장음표시 사용
241쪽
sar. PROBLEMA. Datum arcum AB in duas me. 14. partes aequales diuidere. RRsoLUT. Ducatur chorda AB, et haec per
rectam ED secetur bifariam so r diuidet ea
arcum in duas aequales partes 3sa . 328. COROLL. Si angulus C bifariam se. candus sit, ducatur ex eius vertice tanquam centro inter duo latera arcus AB, fiatque Centris A et B intersectio duorum arcuum in D, recta Per Verticem C et punctum D ducta di uidet arcum AB, adeoque etiam angulum C in duas partes r erit enim recta CD ad chordam
329. THEOR ENA. Si ex eodem punAo A ex- Fig. IS. tra circula centrum asumto ducantur quotcunque renae AB, AD, AE ad partem periphemae concauam, omnIum maxima erit ΑΒ, quae per centrum C transt; ceterae eo minores , quo magis recesserinta resa per eentrum transeunte.
33O. COROLL. I. Quoniam inter eiusmodi rectas tangens AT maxime recedit ab AB , erit ea omnium minima.
242쪽
etiam Or - - rA . seu OA NA. Si vero punctum A sit extra circulum, erit AK -- ΚC AC. et ablatis utrinque aequalibus KC, et SC, erit AK AG. Similiter ΑΟ -- OC AK -- KC r ergo etiam ablatis aequalibus OC. et KC, erit Ao AK.
336. COROLL. I. Eodem , quo supra ustfuimus, ratiocinandi genere ex hoc theoremate concludere licebit sequentia. I TangentemAT omnium huiusmodi rectarum maximam esse. α) Si recta AG sit omnium minima. eam Prinductam Per centrum transire. a) Quae earum maiores sunt. magis ab AG recedere. 4 Quae
aequaliter recedunt. aequales esse . et Contra.
s) Non posse ex eodem puncto A, quod non sit Centrum. tres rectas aequales duci ad circuli peripheriam. 337. COROLL. a. Si ergo duo Circuli se Fie. x exterius, vel interius tangant in puncto B, recta AB ex Centro unius A ad punctum Contactus B ducta transibit per centrum alterius C. Cum enim circuli se tangant in unico puncto B, recta AB est minima omnium, quae excentro A ad alterius circuli peripheriam duci possunt: quare transibit per eius centrum C
338. COROLL.. 3. Itaque centra duorum circulorum se contingentium, et punctum contactus iacent in eadem recta. 339. COROLL. 4. Hinc punctum Contactus B facile determinatur, si centra circulorum Aet C per rectam AC productam, si necesse suo.
243쪽
34 . THEOREMA. Angulas ATB, qui sit id peripheria circuli a tangente AT. et chorda TB, habet pro mensura dimidium arcus TDB ab eademehorda subtens. DEMONsTIt. Ductis enim diametris D d. et Ee, quarum prior fit chordae ΤΒ perpendicularis, posterior parallela , ac ducto radio CT, erit angulus o-x - po' 3oa et a 'Φ' ν
que tollendo x et V aequales 3II erit o n; atqui n. habet pro mensura arcum TD a 8a), qui est pars dimidia arcus TDB saa ; ergo
etiam O, seu angulus ATB eandem mensuram habet. 34 I. COROLL. Quoniam mensura angulorum
ATBH-BTu est semiperipheria DTd sa87 , et per demonstri anguli ATB mensura est arcus TD, erit anguli BTa mensura arcus TD, hoc est, dimidium arcus TdB a chorda TB ex ea parte subtensi 3sa .
pheria circuli duae chordae TB et TD comprehendunt, habet pro isensura dimidium arcus BD, cur eiusdem crura insistunt. DEMONsTR. Si enim concipiatur ducta tam gens Aa, anguli O-- x--- n habent pro mensura semiperipheriam circuli apo , seu arcus STB- - BD ,-- : DT; atqui o habet pro sua mensura TB, et n habet DT 34oλ: ergo Pro x manet BD. 343. COROLL. I. Angulus ad centrum C duplus est anguli x ad Peripheriam eidem arcui
244쪽
eui BD insistentis. Nam anguli C mensura est totus arcus BD ca 8a J; anguli x est : BD 34s .
344. COROLL. a. Si anguli quotcunques ad peripheriam siti eidem arcui ipsistant, omnes inter se aequales sunt: quemlibet enim mensurat dimidium eiusdem arcus 34 a ).345. COROLL. 3. Si angulus ad peripheriam verticem habeat in semicir ulo , cruribus insistit alteri semicirculo, adeoque pro mensura habet dimidiam semiperipheriam , Consequenter rectus est. Si verticem habeat in segmento mutori, cruribus insistit segmento minori; et si ver- , ticem habeat in segmento minori, cruribus insistit segmento maiori, quam sit semieirculus: unde in Primo casu pro mensura habet minus . in secundo plus quam dimidiam semiperipheriama ergo tu Primo acutus , in secundo obtusus est a 84 .i 346. COROLL. 4. In quavis figura quadri- Iaiora circulo inscripta TBFD anguli oppositi T et F, item B et D simul habent 18O'. Nam ambo simul insistunt toti peripheriae, adeoque pro mensufi habent semiperipheriam 34a .
347. COROLL. 5. Chordae parallelae AB et Fig. I s. CD aequales arcus intercipiunt in eodem circulo. Ducta enim rscta BC anguli o et x ae- , quales erunt ca II : ergo etiam eorum mensui rae, seu dimidii arcus AC et BD 34 a ). adeoque et integri inter se aequales erunt. Vicissim si arcus hi aequales sunt, aequantur etiam eorum dimidia, ac proinde et anguli o et quos ea mensurant ; et hinc chordae parallelae sunt
245쪽
348. COROLL. 6. Chorda CD, et tangens EF inter se parallelae aequales arcus interci- piunt. Ducta enim recta DG anguli x et ν aequabuntur ut ante; adeoque etiam dimidii arcus
CG, DG eosdem mensurantes 3 o, 34a Qipsi quoque integri aequales erunt. V icissim si
arcus hi aequales sint , chordam , et tangentem sors inter se parallelas demonstratur. Vt ante. Fig. a.. 349. PROBLEMA. Datae rectae ΑΒ per ditum, vel assumtum punctum G parallelam durere. Rasotu T. Infixo crure circini in dato puncto G describatur ad libitum arcus indefinitus CF. ac centro F eodem radio' FG arcus GE; interuallo GE ex arcu CF resecetur segmentum FD, recta per puncta G et D ducta erit parallela pos tita. Nam arcus GΕ. et DF aequales habent ex Constr. chordas , ac proinde et ipsi aequales sunt 3 a I): quare angulus o - x a 8a , adeoque rectas AB et GD parallelae sunt cara .
Fit a1 35 O. PROBLEAE A. D datae rasae ΑΒ extremo puncto B perpentevlarem erigere. REsoLux. Assumto supra datam rectam ubicunque centro C. radio CB describarer circulus occurrens rectae datae, et si necesse sit productae in Ar deinde ex A per centruin C ducatur diameter me et puncta B et D connectantur linea DB, erit ea perpendicularis petita. Erit enim
Fig. aa. 351. PROBLEMA. Ad datum in peripheria cise euli pannum B tangentem ducere . . REsoLυ T. Ducatur ad datum punctum radius CB, ac in eius extremo B erigatur peret
246쪽
35 a. PROBLEMA. E dato panno A tangem tem ad circulum ducere. REsoLUT. Connectatur datum punctum cum
centro C per rectam AC. supra quam tanquam diametrum descriptus semicirculus occurret dato circulo alicubi in Br Connectantur ergo puncta A et B per rectam AB, erit ea tangens petita. Nam ducto radio CB angulus ABC rectus erit
353. THEOREMA. Anguius ATB, qui inperi FIt. as. pheriast a ehorda TB, et alia recta AT, quae producta seeat eirculum , habet pro mensura sem, summam arcuum a latere TB . et AT producto sub-
354. THAOREMA. Angulus X, cuius vertex Fie. a. .s intra ei uti per heriam extra centrum , habet pro mensura semisummam arcuum DB et CE a Imraribus productis interceptorum.
CEr ergo Et angulus x. 1355. COROLL. Eodem modo patet angulum DAC habere pro mensura arcum i DC - - : BE; nam anguli A et x simul habent pro mensura arin
247쪽
atqui x sibi vendicat arcum ἰ DB --: CE as rFIe as. ergo Pro angulo DAC remanet et DC -- BE., 356. THEOREMA. Angulas DAB. euius veris rex es extra circuli peripheriam, habet pro mensura semidisserentiam arcuum DB et CE a lateribus inter
qualia diuidendo per a ,)DF - : DB - et
357. COROLL. Si Iatus AB circa punctum A moueatur. donec veniat adsitum Ab, et euadat tangens, arcus CE abibit in CN, arcus DB in DΝ , punctis E et B in N coeuntibus r quare angulus bAD habebit pro mensura semidisserentiam arcuum DN et CN. Si etiam latus alimrum Ad euadat tangens, arcus CN abibit in ΜCN. et arcus DN in ΜDΝ: igitur angulus bAd habebit pro mensura semidisserentiam arcuum MDN et ΜCN. SCHOL ON. Ex his adparet angulum ubi demum cunques situm innotescere, si producta eiusdem crura peripheriae Circuli in datis punctis
occurraui. Adparet item angulum. Cuius menis iura est dimidium arcus a lateribus intercepti. habere verticem in peripheria eius circuli, ad quem arcus ille pertinete Verti com anguli, cuius mensura maior est, intra peripheriam esse extra Centrum: anguli denique, Culus mensura minor est, verticem extra Seripheriam Consistere.
248쪽
De lineis rectis quatenus spatium
a58. notione lineae rectae facile intelligitur
ad spatium aliquod claudendum tribus minimum rectis opus esse. Spatiim lineis clausum Igura, vel polygonum adpellatur . Cuius la fera sunt ipsae illae lineae. Speciatim autem trigonum , shu triangulum dicitur spatium, quod tribus; tetragonum, seu quadrilaterum , quod quatuor rpentagonum, quod quinque; hexagonum, quod sex et . Ieteribus, ac angulis terminatur. Porro hae figurae regulares sunt, si omnia latera ἐ et augulos aequales habeant: secus irregulares diis
s 59. Triangulum dieitur aequilaterum, si Omnia tria latera habeat inter se aequalia : isoseeles.seu aeqvr crurum, si duo; scalentim vero . si omnia tria latera sint inaequalia. Item res angulum triangulum est. quod habet Vnum angulum rectum, cui oppositum latus hypotentio; latera autem angulum ipsum rectum effetentia eatheti nuncu- Pantur. Denique triangula adpellantur similia. n singuli anguli unius aequentur singulis alterius; Iatera vero eorum angulis aequalibus opposita homologa audiunt.
249쪽
s6O. THEOREMA. In quovis triangulo tres ametili simul continent I 8O', seu aequivaIent duobus renis. DEMONsTR. Potest enim per cuiusuis trianguli vertices duci . seu circumscribi circulus 324). et tunc tres angulos A. B. C mensbrais hunt djmidia trium arcuum BC, CA, AB 34 a),
adeoque semiperipheria. seu Igo'. 36 I. COROLL. I. Nequit ergo in triangulo esse angulus rectus . aut obtusus njs unicus, et tunc reliqui duo hoc ipso acuti sunt. secus tres anguli simul baberent plus quam I 8O'. 363. COROLL. s. In quovis triangulo rectangulo duo anguli acuti simuI semper habent po': hinc si unus habeat 4s'; totidem habebit alter. 363. COROLL. 3. Data summa duorum an gulorum innotescit tertius, si nempe data summa subtrahatur a I 8o': et dato uno angulo innote
scit summa dy0r reliquorum, si datus a 18o'
364. COROLL. 4. Si duo anguli cuiusdam trianguli aut singuli, aut simul sumti aequentur duobus alterius aut singulis, aut smul sumtis. etiam tertius aequabitur tertita 365. COROLL. s. Si ex angulo quopiam Ademittatur in latus oppositum BC perpendicularis. ea cadot intra triangulum, si anguli Bet C eidem Iateri adhaerentes acuti suerint. Sit enim, si fieri possit. perpendicularis AD extra trianguium , erit in triangulo ADC angulus D rectus, angulus DCA obtusus, cum eius Contiguus supponatur acutus ca87 atqui hoc absurdum est
250쪽
c 3 6i ): ergo nequit perpendicularis cadere extra
triangulum. 366. CoRoti. Si vero alteruter eorum an FIe. ag. gulorum . e. g. C, obtusus fuerit, perpendi- Culariq eXtra triangulum cadet. Si enim intra Caderet e. g. in AD, in triangulo ADC angulus D ractus foret, C obtusus, quod absurdum est
367. THEORRHA. Si in triangulo quovis ABC FIe. r6. ratus unum BC producatur, angulas externus ACD aequabitur duobus internιs oppositis A et B simul sumtis. DEMONsTR.Nam Cir umscripto circulo a a 4 angulorum Α-B mensura erit arcus A BCAC a a ); quae eadem est etiam mensura an
368. THEOREMA. In quovis triangulo angati maiori maius, minori minus latus opponitur, et
DEHONsTR. Circumscripto enim circulo
360. COROLL. I. Si ergo in triangulo quopiam duo anguli aequales sint, etiam latera iiDdem oppsita aequalia sunt, et contra. Nam circumscripto circulo sit B in C, erit arcus AC - - AB 34ab, et hinc AC - AB, adeoque etiam latus AC - AB 3ao i et contra.