장음표시 사용
301쪽
sp neatio etiam versus punctum B, et ducatur rNeta indefinita , cui perpendicularis ιr e producta occurrat in b; indicabit a b in scala totam altitudinem AB, ob similitudinem scilicet triangulorum aCb, ACB. Si quadrante fiat mensuratio,
facta versus E et B collineatione reperietur amgulus ECB: notus est praeterea rectus in E, adeo que innotescit tertius B; latus item CE resolutio ne trianguli AEC inuentum est: ex his autem erubtur pars quaesitae altitudinis EB. Potest etiam acui simul tota altitudo AB, si resoluatur totum triangulum ACB. in quo praeter latus AC iam inuentum innotescunt anguli omnes.
489. PROBLEMA. Areae eampestris ABCDEFRIibere permeabilis ichnographiam perscere, id es . Auram ei areae dem construere. RBSotu T. I ope mensulae geometricae. Collocetur mensula situ horizontali in angulo quopiam areae A. e quo ad reliquos omnES angulos prospectus pateat: tum factis penes aziculam angulo A imminentem versus eosdem Collineationbhus ducantur rectae indefinitae, in quas e scalatransserantur distantiae AB, AC. AD. AE, AFope catenae mensurandae. ac puncta b, c. d. e. f. .in quibus eae distantiae translatae terminantur, connectantur. Erit figura Abede' similis areae
propositae ABCD A. Nam singula triangula Abe. Aed etc. similia sunt suis Correspondonu-hus ABC, MD etc. I 6 : ergo figura parua maiori similis est 439 . Eodem modo res peragitur, si mensula non in angulo, sed intra ipsam
302쪽
GEOMETRIAE. 299s Ope quadrantis. Centro quadrantis amtulo A imminente mensurentur anguli BAC, CADDAE. EAF. item distantiae AB, AC, AD, AE.
AF ope catenae; tum Constructis in charta iliadem anguIis distantiae mensuratae transserantur oscala in Ab, Ac Ad. Αe, M. et puncta b. e. d, e, L Connectantur; erit. Vt ante. figura Mede similis areae propositae ABCDE . Eadem erit operandi ratio, si statio non tu angulo, sed intra
ipsam aream ubivis Constituatur. 49o. PROBLEMA. Areae eampesris ABCDEF Fie. 7s.
1igantur duo anguli proximi areae propositas Aet B, e quibus ad singulos angulos prospectus pateat: Collocetur mensula in primo angulo Astu horizontali, ac penes aziculam angulo imminentem ducantur Versus ceteros angulos remotodesinitae. Deinde mensurata ope Catenae stationum distentia AB transferatur e scala in Ab, etaeicula in b defigatur, tum mensula translata in angulo B sic collocetur. Vt a cicula eidem imminuat , et iuXta rectam B et collineanti baculus in A relictus o Currat. Denique penes aciculam B factis versus angulos C. D. E, F collineationibus ducantur rectae prioribus Occurrentes in punctis e , d. e, fr puncta haec connexa dabunt ichnographiam Bede B. Nam ob GDdem angulos a et A parallelae sunt rectae ac et AC. et hinc triangula ae B. ACB similiar eadem de caussa parallelae sunt rectae ad et AD. a e et
AE. V et AF. ac proinde similia triangula ad Bel ADB, a e B et ΑΕΒ, VB et RFB: est ergo
303쪽
in primo pari aB: AB - aer AC r in secundo aB r AB - adr AD, ergo ae: AC ad: AD; unu triangula aed. ACD similia sunt 4x6 , eodem modo ostenditur similia esse triangula ade, ADE. item aes. ΑEF: quare figura Bedefansimilis est areae BCDEFAB 439).a Ope quadrantis. Factis in A et B coli,neationibus versus Omnes areae propositae angulos notentur omnes anguli in utraque stationa; tum distantia stationum AB e scala desumta transseratur tu charta in rectam Ba, ac in extremis B et a constituantur anguli in una . et altera statione inuenti, dabunt. Vt anta puncta intersectionum e. d, e . f figuram Bodefa B areae propositae similem. 49 I. PROBLEMA. Ichnographiam regni, vel provinciae ope trigonometriae perficere. Fig. 79. RESOLUT. Lustratis regionis arcibus . urbibus , ac montibus deligatur Ioco opportuno basis AB eius Iongitudinis. quas notabsem habeat rationem ad distantias locorum in mappam referendorum. eaquct ope problematum superiorum ain curate mensureturr ab extremis autem baseos Aet B debet patere aspectus ad complures arces, montes . Vrbes. Oppida etc. Tum in prima statione Ope quadrantis mensurentur omnes anguli, quos basis AB essicit cum lineis versus loca con
spicua C. D. E etc. directis , nempe anguli BAC. BAD. BAE etc. omissis interea angulis, qui nimis obtusi. vel nimis acuti euaderent. Fimiliter explorentur in statione B anguli AB ABD. ΑΒΕ etc. In omnibus his triangulis dato Iatere communi AB, et angulis eidem adiacenti.
304쪽
hus, reperiuntur ops sinuum distantiae AC, B AD, BD etc. atque ita positio punctorum C. D. E etc. determinatur, si nimirum iis distantiis e scala. ad quam basis AB adplicatur, desumtis
centris A et B fiant arcus sese intersecantes. Porro ut loca Omissa e. g. F. L etc. determinen
tur, assumatur pro basi distantia AE iam inuenta. ac exploratis angulis EAF , AEF inueniantur Iatera AF et EF, his e scala desumtis tanquam radiis ducti arcus e centris A et E designabunt sua intersectione positionem loci P. Eodem modo assumta basi BC definietur situs Ioci L. et sic porro de aliis Iocis in primis stationiblia praetermissis. Figura hunc in modum constructa con
stabit totidem triangulis similibus, ac fimiliter Positis. quot habet ipsa regio; erit proinde ebdem similia.
305쪽
De gens, et aequalitate superficierum.
so. 492. a concipiatur recta CD motu continuo ita deuenire ad situm AB, ut sibi'm-- per parallela maneat, totam parallelogrammi AD superficiem successine Conteget. Unde tota ea superficies constat recta CD toties posita, quot sunt puncta, Per quae ascendendo successiva transiit, dum ad situm AB deueniret, seu quot sunt puncta in perpendiculari CA metiente distantiam laterum CD et AB: est ergo area parallelogrammi rectanguli AD Dctum ex eiusdem basi CD in altitudiuem CΑ.
306쪽
493. COROLL. I. Et quia quodvis parallelm grammum non rectangulum aequatur rectangulo
eandem basim . et altitudinem habenti 388 .
Vniuerse area cuiusuis parallelogramini aequalis est facto ex basi in altitudinem. 494. COROLL. s. Cumque triangulum quodvis aequetur dimidio parallelogrammo eandem basim . et altitudinem habenti 385 , area cuiusuis trianguli aequatur facto ex dimidia basi in altitu- dinem, vel ex dimidia altitudine in basim. Confi
495. COROLL. 3. Trapezium ABDC habens Figduo latora opposita AB et CD parallela, ducta diagonali AD resoluitur in duo triangula ADC, ABD aequales altitudines AE et FD habentia 3o8 ; atqui area trianguli ADC est in , CDκAE; et area trianguli ABD est - : AB κ DF λAB κ- 494 r ergo area utriusque simul,
seu area huiusmodi trapezii aequatur facto ex semisumma laterum parallelorum : CD - - : ΑΗ ducta in altitudinem AE . vel FD. 496. COROLL. 4. Quoniam polygonum quod- viis regulare constat tot aequalibus, et aeque altis triangulis. quot sunt latera 397 . summa omnium triangulorum, adeoque area elusinodi poly-- goni aequatur facto ex dimidio omnium basium,isu ex dimidia polygoni perimetro in Communem triangulorum altitudinem, seu in perpendiculum e centro ad latus quodvis demissum 318 . 497. COROLL. 5. Cum ergo circulus quiuis sit polygonum regulare infinitorum laterum, in quo perpendiculum e centro ad latus demissumsit Fe radius a , area circuli aequatur facto
307쪽
ex dimidia peripheria in radium, Vel ex peripheria in dimidium radium; et area sectoris ci culi aequatur iacto ex dimidio arcu sectorem te minante in radium , aut ex dimidio radio in eum
. 498. COROLL. 6. Hinc area circuli asqualis est areae trianguli habentis pro basi rectam aequalem peripheriae circuli, pro altitudine autem eiusdem radium 494 r et area sectoris aequalis est areae trianguli Eandem habentis altitudinem, pro basi vero rectam aequalem arcui sectorem terminanti. 499. COROLL. 7. Figura quaeuis rectilinea restitui potest in mera triangular hinc area figuractinuenitur, si areae omnium triangulorum seorsim inuentae in unam summam cogantur. S HOLION. Quemadmodum lineas metimur lineis , ita superficies metimur sui rficiebus, quarum magnitudo nobis sit cognita, e. g. Vnius perticae, pedis, digiti etc. Est autem superficies unius perticae, pedis, digiti eici eiusmodi spatium . cuius tam longitudo, quam latitudo Vnam perticam, pedem, digitum etc. contineat. quod quidem facile adparet esse quadratum. I in areae cuiusuis magnitudo tot e. g. Pedum quὀ-dratorum esse dicitur, quot eiusmodi quadratis persecto contegi potest. Ita area parallelogrammi AD, si AE unum pedem designat, se X Pedum quadratorum esse dicitur, quia impositis sex pedibus quadratis, qualis est AI, persecte contegitur. Vnde sitam basis. quam altitudo parallelogrammi dividantur e. g. in pedes , et Persingula diuisionum unius puncta ducantur alteri
308쪽
GEOMETRIAE. 3 5 parallelae, formabunt hae tot series pedum quadratorum, quot Pedes sunt in altitudine; et inquatas serie tot eruiat Pedes quadrati. quot pedes sunt in basi; Vt adeo numerus pedum in alti. tudine contentorum ductus in numerum pedum haseos exprimat numerum Pedum quadratorumia area Contentorum. . 5oo. PROBLEMA. Dato cuiuis para elogramismo aequale quadratum confruere.
REMLur. Inter altitudinem, quae sit inaei basim - b dati parallelogramnii quaeratur media proportionalis m 4 a I), erit ar m mi b; hinc m' - ab: est autem ab area Parallelogrammi 493 ergo in est latus quadrati
Edem aequalis. so I. PROBLEMA. Dato triangulo aequale quadratum conseruere.
1 RRsoLUT. Inter dimidiam trianguli altitudinem : a, et basim b quaeratur media proportionalis vir erit Aab - m et eli autem A ab area trian-
guli 404 : ergo m est Iatus quadrati eidem
aequalis. 5oa. PROBLEMA. Datae cuivis Aurae res, lineae aequale quadratum construere. Ruso Luae. Transformetur data figura in aequale triangulum 391J. et huic construatur aequale quadratum 5OI .
5o3. PROBLEMA. Dato circulo aequale quadratum construere. REsoLυ T. Inter dimidium Circuli radium
et peripheriam p quaeratur media proportionalis m, erit ἰrp - m'; est autem ἰυ area circuli R. P. M o Mathes V
309쪽
qualis. Scirotros. Dissicultas omnis in quadrando circulo huc demum recidit. Vt inueniatur accurata ratio tuter diametrum . et peripheriam circuli. qua inuenta, et data diametro utique reperiri posset linea recta peripheriae accurate aequalis, ac proinde ope praesentis problematis posset Comstrui quadratum circulo persecte aequale. quae esstit quadrare circulum. Ea ratio iam olim a veteribus inuesitigata fuit ope polygonorum regularium circulo inscriptorum, et circumscriptorum , quorum perimetri tanto magis accedunt alcirculi peripheriam, quanto magis crescit nismerus , et decrescit magnitudo laterum. Et Α chimedes quidem hac via deprehendit eam rationem esse sere vi 7: sa; at ea accurate nunquam fortasse inuenietur, et si etiam inueniretur, usui haud magno esset propter ingentes Dumeros, quibus exprimeretur. Ea , quam Μetius re- Perit, nempe Vt IIa: 355 adeo ad Veram a cedit, ut in peripheria, cuius diameter semi-
alteram leueam Continet, Una linea non aber-
ret: quare tu circulis Guinibus eadem uti tuto
310쪽
so . 'T AEGREMA. Areae quorumvis parallelo A grammorum sunt in ratione composita basium, et altitudinum. DEMONsTR. Sint enim eorum altitudines Aet a, bases B et b, erunt areae ut ΑκB: aκb 403 ; est autem haec ratio composita ex Ar
5o5. COROLL. I. Si ergo bases aequales sint, erit AN B et a Xb Ar at si altitudines aequales sint , erit ΑκBr a Xb-Br θ ipob, hoc est, areae in primo casu altitudinum . in secundo basium rationem habent. 5O6. COROLL. a. Cum dimidia sint ut tota a Io), triangula autem sint dimidia paralis telogrammorum easdem bases, et altitudines habentium ca85 . praesens theorema una cum praecedente Corollario etiam tu triangulis ob- 'tinet. Cons. n. 387. 5o7. COROLL. 3. Si duo parallelogramma, vel triangula aequalia sint, erit AKBina κλet hinc Ar a se br B ao 4 , hoc est, altitu dines habent basibus reciproce proportionales. Et vicissim si fuerit Ar a ab: B. Erit AN Beran κb cetoa , id est parallelogramma, vel