장음표시 사용
211쪽
asI PROBLΣΜΑ. Invenire logarithmum fra Aionis, cuius numerator minor es denominaisne. RESOLUT. Logarithmus numeratoris subtraha itur a Iogarithmo denominatoris, residuum praefixo signo erit Iogarissimus quaesitus. a Cum enim fractio sit quotus e diuisione numeratoris Per denominatorem oriundus. 65 ), eius logarissimus habetur, fi logarithmus denominatoris sub trahatur a iugarithmo numeratoris a 4 IJ, seu si mutato signo eidem addatur, quo in casu diis, rentia euadit negatiua 37 .
E. I si quaeratur togarithmus. fractionis De Iogarithmo denominatoris. qui est O , 9Ο3o9OO, subtrahendus est,togarithmust numeratoris OώG9897oo, ac residuum- o. a 4 Ia O cura,sgno - erit togarithmus quaesitus.
252. CORO1L. I. Cum ergo logarithmus unitatis meris eteris constet, Omnes fractiones. quarum numerator est I ,et habent pro Iogarithmode minatoris logarithmum, sed cum signo --.253- COROLL. a. Si numerator 'fractionis maior fuErit denominatore , eius logarissimus PO-stiuus erite obtinetur enim, si a togarithmo nu meratoris maiore subtrahatur Iogarithmus minor
s 54. COROLL. 3. Si integro adhaereat fructio, potest totus numerus reduci ad fractionem
propriam et 8 , atque ita eius logarit us
212쪽
inueniri. E. g. numeri 9έ - ου Iogarit,
Q5. GROn n. q. Dato Iogarithmi negativo facile inuenitur fractio respondens, si quaeratur numerus eiusdem logarithmi positivi, et hic tanquam denominator unitati subscribatur asa LE. g. si detur. logarithmus -- I, 8atio.748. fractio fidem respondem erit 3 C i
26 o. COROLL. 5. Idem obtinebitur, si dato loggrithmo negati uoi addatur Iogarithmus vltimus ut tabulis respondens numero IO OOO, aut IO OO OO, an si illo ab hoc subtrahatur, et residuo respon-.dens numerus quaeratur a 46 : erit .enim ille numerus fractionis quaesitae numer REC IO OOO, Vel Iocio Oo denominator. Nam sit illa fractio α f, numerat; - n, denominator d. numerus residuo illi respondens x, cum stactio sit quotus e diuisione numeratoris per denominatorem oriundus 65 . erit unitas ad eam Vt denominaistor ad numeratorem. seu It f d: n 5a , ab qui cum ea Iogarithmorum additione i metio quae- fita multiplicetur per a Cono, Vel per RQ COO cstino , erit Unitas ad eandem fractionem ut Io OO, Vel Io oo oo ad numerum residuo lingarithmo respondentem seu Ir f-Ioo ooz x 47 ): ergo det n- Io ooo : x, quare si d pin
213쪽
a 57. Qeries est ordo quantitatum Certa aliqua, O et constanti lege sese excipientium. E. g. progressiones arithmeticae, et geometricae sunt series; nam termini earum consitanter iuxta eandem differentiam, aut exponentem Progrediuntur. 258. Series salta dicitur, si numerus terminorum siuitus; insatia, si hic infinitus cit. 259. COROLL. I. Si in serie infinita occurrat terminus quispiam infinite magnus, qualis in progressione arithmetica est a se ood, in geometrica am μ' , ceteri termini finitam habentεs magnitudinem cum eo colliati evanescunt, ac Pro. inde nihilo aequales poni possunt. E. g. a
26O. COROLL. a. Similiter ipsi termini infinite magni collati cum infinities infinite magni , se . Li ipsi collati cum infinities infinities infinite magnis . seu generatim omnis magnitudo infinita iu-ferioris ordinis collata cum magnitudine infinita superioris ordinis evanescit. atque adeo nihilo aequalis poni potest. E. g. 3- - . a ' a
214쪽
. 26 I. COROLL. 3. Eodem modo termini in. . sinite parui collati cum finitis evanescunt. E. g. o ria aa; est enim fractio habens nume-
ratorem finitum, denominatorem infinitum infi
262. COROLL. 4. ImO etiam quantitas infinities infinite parua respectu infinite paruae, et . quantitas infinities infinities infinite parua respectu infinities infinite paruae , seu generatim omnis paruitas infinita superioris ordinis evanescit respectu paruitatis infinitae inferioris ordinis. E. g.
a 3 - Π *μ 3 oo ' 3 3 ScΗotioN. Innumerabiles haberi possunt serie. rum species. Nos hic de iis tantum agemus, quarum usus in sequentibus erit necessarius. Quare series numerorum figuratorum, et polygonorum praetermittemus: series Contra Potentiarum pertractabimus. 263. PROBLENA . Inueniresummam franionum infinitarum, quarum numerator consulis est, denominatores autem erescunt in progressone geometrica.REsoLUT. Quivis numerator constans potest adpellari d, et quaevis progressio geometrica crescens bene repraesentatur hac formula. b bm,hm bm , --bm 23a et ergo quaevis eiusmodi fractionum series repraesentarii potest
215쪽
res crescentes exhibeat seriem progressionis geometricae decrescentis cro , si scribaturinuerso
REsoLu T. Quaevis progressio arithmetica crescens rene repraesentatur hac formula. a. a Dd, a D 3d etc. a a s ). et quaevis geometrica crescens hac tamula, a, am. am amin etc. a sa)r ergo quaevis eiusmodi se
ctiouum series repraesentari potest hae larmularo a
216쪽
cuius summa cuius summa cuius summa
217쪽
213 natores autem crescunt in progressione geometrica. Cuius exponens est m: erit ergo huius seriei summa, id est summa omnium termiuorum secundorum, tertiorum, quartorum et . - -
a 63), cui si addatur summa primae seriei,
facta ad eundem denominatorem reductione quod fiot multiplicando posterioris fractionis terminos per m - I summa totius seriei propositae μ
ralia pro qua uis potentia termana νltimr numerorum naturalium seriem finitam consituentium. REsoLυ T. Numeri naturales quotcunaue bene repraesentantur per a. b. c, d, e, qui quinniam unitate inter se differunt, erit e - d-HI;d-e- I; c b D I; b - a I; eleuatis ergo his terminis ad potentias ordine seis exci- Pientes. erit C ea Sin ady adH-I
218쪽
a I 4 , ELEMENTA Quodsi iam In valore potentiarum termini ultimie'. e. . e aequalibus aequalia substituantur, nempe loco primi termini ponatur series sequens eidem aequalis . loco primi sequentis tertia, imco primi tertiae quarta, erit
Hoc est; r) Quadratum termini ultimi constat quadrato termini primi, duplo omnium terminorum Praecedentium, ac numero eorundem. a) Cuisbus termini ultimi constat cubo termini primi. triplo quadratῆ terminorum praecedentium, triplo terminorum praecedentium. 3C numero eorundem. 3 Potentia quarta constat potentia quarta termini primi, quadruplo cubo terminorum praecedentium, sextuplo quadrato eorundem. quadruplo eorundem, ac denique numero eorumdem. Patet haec theoremata ad quasvis potemtias eadem ratione extendi posse. 266. COROLL. Si ergo in serie numerorum naturalium terminus primus sta a, Vltimus ae,
219쪽
ALGEBRAB. 2 I 5 summa seriei s, erit summa terminorum vitimum praecedentium s- ω, numerus emundem ααω- a, summa quadratorum eorundems - ω . summa cuborum s - ωὸς hinc priora
theoremata facta substitutione. et adhibita reductione sequentibus formulis exhibebuntur r
267. PROBLEMA. Duenire summam potentiarum numerorum naturalium seriem inmitam con- tituentium.
REsoLUT. I In formula prima superior quaeratur valor summae s , erit -- ἰa' ωa. Quia vero series infinita est, erit terminus ultimus ω - ω ; hoc ergo valore ni
220쪽
- - . Habemus ergo has sormulas: Generatim μ
Quarct considerata lege, qua hae sormulae progrediuntur , facile eruuntur sequentia theorematae I) Summa numerorum naturalium seriem infinitam constituentium aequatur facto ex termbno ultimo in numerum terminorum diuiso per a.
s Summa quadratorum aequatur facto ex quadrato termini ultimi in numerum terminorum diuiso per 3. s) Summa cuborum aequatur facto ex cubo termini ultimi in numerum terminorum diuiso per A.