장음표시 사용
271쪽
at me a BC- AB; his adeo substitutis erit me ΑΒ-DBr AD; unde AD' - ABκ DB aos). et hinc AB: AD - AD: DB ao ).rg. s . 428. PROBLEMA. Gustruere triangulum is stelis ABC, in quo quitiber angulus ad basen B et C sit duplus anguli A. RasoLux. Diuidatur recta quaecunque ΑΒ media, et extrema ratione in puncto D aet . et super minore segmento DB Construatur triam gulum is celes BCD facta centris D et B intersectione in C radio AD ,, tum iungantur Puncta A, at C. erit triangulum ABC tale, quale petebatur.
DEMONsTR. Est enim angulus O - ου -- α
429. PROBLEMA. Dato circulo decagonum regulare inscribere.
REsoLuet. Radius circuli dati AB secetur in D media, et extrema ratione c427 . erit segmentum maius m latus de agoae. DBMoNsTR. Nam constructo triangulo Tosceli ABC iuxta problema praeceden&, erunt anguli Α- B C- 18o' 3ω - 18o'. et quiuis aneulus ad basim B vel C - i. Iso' - 7a', ademus angulus A - I8o' - 36' - -
ergo BC seu AD est latus decagoni ca98 .
272쪽
43o. COROLL. Si ergo latus de agoni circum. ferendo peripheria Circuli in Io partes aequales diuidatur . et diuisionum puncta altornis omissis connectantur , habebitur pentagonum regulare circulo inscriptum. 43 I. THEOREMA. Si ex vertiae anguli recti Fie. 5a. B demittatur in hypotenui iam perpendicularis BD, diuidet haee triangulum ABC in duo triangula ABD. DBC tam toti, quam mi similia. DEmONsTR. Nam in triangulis ABC. ABD praeter angulum communem A . anguIi B et Drecti. adeoque aequales sunt; hinc etiam tertius A aequatur tartio ABD c36 . . Eodem modo Patet . aequiangula esse triangula ABC. DBC praeter angulum C communem rectos in B et D habentia r unde patet etiam triangula ABD, DBC aequiangula , seu similia esse.
43a. COROLL. I. Est ergo Consurendo trian.
gula similia ABC. ABD. AC: AB - AB: AD
et hinc AB - ΑC X AD; et conserendo trian
das AB et BC sunt mediae proportionales inter diametrum, seu hypotenusam AC, et eius segmen.ta AD aut DC Chordis adiacentia. Vnda iterum adparet modus inter duas datas rectas mediam prinportionalem inueniendi. 433. COROLL. a. Quoniam AB --BCy AC
γ ACum AC', patet in quovis triangulo rectan gulo quadratum hypotenus e aequari quadratis
273쪽
434. COROLL. 3. Vicissim si fuerit AC ei AB -- BC . erit B angulus rectus. Erecta enim ad AB perpendiculari BE . quae sit - BC. ductaque recta EA . erit EA AB- - BE
gula AEB , ABC sibi imposita congruunt 379J,
et angulus ABE, qui ex Constr. rectus est, aequatur angulo ABC; ergo etiam hic rectus est.. 435. PROBLEMA. Datis quotcunque quadraris unum aequale construere.
REgotu T. Latera duorum quorumvis quadrato. rum AB et BC iungantur sibi ad angulum re. et , ducaturque hypotenula AC; arit eius quadratum aequale quadratis rectarum AB etBC, Ru ACy -AB-- BCy 433 . Rursus remo AC iungatur ad angulum rectum latus tertii quadrati CD, et ducatur hypotenuis AD, erit AD '-AC- - . CDR - AB' - BC- -- CD . Iterum rectae AD iungatur ad angulum rectum latus quarti quadrati DE. et ducatur hypotenusa AE. crit - - AD DE' - My -- BC a--DER. et sic Porro. 436. COROLL. Si datum quadratum duplican. dum, triplicandum etc. sit, rectae AB, B CD cte. eiusdem lateri aequales fieri debent. 427. PROBLEmA . Datis duobus quadratis eoninstruere quadratum, quod si aequale eorundem difffferentiae. RESOLuae. Supra latus quadrati maioris AC tanquam diametrum describatur semicirculus. ae in 'eo pro chorda adplicetur latus quadrati minoris AB, erit altera chorda BC latus quadrati
274쪽
quaesiti. Cum enim in B sit angulus rectus a s , erit AC' - ABy DBC 43a , et hinc
AC'-ABy-BC . IScasoLxoN. Latere inuento construitur quadratum . si latus sibi ad angulum rectum iungatur, eodemque tanquam radio ex utroque extremo tanquam centro ducantur arcuS se intersecantes, ae intersectio cum extremis lutigatur. 438. THEOREM A. Si ex Agurarum similium, seu aequales angillos, et latera homologa proportiovalia habentium angulis aequatibus A et a , ac similiter postas Meantur diagonales AC et ac, AD et ad , resoluentur Murae tu totidem triangula βmilia. DEMONsTR. Nam ob figurarum similitudinem angulus B est αα b. et ΑΒ r a b - BC r Me; ergo triangula ABC, abe similia sunt 4IG , unde angulus Ο o, et AU: ae - BCr be. Porro ab aequalibus angulis C et e demendo aequaleso et O , restabit N - n e et cum sit BC: he- CD: cd, orit quoque AC r ae CD: ed unde etiam triangula ACD. acd similia sunt Sit. . Eadem est demonstratio pro reliquis triangulis. 439. COROLL. T. Vicissim figurae Constantes triangulis similibus eodem numero, eodemque ordine dispositis similes stant. Nam et anguli Correspondentes aequales sunt. Et latera homo. Ioga proportionalia, nempe AB: ab - BC di beam AC: ac ma CDr ed etc. Unde polygona regularia totidem laterum similia sunt. 44o. COROLL. a. Cum latera polygonorum similium sint termini proportionales, erit summa antecedentium AB - - BC H- DE AE, EA ad
275쪽
summam consequentium ab - be -- cd-- ῶ -- .vi duo quaevis latera. homologa, s. g. Vt AB.ri ab sa I . , id est, peripheriae, leu perimetri msurarum similium sunt ut duo quaevis latera homologa. 44 I. THEO RENA. Perimetri polygonorum regularium totidem laterum sint iis radii circulorum
Fig. s6. DEMONSTR. Sint ED et ed latara eiusmodi polygonorum, Continebunt arcuit E AD. ead totidem numero gradus a 98); si ergo ex centro in latera demittantur perpendiculares CA et ea, erunt etiam arcus dimidii AD et ad totidem numero graduum casta)r quare in triangulis BCD. . bes praeter rectos B et aequantur anguli C et
e. ac Proinde etiam Anguli D et d 364): est igitur CD: ed - BD: bd 4o8), siue cum tota sint ut dimidia calo). et BD, bd sint dimidia Ia-terum ED et ed sua . erit CD: edim ED: eis; atqui etiam perimetri horum Polygonorum Utpote similium sp) sunt ut ED: ed 44 o); ergo
etiam sunt ut CDP cd. 44 a. GORDLt. Si numerus laterum polygon rum circulis inscriptorum in infinitum augeatur, magnitudo autem in infinitum minuatur, polygonorum perimetri tandem eum peripheria circulorum circumscriptorum congruent: quare circuli spectari possunt tanquam polygona regularia infinitorum laterum e ergo peripheriae circulorum sunt ut radii 44 I), vel ut diametri a Iob.
276쪽
REsoLUT. Datum , Vel assumtum polygoni construendi latus Ab transferatur in latus homo-
Iogum ΑΒ polygoni dati, si opus sit, productum: tum ductis ex angulo A diagonalibus AC. et AD itidem si necesse sit productis, per punctum b ducatur recta be lateri BC parallella, per punctum e recta ed lateri CD parallela. Per punctum d recta de lateri UE parallela; obtinebitur polygonum Abede simile polygono dato ABCDE 439 , cum triangula ABC, Abe. et ΑCD, Acis, ac denique ADE, Ade similia fiati
444. st viangulum omne senis constat partibus, x tribus nimirum lateribus, ac totidem angulis; quarum si tribus datis tres reliquae quaerantur, triangulum resolui dicitur, et pars geometriae eam resolutionem docens trigonometria adpellat tr. 445. COROLL. Quoniam triangula vel rectis. vel curuis liueis continentur, patet duplicem esse trigonometriam. Hana Vocatur, quae agit
de triangulis in plano quopiam lineis rectis te minatis et sphaerisa autem refertur ad triangula, quae in globi cuiusdam, seu sphaerae stiperficie fiunt a circulorum maximorum arcubus. Nos Ioco de plana tantum agemus.
277쪽
arcus eosdem metientes non esse lateribus proportionales. nec posse proinde laterum ope directe inuestigari: quare angulis et arcubus Ribrogantur lineae quaedam rectae lateribus proportionales. quae arcus et angulos repraesentant. Eorumque quasi vice in calculo funguntur. Vnde et Giones adpellantur , quas iam singulatim explica.dimus. 47. Si ex areus cuiuspiam ΑΒ extremo alterutro B demittatur perpendicularis BD in diametrum transeuntem per alterum extremum H , erit ea fimis resus eiusdem arcus AB. vel anguli ACB; pars vero diametri inter eum sinum, et arcum intercepta, erit simus versus eiusdem. Si Praeterea per extremum arcus ducatur tangens AT . donec Occurrat rectae CT ex Centro per ab terum arcus extremum ductae, erit AT tangens. CT autem secans eiusdem arcus AB, vel anguli ACB. 448. COROLL. I. Duo ergo arcus AB et B qui simul ossiciunt semicirculum; aut duo anguli contigui ACB. aCB eosdem habent snus rectos. tangentes, et secantes. Nam sinus arcus aB, veIanguli aCB est BD, vel ad . tangens AT vel at; secans CT vel Ct f447J; est vero ob triangula
- ad, AT at, CT Cr. 449. COROLL. a. Si puncto B ab A successive digrediente crescat arcus ΑΒ. et angulus ACB, patet sinum quoque DB crescere, uti et sinum versum AD, et reliquas functiones. Quum
autem punctum B ad H peruenerit, arcus Au
278쪽
abibit in quadrantem vi, et angulus ACB in
toctum ACM, sinus vero BD congruet cum radio ΜC, eritque omnium maximus, unde et sinus totus VOCatur; similiter sinus verius AD com gruet cum radio AC; at tangens AT cum secanta CT euadet parallela, neque concurret Uspiam, hinc ambae infinitae erunt.
45o. COROLL. 3. Sinus rectus est dimidium chordae arcus dupli. Nam arcus AB duplus est BAG 3sa , ac eius chorda BG; est vero BD - : BG scit . Eodem modo patet esse ad a: a 451. COROLL. 4. Sinus anguli vel arcus so aequatur Uimidio radio. Sit enim BA - so'. erit BAG - 6o' saa); hinc eius chorda BGest iatus hexagoni regularis, adeoque aequatur radio 399 ; cum ergo sinus BD sit ei Bias so), puel eum aequari dimidio radio.
45 a. i COROLL. 5. Tangens anguli. vel arcus 45', aequatur radio. Sit enim angulus ACB dira
culum, vel angulo ad duos rectog. dicemus elusedem supplementum ἰ disserentiam autem arcus a quadrante, et anguli a recto, siue deinde ab ipso deficiat, siue ipsum excedat, vocabimus eiusdem complementum. Vnde sinus , tangens , ac secans complementi arcus, vel anguli est eiusdem eHAnus, cosecans , et colangens. Ita arcus aB est
supplemantum respectu arcus AB; ΒΜ est com-Plementum arcuum AB et aB; BI est eorundem sinus, ΚΜ tangens, CK COIeraas. En. Ἀ- hellam , quae memoriam adiuuet.
279쪽
454. COROLL. I. Quadratum radii aequatur summae quadratorum sinus recti et cosinus item differentiae quadratorum secantis . et tangentis.
280쪽
GEOMETRIAE. s 77t 456. COROLL. 3. Si ergo duo quiuis eius.
dem circuli arcus sumantur . erunt sacta ex tangente et Cotangente in Utroque aequalia quadrato
radii. adeoque etiam inter se. Soluendo igitur ambo facta in proportionem patebit, tangentes
duorum qu rumuis' arcuum esse in ratione recti
prora colangentium cso 4).457. CORO . 4. Cum sit CA AT- 433 . palam est quadratum secantis aequari quadratis radii simul. et tangentis. 458. COROLL. 5. In qu is arcu AB est CD seu BIr BD - CAr AT , seu cosinus ad
sinum, ut radius ad tangentem. Item BD: BC- AT TC, seu sinus ad radium, ut tangens ad secantem. 459. COROLL. 6. Si radius CA utcunque mutetur. functiones Omnes arcuum similium. vel aequalium angulorum in eadem ratione mutantur, adeoque mutuam ad se inuicem rationem retinent. Nam utcunque aucto . vel diminuto radio CA triangula omnia eosdem retinebunt angulos . et Unc ratio radii, et functionum non turbabitur. 46O. COROLL. 7. In quovis triangulo rectam Fig sy
gulo ABC si hypotenusa sumatur pro radio. seu sinu toto, quiuis cathetorum erit sinus aneuli sibi oppositi, et cosinus adiacentis acutir nimirum AB erit sinus anguli C, cosinus anguli Ar msinus anguli A. cosnus anguli C. Quare sinus totus est ad sinum alterutrius anguli acuti, Vt hyp tenula ad latus eidem angulo oppositum e et sinus to us est ad cosinum anguIi acuti utrius-