. Si duarum rationum iidem sint exponentes eodem diuisionis genere oriundi, nempe diuisione consequentium per suos antecedentes, termini harum rationum dicentur esse in eadem ratione dirasa , ut sunt a: 4, 3: o, item ae .
186. At si exponentes iidem fuerint quidem, sed alteruter non diuisiona Consequentis per antecedens . sed diuisione antecedentis per Conse. quens oriatur, termini eiuImodi rationum dicen. tur esse in eadem quidem, at reciproca ratione, ut mut ar 4, 6r a, et ar am , bm: b.
169쪽
187. COROLL. I. Rationes reciprocae in directas Convertuntur, si termini alterutrius in.
uertantur, Vt si in exemplis superioribus fiat 4 ia, 6 et 3; item ae am, br bm: erit enim idem
exponens eodem diuisionis genere obtentus. I 88. CORO . a. Potest etiam quaevis ratio reciproca directa reddi . si retento terminorum ordine antecedens, et consequens scribantur pro denominatoribus fractionum, quarum numerator sit 1. E. g. si sint duae rationes a: am. bmr L
poterit secunda reddi directa scribendo A r P;
erit enim utrobique exponens idem m diuisione Consequentis Per antecedens oriundus. 189. Ratio, quam habet factum ex antecedentibus plurium rationum ad factum eX earUudem consequentibus. vocatur ratis composita speciatim vero duplicata dicitur. si duarum; triplicata , si trium etc. aequalium rationum antecedentes, et consequentes multiplicentur. E. Daer bd est ratio composita e rationibus componentibus ae b er d. quae si iesuper inter se aequales sint. ratio illa composita erit simul duplicata respectu rationis ar b, vel e e d. et harum quaeuis respectu duplicatae dicetur subduplicata.
auo. THBOREM A. Si rationis cuiusuis geome-rrieae tam auecedeus , quain consequens per eandem . νel per easdem quantitates mestiplicetur , aut diuidatur . rario non mutatur.
DEMONsTR. Quaevis enim ratio geometrica
repraesentari potest hac formula ar am c 385 ), et quiuis multiplicator, aut diuisor potest vocari
170쪽
rationi ar am, cum in omnibus idem fit exponens in I 83 r ergo ea multiplicatione, aut diuisione ratio non mutatur. I9I. COROLL. Quars aeque multipla, autaeque Ribmultipla duarum quantitatum, eandem inter se habent r tionem , quam simpla Nam aeque multipla oriuntur, si utraque per idem multiplicetur; aeque submultipla, si per idem diuidatur. I9a. THEOREMA. Ratio duplicata, seu edu
bus aequalibus orta aequatur rationi, qtiam habene quadrata terminorum i triaslibet rationis eo Onentis.
DEMONsTR. Quaevis enim duae aequales rationes duplicatam componentes possunt repra sentari his sormulis, ar am, b: bm cI 85); ergo quaevis ratio duplicata exhiberi poterit hac so mula. abr auem'; atqui haec ratio aequatur rati ni quadratorum a r a'm', vel P e Um , Cum utrobique idem sit exponens my 183) r ergo ratio duplicata aequatur rationi, quam habent
quadrata terminorum rationum Componentium.103. COROLL. Eodem modo patet rationem triplicatam aequari rationi, quam habent cubiterminorum rationum Componentium, cum sitabor aberi amaa: αῖ α b3r batha -e3r ea ob eundem ubiqua exponentem m3. Ιmo inductione patet quamuis rationem e pluribus a