장음표시 사용
171쪽
ALGEBRAE. I 67 habent termini cuiusuis rationis componentis eleuati ad eam potentiam, quam indicat numerus rationum Componentium.
L portio. Hine si duae rationes aequales fuerint arithmeticae, proportio quoque erit arithmetica ; fi gsometricae, Mometrica. E. g. az 5 - 4: 7 est proportio arithmetica, et sie Enunciatur: a d eri a s sicut 4 a 7; ata: am: br bm est proportio geometrica . et sic enunciatur: a se habet ad am sicut h adbm I95. COROL. L. a. omniS ergo proportio qua tuor habet terminos, duos nimirum antecedentes, et duos Consequenteia I96. COROLL. I. Cum indicium aequalitatis rationum geometricarum sit identitas exponentium 183), proportionis geometricae certum signum est, si utraque ratio eundem habeat e
Ponentem. 197. PROBLEMA, ..ciolavere formulam gene ' ratim. quae r me sentet quamuis proportionem arithmeticam, νeἰ gςometricam. RESOLUT. Quaevis ratio arithmetica una bene repraesentatur hac formula. ar a P d, et altera
huic aequalis hac, be brid Irp), item quaequis ratio geometrica una bene repraesentatur liae
172쪽
formula, ar am, et altera huic aequalis hac. b ibm r 84); atqui duae rationes aequales faciunt proportionem c 194): ergo quaevis proportio
arithmetica bene repraesentatur hac formula. arast d-ba b ' det et quaevis geometrica hac sormula, ae am - br bm. I98. Si primae rationis consequens in secumda fiat antecedens, proportio adpellatur continua, ac terminus ille, qui ita repetitur, 'medius proportionalis. E. g. proportiones Continuae sunta: 5 - 5 : 8, 2: 4 4 et 8. In priore sest medius arithmetice, in posteriore 4 est medius geometrice proportionalis inter a , et 8.199. COROLL. Cum Cuiusuis proportionis continuae terminus primus possit vocari a , disserentia d. aut exponens m. formula generalis proportionis Continuae arithmeticae erit haec aet
tricae hae . ar am: amr iam' I 80 . 2PO. THEOREMA. D quavis proportione arithmetica summa terminorum extremorum aequatur summae mediorum.
DEMONsTR. Quaevis enim proportio arithmetica repraesentatur hae formula uniuersali ar a
hac ar is d - a ' di a 2 ad c I99 , atqui in utraque summae extremorum, et medio rum aequales sunt, nempe in prima a -- b m dem a ' d -- he in secunda a a IT ad sam adi ergo theorema in quavis proportione arithmetica uniuerse obtinet. 2ΟI. PROBLEMA. Datis tribus terminis inuenire quartum; aut datis duobus tertium s ant
173쪽
- A L a B B R AE. I 69 inter duos datos medium crithmetice proportionalem irruenire. REsoLur. 1 Si dentur tres termini a, b, e, et quaeratur quartus x, stabit haec proportio a b - e: x; ergo a -- x- bH- e cazo et hinc
αὶ Si datis duobus a. et , quaeratur tertius x. stabit haeo continua proportio ar b αα b rx ; ergo ari-x - ab scit. ), et hinc x ab - a. 3 Si inter datos a et ii quaeratur medius x, stabit haec proportio continua a: x - ποῦ b b
ergo a -b - ax est. , et hinc -----x. SesoLION. Tirones huiusmodi problemata ad exempla numerica adplicent, quae nos breuitatis studio praetermiturius; sic enim fiet, ut theoremata ipsa in huiusmodi exemplis tanquam in speculis elucentia Clarius perspiciant.
sos. THEO RENA. Ia quavis proportione geo/metrica factum terminorum extremorum aequatur fae7o medicrum.
DEHONsTR. Quaevis enim proportio geome- νtrica continetur hae formulρ uniuersali a r iam brbm 197 , aut, si continua iit. M , ar am- amr ainy I po); atqui in utraque iactum extremorum aequatur facto mediorum, nempe in prima abin amb 46 , in secunda azm ama myr ergo theorema in qua uis proportione
geometrica Vniuerse obtinet. 2O3. ΡROBLEMA. Datis tribur terminis quar, tum ψ aut datis duobus tertiam ς aut inter duosdams medium geometrice proportionalem inuenire.
174쪽
s Si datis duobus a. Et b , quaeratur tertius x, stabit haec proportio ar b - be x;
ergo U cit. et hinc x --.M Si inter datos a, et b quaeratur medius x, stabit haeo proportio a z x- x: b; ergo ab in x cit. . et hine V ab αα x. SCHOLION. In hoc problemais continetur Ce Iebris illa regula trium, propter Vim quoti dianum aurea dicta . praescribens modum datis tribus terminis inueniendi quartum geometri-Ce proportionalem, de qua nos capite sequemti tractabimus.
2Ο4. ΤΗBOR Em A. Si duo quaeuis fana a quesia fuerint, fassiores erant reciproce propor tionales , seu erit fanor primi DAι ad fanorem Deuudi , ut alter fanor secundi ad aIterum primi. DEMONsTR. Quaevis enim duo aequalia ructa repraesentari possunt per ad be; ergo si hic ostendero factores esse reciproce proportionales, seu stare hanc proportionem. ar bratae: d. id erit generatim verum; hoc autem sic ostendo.
175쪽
171 Illa proportio bona est, in qua utrinque idem Est exponens' 183 ; atqui hic utrobique idem est εXPOHens , quod probo; nam hic exponentes
sunt - et-; atqui hi aequales sunt; nam ex
hypothesi ad ma be r ergo utrumque diuidendo Per ac erit-- -, et reducendo stactiones ad
ao5. THEOREMA. Termini quatuor propoditronales multimodis permutari possunt manente semper proportione.
DE NONSTR. Cum enim omnis proportio gemmetrica repraesentetur per hane a et am αα b ebm 197 , patet omnes permutationeS, quae in hac manente proportione fieri possitnt, inquavis alia loeum habere; atqui haec varias admittit terminorum collocationes manente eindem Vtrinque exponente, adeoque manente pro-
Portione x96 , sicuti perspicuum est ex adiecta tabell/.
176쪽
ao 6. ΤΗΕOREMA. Si sint duae proportiones eiusmodi, vi consequentes primae fiant in secunda antecedentes, erunt EX aequo ordinato reliqui termini direse proportionales. DEΜoNsTR. Quaevis enim duae id genus proportiones repraesentari possunt his sormulis
177쪽
ao 7 THEOREMA. Si sinit duae proportiones eiusmodi, Pt primus consequens primae stat in secunda antecedens, et fecundus anteeedens primae re ieia secunda eonsequens, erunt ex aequo Perturbato reliqui termini reeiproce proportionales. DEMONsTR. Quaevis enim duae id genus proportiones repraesentari possunt his sormulis
ao8. COROLL. Si ergo d uarum proportionum vat antecedentes , Vel consequentes aequales fuerint. erunt reliqui termini directe proportio. nales ; nam si in casu primo prima proportio in- uertatur, in secundo secunda, habebitur casus theorematiis n. ao6. Si vero vel extremi, vel modii fuerint aequales. erunt reliqui reciproca proportionales; nam similite tuorum inversione
facta habebitur calus theorematis D. a Or.ao9. THEOREMA. Si proportionιs cuiusuis antecedentes, aut consequentes per easdem quantitates multiplicentur, uel dividantur, per bit eorundem proportis. DEMONsTR. Si enim in formula Universali a ram b: bm antecedentes multiplicentur per αconsequentes per o, erit ua: amo - ba: bmo,
cum idem sit utrobique exponeus - . Si autem
178쪽
374 ELEMENTA Ioco multiplicationis diuisio adhibeatur , eriea iam b Mn
- r - - - , Cum Idem lit utrobique
a Io. COROLL. Cum ratio eadem permaneat, si tam antecedens. quam consequens per eandem quantitatem multiplicetur . vel diuidatur i po), patet non mutari proportionem . si vel alterutrius, vel utriusque rationis termini per idem multipli. centur . aut dividantur. Hinc si simpla prinportionalia fuerint, erunt etiam eorum dupla, tripla cic. Vel subdupla , subtripla elo. proportionalia. a II. THEOREMA. Si duarum, vel plurium proportIonum antecedentes inter se, et consequentes auter se multiplicentur, aut per se dividantur, erunν fac sis, vel quoti proportionales. DEHONsTR. Sint enim formulae generales quassaram et brbmuis proportiones designantes Loren - droe: eo f:fο etc. erit acer acemno αα b r b mno, cum idem sit utrobique exponens mno. Similiter si termini unius per terminos alterius dividantur, erit
2Ia. GROLL. I. Radicum proportionalium quaevis eiusdem gradus potentiae proportionales sunt. Nam quaevis quatuor radices proportis
179쪽
nales hena repraesentantur Per has , a: bet crde ergo si ostendero harum quamis potentias eiusdem gradus esse proportionales, id erit generatim verum ; hoo autem sic ostendo imprimis doquadratis. Scribatur prior proportio bis, erunt facta anta edentium 1actis Consequentium Pro- Portionalia arx , atqui haec facta erunt quadrata οῦ aergo quadrata erunt proportionalia. Similiter ottenditur de cubis, si ea . proportio terscribatur; de quartis potentiis, si quater scribatur Et .
213. COROLL. a. Et vicissim potentiarum PNPortionalium quaevis eiusdem gradus radices ProPortionales sunt. Sit enim χrmula generalis elusenodi potentiarum a r Wα r d . erit
AI 4. THEOREMA. Si fuerint quotcunque ritiones aequales, seu quotcunque termini proportio-- natis . erit summa vel distierentia omnium antee dentium ad summam ueI d erentiam Omntum consequentium, vi otiuis antecedens ad suum com sequentem. DEMONsTR. Plures enim id genus rationes aequales repraesentari possunt his sormulis gene Car amralibus hb r bm est autem in bis summa
omnium antecedentium a -- b -- c ad summamomatum consequeutium am bm em, sicut
180쪽
ar am. Vel b: bm, Velo: em; cum idem ubi, que sit exponens me ergo theorema uniuerse in quotuis rationibus aequalibus oblivet. Eadem est demonstratio pro differentia. a I 5. THEOR Erim Si fuerint termini quotevnque continue proportionales, erit primus eorum ad quemlibet ut primuε et secundus elevati ad eam potentiam, quam designat duorum illorum di antia. DEMONSTR. Nam eiusmodi termini continentur sub his generalibus a, ain, amy, am*, ain' etc.
tinet theorema de quotcunque terminis continua proportionalibus. ax6. COROLL. Si ergo terminus primus vo-aetur a , secundus b, et inter primum, ac alium quemvis intercedant termini continue proportionales numero n. erit distantia primi ab illo n I. et hinc primus erit ad illum ut
a II. D egula aurea, seu methodus inueniendi I . quantitatem incognitam datis proportionalem, alia est j mplex, si nempe datis trihus terminiis quaeratur quartus proportionalis; alia composita, si nimirum aut quinque datis sextus,