장음표시 사용
231쪽
GEOMETRIAE. 227289. COROLL. 2. Si ergo angulus o rectus est, tres etiam reliquos rectos esse oportebit. Sio acutus est, angulum Contiguum m obtusum esse; si o obtusus est , eundem angulum in acutum
esse necesse est a 34 . 29 O. COROLL. 3. Si duo quivis anguli contigui in partes quotcunque dividantur. perspicuum est, omnes illos simul continere 18O semper enim mensurabuntur semiperipheria Circuli. 291. COROLL. 4. OmneS anguli O, m, x, π,
qui circa idem punctum fieri possunt. simul continent 36o', seu aequivalent quatuor rectis; semper enim mensurabuntur integra peripheria CirCuli. 29 a. THEOREMA. Si rena CD alteram AB. secet , angula vertieales o et X. Item m et n a quales erunt. DEMONsTR. Nam o sem - Ι 8 'r et x m- et 8o' ca87 J: ergo etiam O -m - x - m; quare tollendo ab aequalibus idem m, erit o x. Eodem modo ostenditur esse m - n. 293. COROLL. Si ergo e quatuor illis angulis unus quispiam innotescat, ceteri eo ipso innotescunt. E. g. si notus sit angulus o, notus hoc ipso erit eiusdem verticalis x; et si O a x8o' tollatur, innotescet angulus m. et eius verticalis n. . 294. THEOREM A. Si recta AC ira in sat ple s. alteri GF, ut duo eiusdem punsa quarevnque A et C aequaliter distent a duobus alterius punAιs G et
F. erit hoc ipso illa ad hane, Iseu AC ad GF
DEMONSTR. Nam ex hypothesi puncta A et Caequaliter distant a punctis G. et F; sed duo P a
232쪽
puncta determinant situm rectae AC a 75 ; ergo omnia rectae AC puncta indidem aequaliter distant, ac proinde recta AC in neutram partςm magis inclinatur; est adeo perpendicularis sa 84
295. COROLL. I. Quoniam anguli m et nrecti sunt scit. , erunt etiam anguli Det C recti a 87 : ergo etiam pars producta CE erit ad
296. COROLL. a. Et quia anguli m et o, item n et C recti sunt; si recta AE est perpondi. cularis ad GF, erit haec vicissim perpendicitaris ad AE ccit. . a 97. THEOREΜΑ. Si rena AE perpendicularis sit ad GF. et habeat quodcunque pannum Caequaliter distans a duobus alterius punctis B et D. omata eius punsa indidem hoe ipso aequaliter dilabunt. DEtioNsTR. Si enim aliquod eius punctume. g. An aequali r distaret a punctis B, et D,
recta AC in loco A non haberet eandem in lina tionem versus B et D , quam habet in loco C. ac proinde contra hypothesim non esset perpendicularis. 298. THEOR ENA. Si e puncto A ad renam GF dueantur quotcunque lineae AG. AB, AC et e. et AC sit perpendicularIs, erit ea omnium IbIartim breuissima. DE NONsTR. Producatur AC in E . ita vi CE sat se AC. et ducantur rectae EG, EB. Cum
ex hypothesi AE sit perpendicularis ad GF, erit vicissim GF ad AE perpendicularis sa 6 .
habetque ex constr. Punctum C aequaliter distans a punctis A et E; ergo omnia eius puncta, ade
233쪽
est omnium breuissima. 299. COROLL. I. Igitur e dato puncto A ad eandem rectam GF nonnisi unica perpendicularis duci potest . cum repugnet plures esse bre
3O . COROLL. a. Si recta AC suerit breuis-mna omnium rectarum, quae ex puncto A ad eandem rectam GF duci possunt, est hoc ipso perpendicularis r alias duci pollet alia quaepiam perpendicularis e. g. AB. quae etiam esset brωuissima a08 , quod absurdum est. 3 I. COROLL. 3. Cum distantia pu pcti A . a data recta GF debeat esse fixa, et determinata. eam legitime metimur ope perpendicularis AC, quae semper est unica capu), adeoque
soa. COROIL. 4. Si recta EF in Unico puΠ- s i σcto A occurrat circulo, seu si circulum tangatierit radius CA ad eam perpendicularis. Si enim recta EF tangit circulum in unico puncto A, unicum illud punctum habet in peripheria circuli, et cetora omnia eius puncta B, D etc. sunt extra circuli peripheriamr ergo punctum Aest omnium eius punctorum centro C vicini&
234쪽
aao ELENENT Amuna; ergo recta CA est omnium CB. CD etc. ' breuissima, adeoque perpendicularis goo . 3 3. COROLL. 5. Et vicissim . si radius CAad rectam EF perpendicularis sit, tangit EF circulum in A. Nam ex hypothesii CA est perpendicularis r ergo est omnium CB. CD etc. breuissima a 98 , ergo punctum A est omnium B, D etc. Centro C vicinissimum; atqui punctum Aest in peripheria circuli ergo cetera omnia B. D et . sunt extra peripheriam; hInc rectae EFunicum punctum A est in peripheria. cetera sunt extra: ergo circulum in A tangit. 3 4. PROBLEMA. Resam Mitam AB in duas aequalis parreε perpendiculariter secare. REsoLu T. E Punctis extremis A et B tanquam centris describantur arcus C Et D, ae eorum intersectiones iungantur recta CD; haec datam rectam bifariam et perpendiculariter secabit in pum
ctae rectae CB, CA, DB . DA sint radii aequa-hum circulorum: sunt aequales inter se sa8I , adeoque rectae CD duo puncta C et D aequaliter distant a punctis A et B ar est ergo recta CD ad ΑΒ perpendicularis cap 4 . et Omnia' eius puncta 297), adeoque etiam punctum Ι aequaliter distat a punctis A et B, hoc est, AI IB.
I perpendicuIarem erigere. RESOLUT. Capiantur Circino ex puncto Ι χ-gmenta Io. IE aequalia; deinde centris Oetapertura circiui ultra I describantur arcus sesei
235쪽
Puncto C intersecantes. erit recta CI quaesita Perpendicularis. DEMONsTR. Nam eX Constr. punctum I aequaliter distat a punctis o et E; et ob radios OCEt EC aequales . etiam punctum C indidem a
a 6. PROBLEMA. E dato extra renam AD punno C perpendicularem ad eandem demittere. REm Lui. Posito Crure circini in dato puncto C describatur arcus ΟE secans datam rectam in punctis o et Er tum ex iis tanquam centris Circino ultra dimidium rectae OE aperto ducantur arcus sese intersecantes in puncto F, erit recta
CI per puncta C et F ducta quaesita perpendicularis.
DEMONsTR. Patet enim. Vt ante, puncta Cet F aequaliter distare a punctis o et E. SCHOLION. In Campo circini loco adhiberi solet Catena. vel funis Circa clauum fixum mobilis . et altero extremo stylo serreo instructus. qui ad funem tonsum debet esse perpendicularis. Ne vero funis humore imbutus inaequaliter tendatur, funiculi. e quibus Confit, debent contor. queri in gyros Contrarios, funis autem ipse oleo hullienti immergi. et quum exsiccatus fuerit. per liquatam ceram traduci. sor. Rectae AB et CD. quae a se Vbique sit. aequaliter distant. etsiamsi infinite producantur, parallelae vocantur.3o8. COROLL. Quare perpendicula inter duas parallelas intercepta inter se aequalia stulte matiuntur enim earum inter se distantias a Or .
236쪽
aat ELEMENTA 3 9. THEOREMA. Si duas parallelas AB et CD Deet rena quaepiam EF, anguli x internus et o externus ad eandem partem aequales sunt. DEHONsTR. Concipiatur enim primum recta CD rectae AC imposita esse, ita ut anguli x et o congruant: tum ceteris immotis eadem CD st. tu sonstanter parallelo sensim descendere; euidens Est eundem angulum x, qui ante Cum angulo o Congruebat, penos lineam EF descensurum esse. ac proinda angulo o ubique aequalem sore. Nam sicubi angulus x maior . aut minor fieret. ibi necesse esset rectam CD ad AB inclinari, et proinde a situ parallelo deflectere. Eodem modo patet esse n - r, F - s, m - t. 3I . COROLL. I. Si ergo angulus o rectus est rectum etiam esse oportebit angulum xe quare recta Vni parallelarum perpendicularis, est alteri quoque perpendicularis sa 84 . 3II. COROLL. a. Quoniam o et x 3ος Iet idem o ν apa , erit x - v : id est, si
duae parallelae a tertia recta secentur, anguli alterna aequales sunt. Eodem modo patet essa
3Ia. COROLL. 3. Cum sit m --yum I 8o' s 88 , et ν - x a II , erit m --x - Ι 8o': id est anguli interni ad eandem partem simul aequantur duobus rectis. Eadem ratione ostenditur esse ν - -n - Ι 8 '3I3. THEOREMA. Vicissim s duae renae AB et CD a tertia quapiam EF seme Deiant vel
I) angulos icternum X , et externum o aequales,
vel a angulos alternos X et X aequales, vel 3
237쪽
duos internos m et X simul duobus rectis aequales. reetae AB et CD parallelae sunt. . DEMONsTR. Sit enim I) o: ae; si AB non esset parallela rectae CD, posset eidem Per punctum o duci alia quaepiam parallela ab , et tune esset o -- r - x 3op : sed etiam ponituro sex e ergo esset O - r - o, quod absurdum est. Eadem est demonstratio si a b alium quemcunqua situm habsat. Ergo nulla alia praeter AB potest duci per punctum o parallela. ac proinde AB parallela est. . . a) Si ponatur ν - x, Cum etiam sit ν - Ο apa ) sit o αα x , et hine per demonstrata AB est parallela r ctaa CD. 3 Si ponatur m -- x ma I 8o cum sit et. iam m-o- r8o' a 87 erit x s. hine rursus AB et CD. Vt ante, parallelae sunt. 3I4. COROLL. I. Demonstratione praesentisthsorematis id quoque euidenter essicitur, ebdem rectae CD per idem punctum o non posse duci nisi unicam parallelam. 3 5. COROLL. 2. Ex eadem patent diuersi aemodi datae rectaE per datum punctum parallelam ducendi. Nos commodissimum infra prin
3I6. COROLL. 3. Si rectae AB et CD pa- Fig. s. rallelae fuerint eidem tertiae GH, erit o ret x - et ca Op), ac hinc o aer adeoque eaedem rectae etiam inter se parallelae erunt
3is . Aut si rectae ΑΒ et GH fuerint pa.
rallelae mediae cuidam lineae CD. erit o - x, et et ατ x: hinc o I. adeoque eaedem rectae etiam inter se parallelae erunt.
238쪽
De lineis: rectis ad circulum relatis.
a II. UT HE RΗΜΑ. chordae aequa es in eodem x erretiti aequales arcus subtendunt, ora sciliret, ut eum quaevis chorda binos i trinque subtendat arcus. bini minores aequentur inter se,
et bini maiores inter se. DEmoNSTR. CAEItetur tota figura ractilinea ACB manente eodem angulo ACB Circa centrum C conuerti. donee perueniat ad situmaCbrcongruet illic chorda ΑΒ cum sibi aequali ab. et hinc congruent extrema puncta arcuum AB et ab , item arcuum AbaB et a b; quare et arcus ipsi congruent: hinc ergo arcus AB erit ab . item arcus AbaB -' aBAb c aga rchordae ergo aequales arcus aequales subten
3I8. COROLL. 1. Quia perpendicularis CIeadem. ac proinde aequalis est perpendiculariCD, metiturque distantiam chordae a Centro 3o I , patet Chordas aequales in eodem Circulo a centro aeque distare. 3I9. COROLL. s. Chordas ergo inaequales in eodem circulo subtendunt inaequaIes arcus, et inaequaliter distant a centro; nimirum maioribus chordis maior arcus et minor distantia respondet. 3ao. COROLL. 3. Vicissim arcubus aequalibus aequales chordae; maioribus maiores; mi
239쪽
GEOMETRTAE. 235- noribus minores respondent. Et chordae a Centro aeque distantes aequales; magis distantes minores; minus distantes maiores sunt: adeoque diameter Chordarum omnium maxima est. 32 I. COROLL. 4. Quoniam duo Circuli aequales sibi impositi congruunt, et instar Vnius 'i . haberi possunt, praesens theorema cum suis Cois rollariis etiam ad Circulos aequales pertinet. 32 a. THEOREMA. Si per chordam AB dia- Fig. o. metro minorem ducatur recta GD. et adsint duo
quaevis ex hisce quinque, I quod rem GD per centrum transeat, a J quod ad eloriam perpem dicularis fit. 3) quod eandem in E bifariam δε-cet . 4 quod arcum ADB in D, aut s) aet-etiliam ACB bifariam seret, semper aderunt re
DEMONSTR. I Transeat recta GD per Centrum, et sit ad chordam perpendicularis . hahat hoc ipso unum punctum C a punctis A et B aequaliter distans sa8o : ergo etiam Puncta E et D indidem aequaliter distant ca07 ); bine AE - FB, et chorda AD - DB, adeoque arcus AD απ DB 3I7 , et arguIus m n
a) Sit GD ad chordam perpendicularis, eam que in E bifariam secet, erit ut ante arcus AD DE. angulus m - nr et quia etiam AG- GB. cum aequales angulos. nempe angulΟ-rum m et n Contiguos mensurant a 8a , erit DAM AG - DB- BGr quare GD diameterest, et consequenter per Centrum transit.
s) Transeat recta GD per centrum, et bifariam secet chordam, vel arcum, vel angulum
240쪽
C. habebit in quovis casu duo puncta aequaliter
distantia ab AEt B. unda Cetera omnia sponte Consequuntur. Eodem modo patent cetera , si recta GD chordam, et arcum, vel angulum bifariam secet. Fig. I 3. 333. PROBLEMA. Ducere eir lum per data tria puncta A. B. D non in directum Ilia. RESOLUT. Iungantur data puncta rectis ΑΗ et BD, quae bifariam secentur per rectas EF et GH perpendiculares sol), earum Communis intersectio C erit centrum circuli per data tria puncta transeuntis. DEmONSTR. Cum enim rectae AB et BD
snt chordae quaesiti circuli a 70 . perpendiculares EF et GH ambas per eius Centrum transeunt saa ; atqui solum punctum C est, per quod ambae transeunt a 76 br ergo punctum C est centrum. 324. COROLL. I. Eodem res redit. si datus arcus ABD continuandus , vel dati circuli Centrum inueniendum. vel dato triangulo Ci Culus circumscribendus sit. 325. COROLL. a. Centrum C in infinitum ro. cedet, nee Usquam iam erit, si data tria puncta in directum iaceant: hinc recta, quae Puncta illa iungit, quodammodo aequivalebit arcui circuli infinita magni. 326. COROLL. 3. Quoniam datis tribus punctis nonnisi unicum inuenitur centrum circuli per ea transeuntis, si duorum circulorum tria peripheriae puncta congruant . Congruent reli qua omnia. Hinc duo circuli nequeunt sibi iatribus punctis Occurrere.