장음표시 사용
251쪽
s 48 ELEMENTA 372. Concit L. a. Quare in triangulo aequi- Iatero omnes tres anguli aequales sunt, continetque quilibet 6o' a6o . et contra. Item si in triangulo quopiam duo anguli aequales snt, illud est isosceles. 2'. 37 I. PROBLEMA. Altitudinem aerasam AB
REsoLυ T. Observetur momentum . quo soIS supra horizontem ad altitudinem 4s' sublatus est. noteturque eo momento Cuspis umbrae Cin plano horizontali, erit Iongitudo umbrae BC aequal:s altitudini quaesitae AB.DEΜONSTR. Cum enim angulus B ex natura altitudinis rectus sit, et C ex hypothesi 45'. erit
372. COROLL. I. Siquis in turris fastigio A positus unum quadrantis aenei in suos gradus diuisi radium statuat perpendiculariter iuxta altitudinem AB. altero abscindat arcum 45', et iuxta eius ductum notet in terra punctum C. erit,
373. COROLL. a. Si radio mobili quadrantis abscindatur arcus 45', tum versus C ita sensim recedatur. Vt radio fix , ac horizonti parallelo conspeiatur punctum B, radio Vero mobili punctum A, erit rursus AB BC. ScHOLION. Altitudo solis 45' etiam obseruari potest describendo in plano horizontali circulum, - inque eius centro erigendo perpendiculariter stra1um aequalem radio. Nam quum umbra styli huius praecise attigerit circuli peripheriam , eri. tune sol 45' supra horizontem elatus. Cum enim uno stylus ΑΒ umbrae suae BC aequalis sit.
252쪽
etiam anguli iisdem oppositi A et C aequales erunt e 369 ), ac proindo quilibet habebit 45'
a74. THEOREMA. Si is duobus triangulis Fir go. ABC, abc duo latera cum angulo intercepto aequa-ha fuerint. e. g. EC a be, BA α ba, et angulas A h. tota triangula aequalia sunt. DE NONsTR. Si enim trianguli ais vertex bconcipiatur ita imponi alterius vertici B, ut latus be cadat supra BC, duo haec latera propter aequalitatem Congruent, adeoque b cadente supra B , e cadet supra Ct cumque anguli b et Baequales ponantur. etiam latus ba cadet supra BA, et propter aequalitatBm Cum eodem Cougruet , et hine vertex a cadet supra Αἰ Congruent ergo tum anguli, tum latera omnia, tum denique triangula ipsa, ae proinde aequalia sunt. 375. PROBLEMA. Metiri es tantiam duorum Iocorum A et B , quorum laterualium permeari haud
REsoLυ T. Eligatur statio alicubi in C, unde ambo loca videri. et accedi possint; tum men. surentur Ope catenae distantiaE AC Et BC; ac producantur in directum ita ut C b fiat in Ata et Ca - CB. erit hoc ipso etiam ab M AB c 374): quare mensurata recta ab innoteaeet interuallum ΑΒ.
376. Conori. Si spatii angustia non sinae produci latera AC et BC quantum satis est, fiate. g. Cα-: . et Ci3 - λ CA. erit etiam αβ - : AB propter similitudinem triangulorum ABC, αβC, uti adparebit in sequentibus.
253쪽
aso ELEmENTA 377. THEORE EI A. Si in duobus triangulis ABC, ahe duo anguli eum latere intercepto aequales fuerint,e. g. B αα b, C BC be , et reliqua latera. et rota irrangula aequalia Diit. DE NONsTR. Nam latiis be lateri aequali BC impositum Cum eodem Congruet, adeoque Puncto b cadente supra B. e cadet in Cr et ob angulos b - B. e se C latus ba cadet supra BA. et ea supra CA; facile autem patet etiam punctum eorum extremum a eadere in A; quocunque enim alio cadere cogitemus . necessario mutabitur aequalitas angulorum , et B. vel e et C contra hypothssim: quard tota triangula Congruent, et chine aequalia sunt. a -- AB, ac se AC. 378. PROBLEMA. Methri Asantiam duorum locorum AB. quorum Pretus. tantum B potest aeeedi.
RasoLUT. Electa alicubi statione in E fiat in B ope quadrantis collineatio in A et E , ut innotescat angulus EBA, tum distantia BE ex E transferatur in C ita ut haculus in C dsfixus si in eadem recta cum E Et B: deinde in C fi t colli. neatio sub Eodem angulo EBA versus E et D itavi angulus C fiat aequalis angulo EBA; deniquo per lineam CD tamdiu procedatur, donec hacu. lus alicubi in D defixus in eadem recta sit cum E et A. erit AB. Nam si triangula
ABE. CED sibi rite imponerentur, CD cum AB congrueret 377
Sc HOLION. Distantias quascunque, et altitudines dimetiendi methodi complures occurrent insequentibus: has idcirco duntaxat hic intauauimus. Vt tirones. qui horum theorematum usus
praeclarissimos nondum sentiunt, facilius inducant
254쪽
In animum harum veritatum fructus vltra ieiunam
Contem Plationem Omnino pertinera. 379. THEOREMA. Si in duobus trianetilis omnistitera aequalia fucrint, nempe bC - BC , ba BA, Ca CA , etiam anguli, et lota triangula aequalia sunt. DBΜoNsTR. Describantur enim centris B et
item b et e. radiis BA et CA, ae ba et ea Circu-1i sese intersecantes in verticibus triangulorum A et ar deinde cogitetur triangulum boa triangula BCA ita imponi, ut Iatus be cum latctre BC aequali congruat, seu ut punctum b cadat in B, e in C; congruent hoc ipso circuli aequales b et B, c et C. adeoque latus ba terminabitur alicubi in peripheria circuli B, et latus ea in peri- Pheria circuli C ; cum ergo ea latera ambo desinant in idem punctum a , debet hoc punctum
attingere utriusque circuli peripherlam: seu cadere in Communem eorum intersectionem A rquare latus ba cum BA, ea cum CA, Congruet rei hinc tota triangula aequalia sunt.
38o. COROLL. Si in triangulo illosceli ducta recta quapiam ex angulo aequalibus lateribus intercepto adfuerit unum ex hilas tribus, 2 quod angulus in vertice secetur bifariam, a) quod basis seu latus angulo illi oppositum lacetur hilariam, ab quod eadem secetur ad angulos rectos. semper aderunt reliqua duo; nam semper diuids-tur id triangulum in duo aequalia , secumque Congruentia triangula. et quidem in primo casti, et secundo per n. 374, in tertio per n. 374, Vel
377. Item si in quopiam triangulo duo ex hu
255쪽
. rInt, minusque malari A r Onatur, ut angula aeum aequali A congruente latera ab et a eadant
supra homo ga AB et AC, tertium bc erit tertio BC parallelum. DEMONsTR. Est enim ex hypothesi angulus b- B r ergo rectae be et BC parallelae sunt
38 a. Cono . Si angulus b imponeretur angulo B, parallela fierent latera ae et AC e si angulus e imponeretur angulo C, parallela serent Iatera ab et AB, ut patet consideranti. 383. Tetragonum habens latera Opposita parallela dicitur paralle logrammum, et speciatim re-aangurum, si anguli omnes recti sint, quadratum Vero. si instiper etiam latera omnia aequalia sint. Si Vero latera aequalia, at anguli inaequales fus-rint . rhombus; si neque latera , neque anguli fuerint aequales . rhomboides adpellatur. Reliquae figurae quadrilaterae, quae non sunt Parallelogramma. traperia Vocantur. Pis, 34. 384. THEOREMA. Ia quavis Aura quadrilatera I si laterae opposita fuerint parallela, erunt ea dem aequalia. a J Si aequalia fuerιnt, erunt eade mporallela. a) Si bina opposta aequatia et paralle la fuerint. etiam aIia bina aequalia , et parallela
256쪽
DBΜoNsTR. Ducta enim ad angulos oppositos recta AD, quae diagonalis dicitur, a) si latera opposita ΑΒ et CD, item BD et AC parallela. fuerint . erit angulus 'o - x ; m - n 3II), IMtus AD - ADt ergo triangula ABD, ACD sibi imposita congruunt 3τ7 , et hinc AB CD, BD - AC.' a I Si fuerit AB - CD. BD - AC. cum etiam sit AD - AD, triangula eadem rursus Mi , imposita congruunt 379 ; et hine angulus o et, adeoque Iatera AB et CD, BD et AC
s) Si denique latera ΑΒ et CD aequalia, et Parallela fuerint, erit angulus o - x a II). Cumque sit AD- AD, iterum eadem triangula sibi imposita congruunt 374 , et hinc BD AC, angulus n - m; Vnde BD et AC insuper Parallela strat 333 .
385. COROLL. I. Diagonalis diuidit parallelogrammum in duo triangula aequaliar et hinc triangulum est dimidium parallelogrammi eandem hasim , et altitudinem habentis, vel quod idem Est, supra eandem basim inter easdem parallelas Constituta 386. Co Rot t. s. Si duo parallelogramma similia, seu aequiangula sunt. etiam triangula eo. rum scilicet dimidia similia sunt: quare duo trianis gula similia semper spectari possunt, tanquam dimidia duorum similium parallelogrammorum. 387. THEOREMA. Sa duo triangula ABC. Fic. 3s. ACD eandem habeant altitudinem . seu Perpendiculam e vertice A in latus o situm demissum . erantea ad se inuicem ut bases . seu νt BC: CD.
257쪽
DEMONSTR. Nam triangulum ABC aequatur sunmiae infinitarum parallelarum BC. IX, ΗΜ. GL etc. et triangulum ACD summas infinitarum parallelarum CD. NR. AEQ. LΡ etc. quae a basi usque ad verticem duci possunt. Porro has
Parallelae a vertice A incipiendo crescunt in progressione arithmetica, secundum eandem scilicet differentiam: Cum enim eaedem a sese aequaliter
distent, in triangulis OpP P Q. Qi R. Rm aequam tur perpendicula, seu latera Op. Pq, Qr, item aequantur anguli recti p. q, r, d; et anguli O , PQq. QRr, RDd 3o0 : ergo etiam aequantur anguli O, P, Q, R 364 , et hinc triangula haec sibi imposita congruunt 377 ), ac
υε ergo tollendo FK, differentia inter parallelas FKet GL est Ge- LI; eodem modo differentia inter GL et ΗΜ est ΙU-Μm ; inter ΗΜ et IN est Ii Nn et . atqui hae differentiae aequales sunt. cum ubique ab aequalibus tollantur aequa. Iia: ergo parallelae in triangulo ABC faciunt pro. gressionem arithmeticam. Eodem modo patet in triangulo ACD differeutias parallelarum V D pP, Μm --- qQ etc. esse aequales, adeoqua et illic parallelas facere progressionem arithmeticam. Iam in his progressionibus parallelarum. in quibus numerus terminorum est perpendicu-
Ium AE I tot enim esse possunt parallelae,
258쪽
255 quot habet puncta id perpendiculum . terminus
Primus, seu prima parallela in A est o, te mini ultimi sunt BC et CD et quare summae harum Progressionum, seu triangula ABC, ACD sunt ad inuicem . Ut AEκ : BC: AEκ CD
388. THEOREMA. Rurallelogramma ABCD, .
e quibus n. I. demendo idem ED. n. a. addendo idem ED. erit AE DF, et hine triangula AEB, DFC aequalia sunt c 379 r his ergo ad dondo in primo casu trapeZium EBCD, in secuni do triangulum DBC, habebuntur aequalia paralleis Iogramma ABCD, EBCF et in tertio casu demem do ab.iisdem aequalibus triangulum DOE, et addendo triangulum OBC idem obtinetur. 389. COROLL. I. Si ergo duo parallelogramma aequales habeant bases, et altuudines, aequalia sunt: nam et supra eandem basim . et inter easdem parallelas constitui possunt ao8 ).39 . COROLL. 1. Quoniam triangula dimidia sunt parallelogrammorum eandem basim, et altitudinem habentium c 385 . etiam triangula supra eandem basim intra easdem parallelas constituta; vel aequales bases, et altitudines habetitia aequalia fiant.
39 I. PROBLEMA. Figuram quamvis reail, Fig. 37. neam ABCDEF ta aequale traangulum trian formare. R B sotu T. Omisso uno angulo B ducatur dJaconatu CA, et huic ex omnIb angulo B paralla-
259쪽
a56 ELEMENTA Ia BG occurrens lateri FA producto alicubi in G, et ducatur CGr aequalia erunti triangula ACB,
ACG apo , si ergo pro triangulo ACB substituatur triangulum ACG, data figura mutabitur in aliam GFED CG uno latere iam minus habemtem. Idem prorsus fiat ex parte anguli E. et prior figura abibit in IDCGI iam duobus lateribus pauciora habentem. In hac omisso angulo D du-Catur. Vt ante, diagonalis CI, eique ex omisso angulo D parallela DK occurrens lateri AF producto alicubi in K, tum ducatur CK; erit GCK
triangulum petitum. 39a. COROLL. Facile adparet hac arte minuendo successive laterum numerum omne polygonum posse Conuerti in aequale triangulum. 393. PROBLEMA. Datum triangulum rapartes quotcunque aequales diuidere.
Raso tu T. x Si diuisio sacienda sit per. lineas ex aliquo angulo ductas, diuidatur latus oppositum in totidem partes aequalest rectae ad singuis 1a diuisionum puncta ductas diuident triangulum in totidem partes aequales cs 87 P. Fie. 38. s) Si diuisio facienda sit per lineas ex aliquo latere e. g. AB ductas, dividatur latus illud in totidem aequales partes, e. g. in 5, deinde ex primo diuisionis puncto P ducatur recta P erit
PCB pars quinta trianguli ACB 387 : diuidatur deinde latus AC in partes aequales Vna Pauciores, e. g. in nostro casu in 4, as ducantur rectae ΡD. ΡE, PF, erit diuisum totum triangulum in partes 5 : nam totum triangulum PACcontinet ex BAC ε partes; ergo quaevis Para,e. g. APF, continebit ἱ partem.
260쪽
13 Si demum diuisio facienda sit eX aliquo pie a,
puncto intra triangulum posito. dividantur duo latera BA et BC in totidem ParteS aequales e. g. in f, et per prima diuisionum puncta D et E ducantur rectae Dd, Ee parallelae Iaistibus BC AEBA, quarum intersectio Ρ si iungatur cum angu- Iis A et B, erit triangulum AΡB quinta pars tintius ABC. Est enim BAE quinta eius pars 3 87 , Et BAE est in AΡB spo). Eodem modo Patet, ducta recta PQ triangulum ΒΡC esse qui, tam partem. Quare si reliquum ΡΑC in tres partes diuidatur per ructas PF et ΡG. erit totum triangulum ABC diuisum in quiuque partes ae
394. PROBLEAE A. Darum pol monum ABCDE Filia partes quotcudque aequales diuidere. Raso Luet. Transformetur primum polygonum
datum in aequale triangulum AFG 30I . cuius hasis FG diuidatur in tot aequales partes, in quot polygonum dii 3kli debet. e. g. in 4, ductisquctrinis ΑΗ: AK AI ad singula puncta diuisionum. erunt triangula FAII, HAK. ΚΜ. IAS singula quarta pars trianguli FAS 393b, ademque etiam Polygoni dati. Quia vero extrema triangula extra polygonum exeunt, hoc pacto reducenda erunt. Cum aequemur triangula AFC.
ABC s o , si utrique addatur triangulum ACRerit trapegium ABCH aequale triangulo AFΗ, ae proinde quarta pars polygoni. Ex altera parte ducta IR ad AD parallela, et ducta recta AR. aequabuntur triangula ARD, AID cit. . item triangula AED, AGD cit. r si ergo illa ab his subtrahantur, restabunt AER, AGI aequalia; R. P. Ma o Mathes R