장음표시 사용
281쪽
libet, ut hypotenula ad latus eidem angulo alis
46 I. COROLL. 8. Sin autem alteruter cath tus sumatur pro radio, seu sinu toto, alter Cathmius fit tangens. hypotenuia secans anguli acuti radio adiacentis nimirum si CB est radius, AB est tangens. AC secans anguli C; si vero AB sit radius, BC est tangens , AC secans anguli A. Est adeo sinus totus ad tangentem unius anguli
acuti. ut latus eidem angulo adiacens ad oppotatume et sinus totus ad secantem unius ex angintis acutis, ut latus eidem adiacens ad hypotenusam, 462. THEOR Eri A. In quouis triangulo late ra Junt ut Inus angulorum iisdem Oppostorum. A
DEMONsTR. Potest enim cuiuis triangulo circumscribi circulus 3a 4 , et tunc latera evadunt chordae subtendentos arcus duplos morum, qui metiuntur angulos oppositos 34a r quare lateriis cuiusuis dimidium erit sinus anguli oppositi so ; cum ergo dimidia sint uti to. ta Mob. patet latera fore ut sinus angulorum oppositorum. 463. COROLL. Si angulus quispiam A o, lusus fuerit in triangulo ABC, ductis BD ot CD angulus D erit supplementum anguli A 346), adeoque ambo eundem habent sinum e est autemper demonstr. BC sinus anguli D; igitur etiam est sinus anguli A.
464. THEOREMA. La quouis triangulo ABC summa duorum quorumvis laterum AC -- AB si ad eorundem dissereatiam AC - AB ut ta
282쪽
GEOMETRIAE. 279 gens semisummae angulorum B et C iisdem oppositorum ad tangentem semississerentiae eorundem. DBMoNsTR. Latere minore AB tanquam radio centro A describatur circulus. latus Vero in alterum CA producatur, dum occurrat periphe
riae in D, ducaturque per puncta D et B recta indefinita DF, cui occurrat in F recta CP chor- idae BE parallela ; erit angulus DBE a 45 . adeoque etiam angulus DFC rectus 3ος , et hinc DF ad FC perpendicularis.
Hisce positis erit CA -- ΑΒ - CA . AD- CD summa laterum; CA - AB - AE - CE differentia corundem r angulus oexternus erit summa angulorum ABC , ACB
sop) erit eorundem semisummar quia vero an
gulus ACB α ABC ca 68 . constabit ACB Ex
semisumma demta semidisserentia I68 ex. a).; atqui constat ex ACF - BCF. et ACF in se. misummar ergo BCF est semidisserentia. Igitur si CF sumatur pro radio, erit m tangens semi- summae DCF . et M tangens semidisserentiae
465. THEOR ENA. Si in triangulo quours ABC in latus maximum BC demittatur ex anguis opposito A perpendicularis ΑΜ, quae semper intra triangulum cadet 365), erit latus maximum BC ad summam reliquorum CA AB, νt eorundem
283쪽
dsserentia CA -- AB ad dissereariam segmento. rum baseos ΜC - m. DEMONsTR. Centro A Iatere minimo AB ds. scribatur circulus, erit producto, ut ante, latere in summa laterum - CD. differentia in
466. COROLL. 1. Segmentum baseos maius
467. COROLL. s. Si AB αα AC, differemtia laterum, et segmentorum haseos nulla est rsin autem AB - BC. vel AC - BC. pro latere maximo assumi potest utrumlibet aequalium
ScROGON. Ex hisce theorematis fluit trian. gulorum resolutio , ac functionum omnium 'Euentia verum ut hae functiones in promtu Emper essent, ' arcubusque et angulis substitui possent, necesse fuit concinnare tabulas quasdam, in quibus functiones singulorum graduum, atque minutorum saltem primorum continerentur. quae tabulae Inutim, vel eanones funaronum adpellan tur. Satis autem est tabulas id genus construere usque ad arcum, aut angulum seo'; nam post
284쪽
hunc, ut vidimus, eaedem iterum functiones redeunt. In his concinnandis radius , seu sinus totus ponitur in I adie stis septem. vel pluribus Zeris eum in finem . ut functiones in fractio. nibus eo accuratius determinari possint, quemadmodum diximus de Iogarithmorum constructione. Quare functiones inuelligare aliud non est, quam inuenire , quomam eiusmodi particulas functio aquaeque habeat, in quas radius diuisus concipitur et et quia radius quiuis siue maior . siue minor in eundem partium aequutum numerum diuiditur, uti peripheria circuli cuiusuis in eundem graduum numerum, patet particulas maioris radii maiores esse, quam minoris. Hinc tabulae
snuum, in quibus exhibetur. quomam ex illis radii particulis functio quaelibet Contineat, non exhibent absolutam , sed tantum comparativam earum magnitudinem, siue solam ad radium proportionem , quae lassicit ad resolutionem triangulorum. Vti adparebit in sequentibus. Quodsi functiones computatae sint pro radio in partes plures diuiso. eaedem facile eruentur pro quOuis alio radio in partes pauciores diuiso 459): e. g. datis functionibus pro radio Io ooo ociori. uenientur eaedem pro radio Inoo oo . si e datis illis duae postremae notae amputentur; est enim primus ille radius ad hunc, ut illae datae functiones ad easdem duabus postremis notis multatas, scuti perspiguum fiet proportionesipias instituenti. Tabulae huiusmodi complussibus methodis Confieri possunt, si iam con me prostant: nos viam Computandi compen-
285쪽
diariam cum Boscouichio hisce problematis eom. plectemur.
468. PROBLEMA. Data tangente inuenire se. cantem , et sitium.
Baeso tu T. Ε summa quadratorum radii et tangentis extracta radix quadrata dabit incantem
454 ): et quia est secans ad tangentem ut radius ad sinum 458). sinus innotescit.
Fig. 63. 469. PROBLEMA. Datis tangentibus AT et Avduorum arctivm AB et AD quadrante minorum in-tienire tangentem ΑX areus AE messii arithmetiea
DEMONsTR. Datis tangentibus AT et AV in. notescunt secantes CT et CU 468 . Iam ob arcus BE: DE. recta CX bifariam secat angulum Τ ; unde habetur CT r CV αα TX r XV 41 , et componendo CT - CV C U - TX--XUr XU aos : 'si ergo XV inuenta ad. datur datae tangenti minori AU , obtinebitur tangens quaesita AX. 47O. COROLL. I. Si punctum D abeat in A. erit AU -o . et CU - CA , TU - TA; adeoque prior proportio abibit in hanc di CT--CAr CA-ΑΤr AX, quae continet solutionem Problematis, in quo data tangente alicuius cus quaeratur tangens dimidii eiusdem; nam tunc punctum E erit in medio arcus AB.47 I. COROLL. a. Si punctum B abeat in H, m et UT euadent infinitae. hinc CF--CUT TU, seu TX -- XUr ergo in proportione 60 etiam CV - XV: Uno si incans arcus minoris CV addatur tangenti minori datae A habebitur tangens quaesita M.
286쪽
473. PROBLEMA. Datis funalonibus duorum arcuum, quorum istierentia perquam exigua sit, inuenire functionem areus euiusuis intermessii. RusoLUT. Fiat haec proportio r Vt disserentia arcuum datorum ad differentiam arcus minoris et intermedii. ita differentia datarum functionum ad differantiam, quae est inter functionem arcus minoris. et intesmedii; inuenta haec differentia addatur functioni arcus minoris si crescentibus arcubus functio crescit, id est, si functio sit sinus. tangens. aut secans; dematur. si decrescit id ost, si lanctio sit cosinus, colangenS, Vel Cesecans DEMONsTR. Referant enim rectae AB et AD Fir 64. datos duos arcus. ae perpendiculares BN et DL in casu I exprimant functiones Creseentibus ar- .cubus Crescentes, in Casu a decrescentes, sitqua . arcus intermedius AE, eius functio quaesita EΜ. Erunt extrema functionum Crescantium, vel decrescentium puncta L, Μ, N in linea quapiam continua . quae si curua sit. arcus exiguus LN pro recta haberi poterit; hinc ducta LK parallela ad AB erit LK: LI. seu DB: DE - ΝΚ: ΜΙ, hoe est, differentiae arcuum erunt ut differentias functionum. Porro ΜI in casu primo addidebet ad LD , ut habeatur EΜ , tu secundo
287쪽
a 84 ELEMENTASeHOLION. Horum problematum ope functio. nos omnium arcuum, et angulorum inueniri possunt determinato radio in particulis e. g. to oo oo oor suffcit autom eas computare usque ad arcum 45'r cum enim Ceteri usque ad po' sint horum complementa, lanctiones eorum facile eruuntur per n. 454. 455, 456 . 458. Inuentis functionibus reperiuntur earum Iogarithmi per ea , quae de togarithmis alibi tradidimus. Tabulae porro, in quibus functiones clam mistogarissimis inscribuntur . sex habera Columnas debent: in quarum prima scribuntur gradus, et minuta prima; in secunda sinus; in tertia tangentes; in quarta secantes correspondentes; in quinta togarithmi sinuum; in sexta togarithmi tangentium. Secantium logarithmi non apponuntur, nam e togarithmis sinum nullo negotio eliciuntur e cum enim quadratum radii diuissim
per sinum exhibeat secantem 455 . satis erite duplo logarithmo radii a 4a subtrahere Iogarissimum cosinus ca4x ut secantis logarithmus
Obtineatur. Areus autem in pagina sinistra ta. hulae incipiunt a O'. et descendendo continenter crescunt usque ad 4s'; at in pagina dextra ini, tium sumunt a po'. et perpetuo decrescunt usque ad 45': ita fit. ut cuiuis arcui inscripto in Vna pagina respondeat e regione in altera eius
complementum. adeoque etiam cosinus. Cotan
gens, et Cosecans. Sed iam ad vium ipsarum
tabularum Veniamus. 474. PROBLENA. Dato quovis arcu, aut angulo inuenire ope tabularum functionem eidem rectoris
288쪽
GEON ATRIAE. 285REsoLuet. I Si datus arcus quadrante. aut datus angulus recto maior non fuerit, solosque gradus, et minuta prima continuerit, quaeratur in prima columna paginae sinistrae, vel dextrae, aderit in eadem pagina eiusdem sinus, tangens, ac secans; in altera e regione cosinus , colam gens, et cosecans.
a) Si arcus quadrante , vel angulus recto maior fuerit, subtrahatur a I 8 et quaerantur, ut ante, functiones arcus, vel anguli residui: eaedem erunt functiones etiam arcus, vel anguli
a) Si arcus vel angulus praeter gradus. et minuta prima etiam secunda contineat , quaeratur in tabulis functio arcus proxime maioris, et proaxime minoris. Capiaturque earum differentia. tum fiat, ut differentia duorum arcuum, vel angulorum proximorum in tabulis, nempe I , seu 6o ad differentiam arcus vel anguli dati et proxima minoris in tabulis, seu ad minuta secunda. quae datus arcus, vel angulus Continet. ita differentia functionum arcubus maiori et minori in tabulis respondentium ad differentiam functionum arcubus dato et proxime minori in tabulis respondentium 473): inuenta haec differentia addatur functioni arcus, aut anguli proxime minoris, si sinus, tangens. aut secans quaeritur; dematur, si cosinus, CotangenS. aut Cosecans quaeritur, et O
tinebitur functio quaesita cit. . E. g. quaeratur sinus respondens angulo sotis , Angulorum proxime maioris in tabulis 3o', 6 . et proxime minoris 3o', 5 sinusinat s QIsIO8, et so Iaasa, quorum disseren-
289쪽
dentem angulo 3O', 5 , 8'. 475. PROBLEMA. Data sunmone invenire aris eum, vel angulum etdem res Ondentem.
RasoLυ T. I Si data sunctio reperiatur inta. hulis, habebitur etiam e regione in Columna prima arcus, Vel angulus eidem respondens. a) Si non adsit in tabulis, capiatur differentia functionum proxime maioris, et minoris in tabulis . tum fiat, ut disserentia harum functionum ad differentiam, qua data functio superat proxime minorem in tabulis, ita 6o , seu differentia duorum arcuum vel angulorum proximorum in tabulis. ad numerum minutorum secundorum ad. dendorum arcui vel angulo respondenti functio. ni minori, si ea sit sinus, tangens. aut secans ἔvel demendorum, si sit cosinus . COtangens. vel cosecans 473 : arcus ita repertus. vel angulus, aut etiam eius supplementum erit is, cui data functio respondet. E. g. quaeratur arcus, Vel angulus respondens sinui a 985 Ix in tabulis haud comparenti. Sinus proxime maior in tabulis est 298763a re. 1 pondens arcui I 7', a 3 ς proxime minor esta 984856 respondens arcui 17', a a r fiat ergo.
ut differentia horum sinuum a77ο ad 555 disse tentiam sinus dati, Et proxime minoris in tabulis
ita I7' - - 23 - 17'- ast , seu 6o ad x; erit x - Ia , adeoque arcuS , vel angulus, cui sinus datus respondet, est I7'. 2 a , 'Iavel eius supplemeutum 36a', 37 489. Hine
290쪽
GEO ET RIAE. 287 species arcus, Vel anguli quaesiti aliunde iam nota esse debet.. 476. PROBLEMA. Tria igitum resangulum Fig. 6s. ABC resoluere. Rasotu T. EX n. 46o et ψ71 formulae sequentes eruuntur: ' -
Habetur inuento B. AB Sin. tot. ad BC Sin. Cr ΑΒ.
Omnia problemata trianguli rectanguli ad hasco formulas reduci possunt, quorum pleraque etiam ope tangentium resolui queunt, in quibus nos sit. nus adhibuimus. 477. PROBLEMA. Niangulum ABC non re- sangulum resoluere. RESOLUT. EX n. 46a, 464, et 46s lax in Iae sequentes eruuntur r