장음표시 사용
201쪽
o 37. Qi progressioni arithmeti ae numUrorum o naturalium a o incipienti suescribatur progressio geometrica ab I incipiens, erunt te mini illius terminorum huius Correspondentium Iogarithmi, ut si sint hae duae progressiones: O, 1, a, 3, '4I, a, 4, 8, 16 quiuis terminus superior erit inferioris logarit,
238. COROLL. Quodsi eiusmodi 'progre priones utcunque continuentur. Iogarithmi non habebuntur, nisi eorum numerorum . qui aderunt in serie inferiori; ceterorum autem intermedio rum logarissimi calculo inuestigandi erunt . ut iam dicemus. a 3 p. Cuiusuis progressionis geometricae -- ponens Potest ponim et, et I - a' I I r edigo quaevis Progressio geometrica ab I incipiens repraesentari potest hae sormula a'. a , a a), a etc. si igitur haeo priori subscribatur O, 1, 2, 3. 4, etc., a a . a'. a , a , etc. euidenter adparet seriem logarithmorum prorsus andem esse cum serie exponentium . ac proinde Iogarithmum cuiusuis termini progressionis gemintricae esse eiusdem eXponentem.
202쪽
nentes factorum, babetur exponens facti 48 :
ergo etiam si in unam summam addantur togarithmi factorum , obtinetur togarithinus facti. Vndo patet methodus multiplicationem ope lo-garithmorum sola additione peragendi. 24 I. COROLL. a. Si ab exponente diuiden. di tollatur exponens diuisoris , habetur exponens quoti 57 : ergo etiam si logarithmus db
uisoris subtrabatur a togarithmo diuidendi, o tinetur Iogarithmus quoti. Unde patet methodus diuisionem ope togarithmorum sola subtractione peragendi. 242. COROLL. 3. Si exponens radicis dutae ducatur in exponentem potentiae quaesitae. habetur exponens potentiae 90 : ergo etiam si logarithmus radicis datae ducatur in expone tem potentiae quaesitae, obtinetur togarithmus eiusdem potentiae. Vnde patet modus datum numerum ad quamuis potentiam ope iugarit,
morum evehendi. μ243. COROLL. 4. Si exponem potentiae diuidatur per exponentem radicis datum. habetur exponens radicis quaesitae I 24 r ergo etiam si logarithmus potentiae datae diuidatur per exponentem radicis datum. obtinetur eiusdem radicis Iogarithmus. Vnde patet modus e dato numero radicem quamuis ope togarithmorum extrahendi. SCHOLION. Patet ex his egregia Iogarithmorum utilitas maxime in Calculo magnorum numerorum. Ad manum autem esse debent tabulae
Iogarithmorum passim prostantes, in quarum in ,
203쪽
I99ximis habentur Iogarithmi numerorum naturalium ab I usque ad Ioo ooo. Iuuat autem tironi aperire modum. quo utilissimae id genus tabulae
a 44. PROBLEMA. Construere tabulam, in qua habeantur Agarithmi numerorum naturalium ab Ie. g. Vsque ad IOOOO . - i
REsotu T. I Assumatur progressio geometriaca ab I incipiens. cuius exponens sit Io, nem-PE IO', Io , Io Io et . seu I, Io IOO.IO OO etc. EXPonens cuiusuis termini erit eiusdem Iogarithmus a 39 . nempe unitatis Iogarissimus erit O , numeri Io erit r. numeri Ioo erit aete. At desiderabuntur Inarithmi omnium numerorum inter x, et Io, Io et I OO etc. intermediorum.
a Igitur concipiatur quiuis terminus in Vuaque progressione Constare particulis decemmissio- inefimis. ita ut x contineat id genus particularum decem milliones. a viginti milliones, 3 triginta milliones etc. ut scilicet ad numeros intermedios eo accuratius adproximari possit; abubunt duae illae progressiones, nempe progresso exponentium . seu logarissimorum, et progressio geometrica in has r
204쪽
3 Quaeratur iam logarIthmus cuiusuis numeri intermedii, e. g. 3. Inueniatur inter x et Io,
seu inter Iocio oo oo et Icio Oo oo oo medius
geometrice proportionalis ao 3). eius logarith. mus obtinebitur, si togarithmi numerorum I et Io addantur . et sun a per a diuidatur st 4 o. a 3 2. Rursus inter hunc medium proportiona-ιem , et inter I quaeratur medius, eique respondens Iogarithmus , atque ilia operatio tamdiu
continuetur inter numeros ternario proXime maiores et minores, donec tandem deue uniatur adnumerum 3 ι Oo oo oo o. qui a ternario ne una
quidem particula decem millionesima disteri. cuius proinde togarithmus o. 477 Ia I a Citra errorem pro Iogarithmo numeri a haberi potest.
Quodsi inter numerum nune inuentum, et intera, seu inter I, ocio O oo eodem' modo quaerantur medii proportionales, ae iis re*ondentes Iogarithmi, reperietur etiam numerus I, OO OOΟ,
qui a binario nec unica decemmilitonesima discrepat, cuius proinde Iogarithmus pro togaritia mo numeri a haberi potest, et sic deinceps. 24s. COROLL. Prima Iogarithmi cuiusuis nota a reliquis virgula separatur, et eburaser, Iliea dicitur : indicat enim , quot notis post primam Constet numerus , cuius est Irearithmus. Hine numeri omnes ab I usque ad Io exclusiue habent pro togarithmi sui characteristica o ; a I oad ioci exclusiue I; a Ioo ad Io oo exclusiuea etc. Adeoque characteristica semper unitato minor est, numero notarum omnium eius numinri, eui togarithmus respondet; ut adeo dato nu-
205쪽
mero illico innotescat characteristica togarithmi
eidem respondentis. ScΗoLION. Non est necesse omnium numero. rum intermediorum logarithmos tam operose indagare ἔ Cum enim numeri Compositi plurimi ex aliorum multiplicatione oriantur. inueniuntur eorum Iogarithmi addendo logarithmos factorum a o . Sic inuentis Iogarithmia numerorum 3 et'a, habentur,1 Iogarissimi numerorum in
27. 8 I. 243 etc. item numerorum 4, 8, 16. 3 v, 64 etc. qui sunt potentiae numerorum 3 et 2
a 4a . a Habetur togarithmus numeri 6. qui est factum ex a et a sa4ob, ac Proinde
etiam logarithmi omnium potentiarum eiusdem numeri 6. 3) Habetur locarithmus numeri II, qui est factum ex a et 6; numeri I 8, qui est factum ex a et 6 ; ae praeterea IOgarithmi Pintentiarum utriusque numeri. et sic deinceps. a 46. PROBLEMA. Si detur tigarithmus, qui in tabuhs Iogarithmorum non occurrit , inuenire
REsoLUT. I Λ Iogarithmo dato subtrahatur Iogarithmus proxime minor in tabulis Occurrens, et prima haec differentia notetur. a) Ιdem ille togarissimus minor subtrahatura togarithmo proxime maiore in tabulis, et haec quoque altera disserentia notetur. a) Cum Iogarithmi in tabulis respondeant numeris naturalibus ordine sese exeipientibus. di' serentia numerorum postremis duobus logarithmis contiguis in tabula respondentium est x. Fiat ergo haec proportio: ut differentia duorum lo-garithmorum contiguorum in tabulis se habet ad
206쪽
a . ita differentia Iogarithmi dati a latarithmo
proxime minora in tabulis ad terminum quartum. qui si addatur numero respondenti proxime minori Iogarithmo in tabulis, obtinetur numerus respondens logarithmo dato. - 4) Ut autem quartus ille terminus addendus eo accuratior sit, loco x in proportione ponatur Io, vel Ioo, vel Iocio etc. seu unitas Concipiatur diuisa in partes decimas. vel centesimas. vel millesimas etc. ita enim acquiretur pro termi aeo quarto fractio in partibus decimis, Centesimis, millesimis etc. addenda numero rospondenti IOgarithmo proxime minori.
I. Detur togarithmus in tabulis non occurrens , Σ35 IOO3, et quaeratur eidem respOadens nu
Logarithmus proxime minor in tabulis I, I 8469x 4 a dato subtractus relinquit differentiam 4o8ur idem subtractus a Iogarithmo proxime maiore in tabulis a. I 87sa ori relinquit .disserentiam 28 apa. . Stabit ergo haec proportio: 28293r 1 seu Ioo - 4o 89 r unde x- ω ; si igitur haec stactio addatur numero 35 3 respondenti in tabulis logarithmo proxime minori. obtinebitur numerus a quaestio Una Centesima non dissidens. II. Detur togarithmus in tabulis non occurrensa, 758998s , et quaeratur eidem respondens nuo
207쪽
Logarithmus proxima minor in tabulis a 7589875 a dato subtractus relinquit differentiam xor; idem subtractus a logarithmo proxime maiore in tabulis 3, 759o63a relinquit differeneiam 757. Fiat ergo haec proportio: 757a
haeci fractio addatur numero 574r respondenti Iogarithmo proxime minori in tabulis. obtinebitur numerUS a quaesito Una millesima non discrepans. 247. COROLL. I. Quodsi dati logarithmi characteristica tot unitatibus augeatur , quot notae in fractione adiicienda desiderantur, et quaeratur numerus in tabulis logarithmo sic aucto proxima
respondens, e quo versus deXtram tot notae re. seCQntur. quot unitates ad dati logarithmi chara. Eherillicam erant additae, erunt hae notae fractio cuius denominator praeter I tot habet EerOS. quot sunt notae in numeratore, atque ita habe hitur numerus dato togarithmo proxime respondens. Nam Iogarithmus, cuius characteristimaugetur Vna duabus , tribus et . Vnitatibus.
euadit hoc ipso togarithmus numeri eiusdem, CU- ius antea fuit . ted iam multiplicati per Io.1OO, I OO etc. a 4o : si ergo huius productivator diuidatur per Io, ICO, Io OO etc. hOC est, si resecentur a dextris Una, duae, tres et .
notae 50 ) habebitur numerius quaesitus una Cum
sua fractione. E. g. si quaeratur numerus respondens logarith, mO I. 53 2678, habens adnexas duas notas fractionis. addantur characteristicae unitates duae. ut sit 3. 5342678, Eritque numerus eidem in tabulis proxime refrendens 3 as, e quo
208쪽
ao 4 ELEMENTA si duae postremae notae pro fractione resecentur. obtinebitur numerus 34 - a quaesito ne una
quidem centesima dissidens. Si tres additis Dipsent ad characteristicam unitates . inuentus ruisset merus in tabulis maioribus. qui a quaesitone una quidem millesima differret. et sic porro.
a 48. COROLL. a. Si Iogarithmus datus e cedat omnes eos. qui in tabulis continentur, ab eo subtrahatur Iogarithmus numeri Io, vel Io . vel Iocio et . donec relinquatur Iogarithmus minor, quam sit ultimus in tabulis r quaeratur deinde numerus huic residuo respondens in tabulis. ac multiplicetur per Io. vel Ioo, vel Ioo etc. factum erit numerus quaesitus. Numerus enim huic residuo respondens est numerus quae, im per IO. vel Io o. vel Io oo et . diuisusca r); ergo si diuisio tollatur contraria multiplicatione obtinebitur ipse numerus quaesitus. E. g. Quaeratur numerus respondens logarit, mo 6. 687a68a r nibtrahatur ex eo togarit,
stabit a. 687a68 a. Cui proxime respondet in tabulis numerus 4867. qui ductus in Icoodabit numerum proxime quaesitum 4867o oo.
249. PROBLEMA. Inuenire togaritimum numeri
habentis adnexam franionem decimatim , seu cuius denominator est x eum uno. vel pluribus eteris. RESOLUT. Quaeratur togatissimus conueniens dato numero ita considerato, ae si Cum notis fractionis constitueret unum numerum integrum;
deinde a togarithmi reperti characteristica demam tur tot unitates, quot habet notas si actio nuine.
209쪽
ro adiecta ; obtinebitur togarithmus quaesitus
E. g. Quaeratur togarithmus respondens numero a 3 iva: consideretur Is quasi esset a 342, cuius Iogarithmus est 3, 3695869. e Cuius characteristica si tollantur duae viaitates. restabit numeri dati logarithmus 3, 3695869. 25 O. PROBLEm A. Inuenire togaritimtim numeri maioris , quam Int ii, quorum Iogarithmi habentur in tabulrs. RESOLUT. I Resecentur a dextris numeri dati tot notae, quot unitatibus excedit characteis risti a Iogarithmi dato numero respondentis sa 5)characteristicam malimam in tabulis o et quaeratur togarithmus reliquarum notarum in 'taburis . isque a proxime maiors subducatur'. et notetur prima haEC differentia. 'cui respondet disserentia numerorum logarissimis illis in tabula respondentium
quae erit Io, vel Io O, Vel IO OO et . prout Vna . Vel duae, Vel tres etc. notae a dato numero resectae sunt.. a Fiat deinde haec proportio: ut Io, Volioo . veI IQoo etc. ad differentiam Iogarithmorum supra inuentam, ita notae a numero dato resectae ad differentiam, qua togarithmus quaesitus superat proxime minorem in tabulis: quares haec inuenta addatur Iogarithmo illi minori, et characteristica prior restituatur. habebitur Ioegarithmus quaesitus. Nam disterentiae duorum logarithmorum contiguorum sub quassis Charactein ristica sunt aequales quantum ad praxes ordinarias attinet, licet haec aequalitas reapsa nou habeatur.,
210쪽
Ι. Quaeratur logaritamus numeri 3647o93superantis Omnes eos, quorum ligaritimi habenitir in
Cum characteristica togarithia numero huierespondentis sit 6 a s . et maxima Characteristica in tabulis sit 4. E dato numero resecentur duae dextimae notae pa, erit reliquarum 3647O 'Iogarithmus in tabulis. 4, 56 I9357, et toga rithmus proxime maior 4 56 I9476, ade que differentia togarithmorum αα II9r. Vnde stabit haec proportior ICO: I I9 - 93 : x, eritque x - III; quare si hic valor addatur longarithmo minori 4. 56 I9357 et characteristica 6 restituatur . obtinebitur togarithmus numeri propositi 6. 5639468. II. Quaeratur Iogaritimus numeri 92375, ac si n tabulis minoribus maxima charanerutica 3. Cum propositi numeri characterissim fit a 45 , resecetur e dato numero a dextris una nota, erit reliquarum 9 a 37 Ionarithmus in tabulis 3, 96553ose, qui subductus e proxime maiore 3 965578o relinquit difforentiam 47i, quare haec stabit proportio: Io et 47I - 5 et x, id est a : 47i Ir x aose ), Unde x - 23s: si ergo hic valor addatur togarithmo minori 3. 96553o9, et characteristi a 4 restituatur. obtinebitur Iogarithmus numeri propositi Α,