장음표시 사용
261쪽
atqui hoc est quarta pars polygoni: igitur et illud. Quare palygonum datum in 4 aequales partea ABCΗ, ΑΗΚ . ANDR, ARE diuisum est.
395. THEOREMA. In quovis pcinouo summa omnium angulorum A B C-D - Ε - quatur bis tot resis, quot saut luter a. demtis
DEMONsTR. Nam si .e puncto quovis P intra polygonum assumto ducantur rectae ad singulos angulos, patet polygonum resClui in tot triangula, quot sunt latera: qu4re cum quod uis triangu- Ium contineat duos rectos 36o , omnia simul γcontinebunt his tot rectos. quot sunt latera. Uerum anguli triangulorum circa punctum Ρ, qui eia
ficiunt simul 4 rectos cap 1 , ad polygoni angulos non pertinent: his ergo ablatis remauentanguli polygoni aequales bis, tot rectis, quot sunt latera demtis quatuor. Fig. 41. 396. THBOREM A. Cuiuis po*gono regulari 'ABCDEF potes circumscribi eirculus transiens per
DBNOXsTR. Si enim anguli proximi A et Bhisecentur; rectae hisecantes AG, BG Concurrent alicubi in G. et Constituent triangulum is sceles AGB, in quo ob angulos ad A, et B aeri quales, est GA: GB 369). Ducatur ex Gad sequentem angulum rhcta GC, erit ob A BC, BG-BG, et ob angulos ad B per construct . Vtrinque aequales , triangulum AGB - BGO 374 , et Unc GB a , et angulus Osex; atqui o est dimidium totius A per construct. seu totius C: ergo etiam x est dimidium eiusdem C, et hinc x V. Ducatur porro recta GD
262쪽
ad sequentem angulum: erit ob BC - CD CG-CG, α - ν, triangulum BCG - CGD Rit. , et hine GB - GD. Habemus ergo GA - GB GC GDe ac eodem modo demonstrantur his esse aequales GE. et GFr datur itaque intra polygonum punctum quoddam G. ex quo tanquam centro si radio GA describatur circulus, is transeat per omnia puncta A, B, C etc. 397. COROLL. I. Ex Praesentis theorematis demonstratione perspicuum est, per rectas e Centro circuli circumscripti ductas diuidi bifariam angu-Ios polygoni regularis: illudques resolui in tot triangula aequalia, Et isoscelia , quot sunt Polygoni latera. 398. COROLL. a. Unumquodque latus p lygoni regularis circulo inscripti subtendit arcum tot gradus continentem , quot indicat quotu qui prodit, si a6o' per numerum laterum diui- clantur 318 . 399. COROLL. a. Latus hexagoni regularia aequatur radio circuli circumscripti. Nam si
AB sit latus hexagoni, in triangulo AGB anguis Ius G est 6o' 398 r ergo anguli Α-- B aerarao' c 363 . et quia hi anguli inter so aequantur 397), quilibet est 6o': quare AB AG
4oo. PROBLRαA. Dato Sol ovo regulari ABCDEF eis tum circumscribere. REsoLuT. Bisezentur anguli proximi Aet B
per rectas AG et BG 328 ; erit in a centrum circuli radio GA circumscribendi a 96 .
4OI. PROBLEMA. Dato circulo polygonum re, gulare inscribere.
263쪽
Κ sotu T. Dividantur 36o' per numerum laterum polygoni inscribendi, tum capiantur in po-ripheria circuli tot gradus, quot indicat quotus arit chorda eosdem subtendens latus po sonica 98J. quod proinde transferendum est ope circini in Peripheriam , quoties fieri potest. ScΗotioN. Circuli peripheria geometrice, seu ope solius circini et regulae, diuidi puteit in partes aequales per duas diametros sibi perpendiculares; tum in partes 6 per radium in paripheria circumlatum capy , adeoque etiam in partes a. alterna scilicet diuisionum puncta omittendo: denique in partes 5 ope eorum . quae capite sequenti dicemus; et hinc etiam in partosas ; si enim e duabus quintis tollas tertiam perbPheriae Partem, restabit ντ : nain f - r6α --. Possunt praeterea continua hi- sectione hae diuisiones in infinitum Continuarie ivnde iam intelligitur . quaenam polygoua regu laria possint geometrice inscribi circulo. 4O2. THEOR Bria. Curias po*gono regulari potest inferii circulus, qui omnia eius latera ia
DEm sPR. Cum enim latera polygoni regu laris sint totidem chordae aequales in circulo Cirin cumscripto, aequaliter distant a centro G 318 rergo si e centro G demittantur in eas perpendicula Gi. erunt ea inter χ aequalia caci I . Consequenter circulus quouis perpendiculo Gi de- Rriptus transibit per Omnia puncta r. quae erunt
in mediis Iateribus c 3aa , et tanget in iisdem
264쪽
s 4o3. PROBLEMA. Dato polygono regulari eiretilum inscribere. REsoLuae. Ex inuento centro G o ob de. mittatur ad latus quodcuaque AB perpendicu- Iaris Gl, erit illa radius cireuli inlcribendi
4o4. PROBLEMA. Dato ei Eo polygonum regulare circumscribere.
REsoLUT. Dividantur 36o' per numerum laterum polygoni circumscribendi, capiaturque arcus ab tot graduum . . quot indicat quotus, et bisecetur in puncto a. per quod ducatur tangens utrinque occurrens radiis Ga. Et Gb productis in A et B asi ); erit AB latus polygoni circumscribendi o a). Denique Centro
G radio GA describatur Circulus , ac in eo Ope circini latus AB adplicetur. quotios potest. Se ΗοLION. Rursus adparet Circulo geometrice circumscribi non posse, nisi triangulum aequilaterum, quadratum, pentagonum. Pentadecagonum. et in quibus numeruβ horum late. rum crescit Continenter in duplum.
4os. 'HEOREN a. Si intra triangulum ABC pie. 43x euiuis lateri BC ducatur parallela DE, serabit hare reliqua trianguli latera proportionaister Ita ut it AB r AD AC r AE.
265쪽
DEM NsTR. Ductis enim rectis DC et EB
aequabuntur triangula DBE, DEC apo ; quare addendo utrique triangulum ADE . aequalia' erunt triangula AEB , ADC. ac proinde ambo eandem habebunt rationem ad triangulum ADE rest vero triangulum AEB ad triangulum AED, sicut AB: AD; et triangulum ADC ad idem
- AC: AE. 4o6. COROLL. I. Erit ergo subtrahendo BD AD - CE i AE aos x Et generatim quot Un-que paralleIae ducantur lateri BC. erunt semen. ta unius lateris segmentis alterius proportionalia: eorum enim ratio semper erit eadem, quae laterum ΑΒ et Ata4O7. COROLL. a. Uicissim si sit AB, AD MAC: AE, erit DE parallela lateri BC : uenim non esset, posset eidem per punctum D duci alia parallela, quae in alio puncto seca rei latus ACr esset ergo Vtrumqua segmentum ad AC in eadem ratione . qua AD ad AB, ae proindo cum AC sit ααΑC. bina illa segmenta. quorum unum seret pars alterius, essent inter se aequalia, quod absurdum est. 4o8. COROLr. 3. -Si duo triangula fuerint similia, siue aequiangula . latera homologa, seu aequalibus angulis opposita erunt proportionalia. Nam si minus maiori debite imponatur, latus tertium tertio parallelum erit 381). ac proinde habebitur casus praesentis theorematis
266쪽
si angulum a lateribus aequalibus comprehensum, ves angulum ad basim unum Vni aequalem habuerint ; sunt enim hoc ipso in casu utroque ae
41 o. COROLL. 5. Si singula Vnim triangu' Ffe Ii latera fuerint singulis alterius parallela. erunt ea etiam inter se proportionalia. Si enim unius duo latera ea et ob producantur, Occuirent lateri alterius non parallelo AB producto: erunt ergo anguli A et a ambo aequales angulo x 3 op).se anguli B et b ambo aequales angulo νὶ Cit.): ergo erit A a. B b. adeoque C e 364), ac proinde latera homologa proportionalia sunt 4o8). ' ο xx. COROLL. 6. Si in triangulo quovis Fig. s. ABC angulus A per rectam AD bifariam secetur, erit BD: DC-BAr AC. Nam producto latere in dum fiat AE - AB, ductaque recta ER, erit angulus BAC: χ H y 367), seu ob x απαν 369) BAC- ai. et hinc SBACατο - x, adeoque rectae EB et AD pa
4I 2. COROLL. 7. Si duae rectae AB et CD Fig. 46. occurrant quibusvis parallelis ΜΝ, OP, QR etc. secabuntur ab his proportionaliter. Si enim ducatur eg parallela ad AB, erit est fg HI: IK 4o6 , atqui es EF, etsi FG 383 . ergo EF FG-ΗΙ: IK.
413. PROBLEMA. Datis tribus lineis renis invenire quartam proportionalι m. REsoLυ T. Iungautur duao rectae indefinitae Fle. 43. sub quouis angulo A, et in alterutra sumantur
267쪽
M , AD aequales datis duabus primis rectis. tertiae vero datae fiat aequalis AC; tum iungantur puncta B et C recta BC, at huic per punctum D ducatur parallela DE 34ς). erit recta AE quarta proportionalia quaesita. Nam
424. COROLL. I. Si ad datas duas tertia proportionalis petatur, secunda linea data. et in rectam AB translata, transferatur etiam Ioeco tertiae in AC, cetera fiant ut ante. 4I5. COROLL. a. Si recta AC in partes quotcunque aequales, aut tu data quac quctratione diuido a sit. sumatur recta AB la eadem rat ne iam diuisa , iungaturque ei sub quo-Cunque auguri Α, et extrema puncta B et Cconnectantur linea BC, Cui per singula restae AB diuisionum puncta agaiatur parallelae . diutident hae rectam AC in eadem illa rations
4I5. ΤHROREM A. Si duo tri gula ABD, a d e cireα quales angulos A et a latera haluerias proportioratia, eruat eadem aequiangula. DEMONsTR. Si euim angulus a ita imponatur angulo A , Ut latus. a d cadat supra AB o. g. Vsque in D, etiam latus ae, propter aequalitatem scilicet angulorum a et Λ , Cadet iupra AC e. g. usque in E, eritque ΑD- ad. AE ae , ac totum triangulum ADE-a de
268쪽
punctum D ducatur DE parallela ad BC: erit ΑΒ r AD-AC: ΑΕ 4os); et ex hypothesi AB: a d seu AD αα AC r aer ergo AC et ΑΕ AC: ae , et alternando Asir AC - ΑΕ t ae a os); sed ΑC - AC, ergo etiam ΑΕ ae. Eodem modo ostfuditur esse D E d e. Quare triangulι a de . ADE sibi imposita congruunt
418. THEOREMA. Segmenta ehordarum AB Fig. 47. et CD sese in eireulo νIeunque intersecantium Dat reciproee proportannalia. DAMONsTR. Ductis enim chordis AD et CB erit angulus o - x, F - r 344 ἔ ac Praeterea verticales ad E utrinque aequales caua et
419. COROLL. I. Erit ergo ΑΕΜ EB u κED aoa : id est, factum ex unius Chordae segmentis aequatur facto ex alterius segmentis. 4ao. COROLL. s. Si una chordarum AB Fit. 4s.
diameter fuerit, et altera CD eidem perpendicularis , erit ED - CE aas i ergo in superiori proportione pro ED substituendo CE erit AE r CE CE: EB; hoc est, perpendicularis e quouis peripheriae circuli puncto ad diame. trum demissa est media proportionalis inter 2-gmenta diametri.
269쪽
66 ELE MENTA 422. PROBLEMA. Inter duas datas renas Met EB invenire mediam geometrice proportionalem. REsoLUT. Iungantur rectae dataE in unicam
AB, qua in I bisecta describatur semicirculus,' ac e puncto iuncturae E erigatur perpendicularis EC, donec occurrat peripheriae gos '; erit haee media proportionalis petita 4ao .
Fic ιν. 4aa. THEOREMA. Sa e puncto quopiam AdmeatiIur duae secantes AB et AD, erunt segmenta AC et AE extra elacatum sta integris secantibus reciproce proportionalia.
DEMONsTR. Ductis enim chordis CE et B in triangulis ACE , ABD praeter Communem angulum A erit angulus ACE aera ADB ob ean. dem mensuram ὐ ECB , et angulus AEC. ABD ob eandem mensuram CED 342, 353 ς
Fit 423. COROLL. r. Si ex eodem puncto Auna secans, altera tangens ducatur. iterum ae quiangula erunt triangula A . ABT. Cum an guli A , ABT eandem habeant mensuram TC 34o, a 4 a). et angulus A virique communis site ergo AC : AT - AT: AB, id est, tangens est media proportionalis inter totam se. Cantem AB, et eius segmentum AC. 424. COROLL. a. Si ergo inter duas rectasAB et AC quaeratur media proportionalis, patet hinc noua methodus eam inueniendi. Nempe ex maiori AB debet resecari minor A et supra residuum CB tanquam diametrum du. ei circulus, atque ad hune ex puncto A tangens 35 et , quae erit media proportionalia
270쪽
425. COROLL. 3. Si ex eodem puncto Aduae tangentes ducantur ad circulum, erit AC :AT-ψi AB. et AC: Atum At: AB, ergo
426. COROLL. 4. Si se ans AB. aut recta quaevis alia secetur bifariam in D. et non bifariam in C; erit quadratum segmenti CD intra sectiones comprehensi una cum facto partium inaequalium AC et CB, aequale quadrato partis dimidiae Q. Sit enim AB M aa, AC in b, erit m in a. CD - a-b, CB - aa- b: ergo CD' -- AC H CB- a - sob - b U-ay-AD'. Et si rectae DE in Abifariam sectae adiiciatur EC, erit AC in AEa , 'ex -- CERCD. Sit enim DE - aa. EC: x,
REsoLuv. Erigatur in B perpendicularis M. quae sit - : ΑΒ, ae ea tanquam radio e Centro C describatur circuIus, quem tanget recta BAin puncto B soa); tum ducta secante AF sat AD AE, erit recta AB in D media, et extrema ratione secta. DB MONSTR. Est enim AP ABam AB r AE