장음표시 사용
181쪽
sExtus, aut septem datis octauus proportionalis
a 18. Regula diutem utraque directa adpellatur . si terminis ita Collocatis . Ut tertium locum occupet ille . cui quaestio annexa est . primum eiusdem homogeneus, secundum is, cui quaeritur homogeneus . si inquam his hoc ordine is l- Iocatis deprehendatur esse primus ad secundum, ut tertius ad quartum quaesitum. Inuersa contra. vel reciproca dicitur, si tertius deprehendatur esse ad primum, ut secundus ad quartum quaesitum. E. g. 3 Urnae Vini constant 16 nOr. ergo Iavrnae quantit haec regula aurea directa est, quia
Pretia numero uniarum sunt directe proporti rialia , adeoque 3: 16 - Iar x. Contra hae
scio militibus Certa annona sussicit 8 mensibus, Ergo militibus Soo quamdiu 3 haec, inquam. inuersa est, quia quanto plures sunt milites sociquam acio, tanto vicissim plures sunt menses 8. quam ii. intra quos eadem annona lassicit boo militibus, hinc 5OO: a OO -8οῦ x.
lae aureae simplicis ire lae. REsoLUT. Dati tres termini collocentur hac lege, ut ille . qui quaestionem adnexam habet. seu cui respondens quaeritur, tertium IOCum o Cupet; e reliquis ille . qui tertio est homogeneus. . seu qui eiusdem generis rem fgnificat. pri. mo loco sit; medio autem ille, cui homogeneus quaeritur. Facta hae terminorum collocationaducatur secundus in tertium. et factum diuidatur per primum , quotus dabit term tuum quartum
182쪽
I. Inuenire pretium voli vini, cuius vasa 8oeonstant aureis 5 OO. Cum pretia numero Vasorum directe proporti nalia sint. I vas, quod quaestionem adnexam habet, seu cuius pretium quaeritur, ponatur loco tertio; vasa go loco primo; 5oo aurei loco secundo; pretium quaesitum x loco ultimo, stabitque haec proportio; 8o : 5oO- Ir x; undex 6ι aur. II. In equos duos intra diem expenduntur gross 24; inuerit , qvotnam expendendi sint ia
Cum expensae numero equorum directe proportionales sint , ponatur lom tertio numerus equorum Ia , Cui quaestio adnexa est; numerus equorum a primo loco i a 4 grossi secundo; grossi quaesiti x vltimo, stabitque haec proin
144 gross. - 7 stor. 4 gross. ΙΙΙ. Invenire pretium 5 librarum cuiusdam meriseis . evius 6 νnciae consant 3 sor. Quoniam pretia mercibus directe proportio. nalia stini. 5 librae mercis, quibus quaestio adnexa est, ponantur loco tertio; 6 Vnciae primo ; 3 florent secundo; pretium quaesitum xvltimo. Cum vero termini homogenei , seu pondus mercis significantes sint diuersae denomiis nationis, reducautur 5 librae ad uncias, multi.
183쪽
plicando nempe 5 per I 6; tot enim una libra habet uncias: sic ergo stabit proportio, 6 r
IV. Tres lusores composueruntsummam aureorum 45 , et quidem primus contulit aureos Io, secundus I 5, tertius Io; hac summa lucrati sunt aureos 135. Quaerιtur singulorum lucrum. Vocetur tota summa 45 -s, totum lucrum 135 I, collatum primi Io -a, secundi Isin b, tertii a O et lucrum primi x. secvndi μν. tertii r. Euidens est Collatum primi esse ad suum lucrum, ut Collatum secundi ad suum, et ut Collatum tertii ad suum. hinc tres rationes aet x, b :ν, et et aequales sunt; erit ergo summa antecedentium s ad summam Consequentium I, ut quiuis antecedens ad suum Consequentem caI4 , adeoque stabunt hae tres propoditiones et
- Scuot Ios. Postremum exemplum Continet re gulam simplicem Derelairs, quae docet lucrum aut damnum commune diuidere in partes datis numeris proportionales. In huiusmodi quaestionibus datorum numerorum summa primum locum obtinet.
184쪽
numerus distribuendus secundum . singuli d atorum
tertium: deinde regula aurea stinplex toties repetitur , quot sunt numeri dati. Tirones exercere sese potoriant in exemplis sequentibus. I) Tres emere volunt 4ooo urnas Vini, quae venduntur 5oo aureis. Primus desiderat urnas 13oo. secundus I 46o, tertius reliquum; nem-Pe Ia4O. Quantum ergo soluet quilibet a Tres laniones contulerunt ad emendos ho-ues Io ooo sor. et primus quidem dedit 5o oo, secundus acio O. tertius a o Oo; venditis bob lucrati sunt Isocio flor. Quantum cuique debet obuenire ex Iucro Is) Quatuor nobiles simul elocarunt ad censum
annuum florenos 6856ao, ita ut census annuus pro florenis Ioci essent s fior. Primus dedit x8256o flor. secundus a 3704o, tertius Iu O35o, quartuS 14477or periit autem primi anni census excurrens ad flor. 3428 I. Quantum quisque
damni passus est gallo. PROBLEΜΑ. Resoluere problemata regulae aureae Iimplicis inversae. REso tu T. ordinatis terminis, Ut in probi.pram ced. interdum eX natura problematis adparet te minos eo Ordine non esse proportionales, sed terminum tertium esse ad primum, ut est secundus ad quartum quaesitum , id quod argumento est regulam auream esse inuersam caI 8). Quare vitetmini raddantur proportionales, terminus tertius collocetur primo loco, primus secundo. secundus tertio; quo facto problema continebit regulam auream directam, et resoluetur ut supra a I9 . E. g. Designatum opus intra menses 8 absoluunt oΙerarii 1 oor quaeritur quot absoluent in.
185쪽
tra menses I 6. Perspicuum est terminos iuxta praecedens problema ordinatos non esse proportionales . Cum eo pauciores operarii sussiciant absoluendo operi, quo pluribus mensibus durat Idibore Patet autem. quanto plures sunt monses 16 quam 8, tanto vicissim plures requiri operarios Pro mensibus 8, quam pro I 6r quare legitime collocatis terminis siet stabit proportio. 16: 8
I or unde x - 5O.aa I. PROBLEm A. Resoluere problemata regulae faureae iurenae compositae.
REsoLUT. Duplicem admittunt id genus Pro Nemata solutionem. 1) Sit propositum sequens problema. Quatuor equi intra a mEnses consumunt a o Cubulos auenae; quantum ergo consument equi 6 intra menses Iag Adest hic praetor duas rationes , e quorum nempe, et Eubulorum. etiam ratio mensium. Seponatur itaque mensium diuersitas, et quaerantur Cubuli pro equis 6 consumendi intra menses a. stabitque haec prima proportio, 4:2Ο - 6: x; Vnde x; - 3 o. Resumatur meusium diuersitas, et stabit haec proportio altera, 33Ο - Iar x Vnde x; -xao. Sit aliud proeblema Continens septem datos terminos. Scribaea intra diem singuli scribendo 4 solia merentur 8o grossos per dies se ergo scribae 5 intra diem singuli scribendo 6 folia. quantum merentur per dies Iog Problemata huiusmodi resolui possunt in tres proportiones. Et imprimis quidem habendo rationem solius divorsi numeri scribarum, et mercedis stabit haec proportio, 3 : 8O-5 x; Unde x aera I 33- . Assumta deinde diuersi,
186쪽
I 8a ELEMENTA tata numeri soliorum, quae intra diem scribunt, stabit secunda haec proportio, 4: I 33T 'Unde x - acio. Denique assumta diuersitate numeri dierum. intra quos scribunt, stabit haec teristia proportio, se a oo Io: x; Vnde x --Oo gross. quos merentur 5 scribae per dies Io,
scribendo singuli intra diem 6 folia a) Problemata huius generis reduci possimi ad unicam proportionem simplicem, multiplicando
datarum rationum antecedentes inter se. et Con- .sequentes inter se. excepto unico illo termino, cui homogeneus quaeritur; seu . quod eodem redit. multiplicando numeros, qui eX primunt res principales per suos secundarios denotantes earum rerum tempus, laborem, lucrum, damnum etc. tum haec facta ponendo pro termino primo, ac tertio, terminum autem quaesito homogeneum pro secundo. Denotent enim a et b res principa-Ies : e. g. in exemplo superiore scribas; de te, item m et a designent earum Circumstantias , e. in eodem exemplo labores diurnos, et Iaborum tempora; eterminum quaesito homogeneum, e. g. in casu eodem 8o grossos. Stabunt e praecedenti resolutione hae tres proportiones:
187쪽
Est ergo sublata fractione a ' eben; ergoa r ben-er, aO4 . Eodem modo problema primum e superioribus in Unicam hane propor tionem resolui potest: Ia: ao ra: x; Unde
- Ι. Florent Iocio per annos 4 dant censum stor. a oo; ergo florent 35oo quantum dabunt intra G
Μultiplicentur dati storent Io oo per numerum suorum annorum 4 et storent 35oo per 6. stabitques hunc in modum proportior 4o Oo: ao
II. Si vasa singula eoemii vini venderem a M- renis. Iucrarer in v Us Icio forenos 3o,' quantum ergo lucrarer in i His coo vendendo fingesa fora nis a ZΜultiplicentur vasa Ioo per 2 o. et Uasa 6O per a , stabitque haec proportior a o O r 3O . - Ι44OOr x; Vnde x - 2I6. III. Trabs lignea longa pedes 4. lata 3, ab ta a ponderat a o libras: ergo quantum ponde rat trabs alia ex eodem ligno longa pedes IO. lata Φ, alta I 'Ducatur trabis utriusque longitudo in suam latitudinem, et altitudinem, stabitque haec pro-POrtior a r a 4o - 4O : x; Unde x 4 O. SCHOLION. Poterunt tirones eadem haec exempla, quae nos reducendo ad unicam propo tionem soluimus, in plures proportiones resoluere, ut supra docuimus, inuenientque prorsus
188쪽
r 84 ELEMENTA easdem quantitates, quas hic alia methodo erui
a 22. PROBLEMA. Involigare an regula aureaeomposita diresa st . an reciproca. REsOLUT Resoluatur regula aurea composita in proportiones simplices. ac eae singulatim EXaminentur. an directae. an inuersae sint. E. g. sit propositum sequens problema. Μessoresso intra dies p demetunt iugera I 5; ergo mesBres 3o quot diebus demetent iugera 4s ' Fiant duae hae proportiones , 'R ' 9 3ψ patet ter
minos prioris esse reciproce proportionales . Cum 3 o messores minori tempore egeant ad demetenda 15 iugera, quam messores ao; Vnde termini, ut reddantur proportionales. sic erunt collocandi rao: a O ας x aao .sa 3. PROBLEM A. Resoluereproblemata regulae avreae inuersae compsisae. RESOLUT. Resoluatur regula aurea composita
in stiaq proportiones simplices, et dispiciatur. quaenam earum sint inuersae, quaenam directaee deinde terminus principaIis prior ducatur in suos secundarios . qui sunt in proportione directa . et in alterius secundarius, qui sunt in proportione inuersa. Similiter alter primarius ducatur vel in suos . vel in alterius secundarios ; sitque primum factum terminus primus . Reundum factum isit terminus secundus, si termini principales sint in proportione directar si vero sint in reciproca, factum primum secundo loco ponatur, secundum primo; locum autem tertium semper occupet terminus quaesito homogeneus.
189쪽
DEMONsTR. Sint termini principales Aet B, terminus q. laesito homogeneus C. secundarii ad Aspectantes sint d et m. ad B spectantes e et n. Sint iam principales A et B in proportione directa. χ-cundarii d Et e itidem in directa, at m et n in re- Ciproca. Stabunt ergo iuxta hactenus tradita hae tres proportiones:
I. Μlitipus a su iunt librae Grais 3 6 per dies
I a; ergo militibus 9 librae 18o quamdiu fulmient 'Facta resolutione in duas proportiones adparet rationem misitum esse re ip eam rationi dierum. rationem contra librarum eidem esse directam: multiplicando ergo p per 36 . et 3 per I 8o . sic stabit proportio 324 et 54O I ar x; Unde x zm 2 O. II. Aratra 8 proscindunt so iugera intra dies I or ergo I 5 aratra quot diebus proscindent rumgera Iso 'Facta resoIutione in duas proportiones adparet aratra esse in ratione reciproca dierum, iugera Vin
190쪽
ro in ratione directa eorundem: multiplicando igi-rur 16 per So. et 8 per Iso, sic stabit propor
III. Seribae asseribendo intra diem o horis eon. seribunt intra 8 dies libros chartae 36 : ergo seribae xs seribendo intra diem 8 horis quot diebus co seribent Iibros g8-te Numerus scribarum, item numerus horarum diurnarum, quibus scribunt, sunt in ratione reci proca dierum; at numerus librorum, quos conscribunt . est in ratione eorundem directar stabunt ergo hae tres proportiones r
aa 4. D rogressio est series quantitatum continuex proportionalium. Speciatim autem progressio dicitur arithmetiea, si quantitates fuerint eontinue arithmetice proportionales; geome trica, si eaedem fuerint geometrico proportionales.