장음표시 사용
191쪽
ALGEBRAE. ' 183 E. g. numeri naturaleg I. 2, 3, 4 etc. sunt in progressione arithmetica; at numeri 1, 2. 4, 8, I 6 etc. Progressionem constituunt geometricam.
a 25. PROBLEMA. . Confruere formulam gener Iem , quae repraesentet Omnem progressionem arith
REsoLUT. Cuiusuis progressionis arithmeticas
terminus primus potessi adpellari a , differentia d;
iam secundus vel erit maior praecedente, Vel minor : si maior, Constabit ex praecedente addita differentiae ergo erit a -Dd; si minor, Constahit ex praecedente demta differentia, ergo erita - d: ergo generatim erit ara L Rursus tertius vel erit maior praecedente, vel minor: si maior, constabit ex praecedente addita disse. rentia. ergo erit a -- ad: si minor. constabit ex praecedente demta differentia, ergo erit a ad: ergo generatim erit a ad, et sic deinceps: ergo quaevis progressio arithmetica bene raptae sentatur hae formula a. a H d, amad, a fi
aa 6. COROLL. I. In quavis progressione arithmatica quiuis terminus constat termino primo addita vel demta differentia communi toties sumta, quot sunt termini praecedecies. Patet considera tione formulae generalis, in qua e. g. terminus quintus a II 4is constat termino primo a addita, vel demta differentia communi d quater sumta, quot nempe sunt termini quintum praecedenteS. 227. COROLL. a. Si ergo primus terminussit -u, ultimus - ω, differentia - d, numerus terminorum a . erit numerus terminorum
192쪽
1 2 8 ELAMENTA vltimim praecedentium se n - I r hine in progressione crescente erit cu - a-δε - d;
in decrescctnte eo a - δε--ἀΩ28. THEORΕΜΑ. Amma totius progressionis arithmeticae aequatur semisummae extremorum ductae in numerum terminorum.
DE NONsTR. Quaevis enim progressio arithmetica bene repraesentatur hac sormula, a, a ' d , a I ad . a mad, am Ad etc. ergo si hic demonstrauero summam totius progressioniS aequari semisummae extremorum ductae in numerum terminorum , id erit generatim Verum; hoc autem sic ostendo. Addatur haec progressio in Unam summam, erit summa - 5am sod: iam summa extremorum est - 4d. et binQ
semisumma se haec ducta in numerum
adeoque aequatur summae. Hinc si primus terminus sit - a. vltimus - ω, numerus terminorum n. summa totius Progressionis MeritS- . et hinc a s an in m.
xa 9. PROBLEMA. Cons ere formulas viginti . quarum ope resolui possuit problemata progressionis iarithmeticae. REsoLur. I) Ex supradictis habetur οὐ a - λ-d as 7 r e qua elici poterunt quatuor sequentes formulae totidem Problematum ro- solutionem continentes:
193쪽
α Ex supra dictis habetur a s - an coacaa 8 , e qua rursus elici poterunt quatuor sequentes totidem Problematum rosolutionem cota liueutra r
3 In aequatione superiora loco a substitua
tur valor e prima aequatione erutus , nempe ω - δε-d, erit as se acua - Δ' - - Δ. ct qua elici poterunt quatuor sequentes totidem Problematum resolutionem Continentes:
194쪽
4 In eadem formula loco ω substituatur
valor e prima aequatione supra frutus, nempe a --δὶ - d, erit as- 2 an dic ---δε, equaelici poterunt quatuor sequentes totidem prinblematum resolutionem continentes r
s Denique in eadem formula loco n substi
tuatur valor e prima aequatione erutus, nem- cu, erit a s - α - ω -
195쪽
ad Sc HOLION. Formulas has consuescant adplicare tirones ad problemata particularia. E. g. Dato numero primo I, Vltimo I 5, numero terminorum 8 , sit quaerenda summa totius progressionis , et differentia communis. Erit 8 --IRO in formula quinta s - - - 64; et m
to termino primo I , disserentia communi. 3, et summa progressionis 5 I. sit inueniendus terminus Vltimus , et numerus terminorum. Erit in formula decima octaua ω-. I - 3 - 3o6
et in sormula decima quinta n - U a , α -
- a.., -- : -- - - 6: ergo progressio proposita est 1. 4 , 7 , IO , 13, 16. 23o. PROBLEAE A. Inper datos duos terminos invenire quotuis medias arithmetice proportiona-
R B soluet. Sit primus datorum se a . vlt, mus - ω, numerus mediorum qsiaesitorum m. erit numerus omnium terminorum una Cum datis primo et vltimo - m - a. adeoque idem Vnitate multatus - m-- I: atqui supra fuit
196쪽
m-- 1, erit differentia communis --- ,quae proinde addita. vel demta termino primo a dabit secundum; addita. vel demta seeundo dabit tertium, et sic porro. Hinc quaesitae mediae proportionales
Haec autem series sponte terminabitur, si m innumeris determinetur; nempe series ibi termina-hitur. Vbi m - I aequat Coessicientem numer toris erit enim ille terminus - ω r e g. sit am- 4 ω - I6, m M 3, substituendo numeroS' 4ω - 4 pro literis, erit in serie terminus a -- 4 Az- I 6 - ω. in quo adeo series terminabitur et tres praecedentes termini exhibebunt totidem quaesitos medios Proportionales 7, IO, 13- .a 31. COROLL. Si terminus primus maior litvltimo. permutetur Vltimus Cum primo, ita ut primus fiat ultimus, seu - ω, Vltimus stat primus , seu a , Cetera fiant Vt ante. a 32. ΡROBLEΜΑ. Consi uere formulam generalem repraesutautem quamuis progressionem geo
REsoLuet. Cum Cuiusuis progressionis geometricae terminus primus possit pom a. eXPonens Communis - m, erit secundus
197쪽
ALGABRAE. 193 tertius rimam' etc. I 814 , hino oninem Vniue se progressionem geometricam ropraetentabit haec ' i
a 33.i COROLL. 1. In progressione geometrica quiuis terminus constat termino primo ducto in exponentem eleuatum ad eam potentim, quam indicat numerus terminorum praecedentium . seu numerus omnium terminorum unitate multatus. Patet consideratione sormulae generalis, in quae. g. terminus quintus a constat termino primo a ducto in exponentem m Meuatum ad quartam potentiam . quot nimirum sunt termini quintum praeCedentes. Si ergo terminus primus sit -a.
vltimus - ω, numerusi terminorum Σαn. oponens communis m, erit numerus terminorum ultimum praecedentium αα n - I. et hinc ω
s 34. COROLL. 2. In eadem progressione terminus primus est ad quemlibet. ut primus et secundus eleuati ad eam potentiam, quam designat numerus eum praecedesilium i quOCum
235. PROBLENA. Construere Om formulas soluendis problematis pr8gre sus geometricae I:1Jeruientes. REso tu T. I Sit terminus primus a. vltimus - ω. EXPOMRS communis. -m, nume rus terminorum n , summa totius pr6gresesonis s: Cum Ia progressione qinuta terminus sit antecedens xcepto Ultimo . erit summa omnium adieceJhntium se s - ω; et
Cum quiuis terminus sit consequens excepto primo, erit summa omnium consequentium zm s
198쪽
ELEMENTAa i stabit adeo haec proportis s - ω: s- amar iam caI4 . et hinc fam- ωam sa-a aoa , seu Omnia diuidendo pera, sm - cum mas-a, unde nascuntur quatuor sequentes sormulae totidem problematum resolutionem
α) Quodsi in superiori aequatione loco ae sub
stituatur am a 33 . erit sm - om svnde nascuntur tres sequentes formulae totidem problematum resolutionem exhibentes r
rinque pei , ac radicbm n - I extrahendo trinque Perent. x
199쪽
ALNEBRAE. 295ScHOLION. Consuescant rnrsus tirones formulas has ad 'problemata particularia adplicare. E. g. dato termino primo I . vltimo 243. es exponente 3, inueniri debeat 'umma totius progressionis: erit in sormula tertia s--l--364. Similiter dato termino primo I. Ultimos 43, numero terminorum 6. inueniri debeat exponensi erit in formula oetiua- Ψ- 3
236.PROBLEMA. Inter datos duos terminos ἱnuenire quotuis medias geometrice proportionales. ARBsoLu T. IJ Sit primus datorum ma . Vulimus - ω, numerus quaesitorum m. primus eorundem - x, erit ar ω πα
tertius ad quartum, qui sit - x, erit V ωa':
200쪽
) Iinientis vel tribus mediis proportionali.bus iam adparet lex, iuxta quam ceteri etiam progrediuntur, ac proinde absque Calculo ulteriora inueniuntur: nempe quiuis terminus habet praefixum signum V : quiuis constat potentiis termini ultimi sit ordine se exeipientibus ,-ductis impotentias termini primi a potentia a incipiondo ordine decreshentibus. . En seriem, quam effeυ
s Terminabitur autem sponte haec series. sim in numeris determinetur ; nam ille torminus, in quo habebitur α', erit μω. E. g. Sit m
erit quintus seriei terminus - ω u' - μ ω ,
ααω, qui est terminus datus vltimus, adeoque series in termino quinto desinit, et quatuor praecedentes exhibent totidem quaesitos medios pro. portionales. Tirones exercitationis causia lite .ris a. cu . m numeros substituant.