Compendiaria matheseos institutio quam in vsum auditorum philosophiae elucubratus est Paulus Mako ..

311쪽

ao 3 ELEmENTA Fig. sa 5O8. THEOREMA. Areae parathlogrammorum ABCD . a b c d ilium sunt ut quadrata quorumintiis laterum homologorum, seu similiter postorum. DEMONsTR. Demissis enim ex aequalibus angulis A et ii perpendiculis AE, ae, similia erunt triangula ABE, ab e ob angulos ad E et e rectos, et ob B - b propter figurarum similitudinem rergo AEr ae AB: ab o8 ; atqui ob figurerarum similitudinem AB r ab in BC: be; quarct, AE, ae in BCrbe, sunt autem parallelogramma in ratione composita eX AE : ae, et BC :be so . seu ex BC: be, et BC : be; ergo sunt ut BC rb e lya); vel cum sit BCrbe: AB: ab AD: a d DC: de . sunt ut AB': ab', Velut ADyr ad , vel ut DCyr de' a Ia).5o9. COROLL. Cum similia triangula spectari possint tanquam similium parallelogramm rum dimidia c386 , etiam triangulorum similium

areae sunt ut quadrata quorumvis laterum homO- Iogorum. Fig. 55. 5 IO. THEOREMA. Areae quorumvis polygonorum similium ABC DE . a b c d e sunt ut quai ata

quorumvas laterum homologorum. DBΜONSTR. Ductis enim per aequales an

gulos A et a diagonalibus, similia erunt triangula ABC et abe, ACD et aed, ADE et a de

312쪽

GEOMETRIAE.

3 os II. COROLL I. Cum latera polygonorum regularium similium homologa sint ut radii circu-Iorum circumscriptorum 44I , erunt quadrata laterum homologorum ut quadrata radiorum ar a : Cum ergo eorum areae sint ut quadrata laterum homologorum 5 Iob, erunt etiam Vt qua drata radiorum circulorum iisdem circumscriptorum.

5 II. COROLL. a. Atqui circuli sunt polygona regularia infinitorum laterum 44 a , et quidem imissa 439 ; ergo eorundem areae sunt Ut quadrata radiorum; vel cum radii sint ut diametri a Iob. ut quadrata diametrorum ca I a . 513. COROLL. 3. Si supra singula triantuli rectanguli ABC latera describantur figurae similes. ea. quae Construetur supra hypotenusam BC. exaequahit reliquas duas simul sumtas. Erit enim figura BC ad figuras AB - AC, ut BC : AB

ergo etiam figura BC - fig. AB -ε- AC. 514. COROLL. 4. Si supra eiusdem trianguli Fig. ss. ractanguli latera describantur semicirculi, lunulae Μ - N aequabuntur triangulo ABC. Nam seis 'micirculus BAC aequabitur semicirculis BDA. AEC simul sumtis s Ia)t ergo utrinque ab aequa- Iibus tollendo segmenta Ο Ρ, restabit triangulum ABC - Μ - 5I5. PROBLEMA. Datis quotcunque Murissimilibus unam aequalem, ac milem cons ere. REsoLu T. Iungatur ad angulum rectum dua. Fig. 14.

rum latera homologa AB et BC. vel diametri. si figurae datae fuerint circuli; ducta hypotenula AC erit latus homologum figurae, quae sola aequa-

313쪽

, Fig. 8 σοῦ a I. ELEMENTA

Ut duas illas, quarum latera sunt AB etBC; aut sis gurae circuli fuerint . erit AC diameter circuli aequantis ambos simul circulos, quorum diametri sunt AB et BC sis . Rursus huic hypot nusae iungatur ad angulum rectum latus homologum tertiae figurae, aut diameter tertii circuli. et sic porro. quemadmodum alibi da quadratis diximus 435 . Latore inuento construatur se gura uni datarum similis 443 .s Io. PROBLEMA. Datis duabus Muris simit,hus construere tertram similem, quae si aequalis earundem differentiae.

REsoLuae. Super Iatere figurae, vel diametro circuli maioris AC describatur semicirculus. Et in eo pro chorda adplicetur latus homologum figurae, aut diameter circuli minoris AB; erit altera chorda BC latus homologum figurae, aut diameter circuli petiti. Nam figura lateris. Vel diametri AC aequalis est figuris laterum, vel diametrorum AB et BC simul sumtis s Ia): ergo figura lateris, vel diametri BC aequatur disserentiae datarum figurarum: inuento igitur latere BC

construatur figura uni datarum similis 44 3I

De vario situ, et eoucursibus planorum.

siet. Qi recta AB, cui altera CN perpendicuo lariter insistat, manente eodem situ. Ci ea semetipsam conuerti concipiatur , recta CN

314쪽

motu suo describet ptinam quamdam superficiem, qua nuspiam eminebit, aut dehiscet, et quam .imposita linea recta omnibus suis punctis contimget. Porro recta AC, quae omnibus rectis in

eodem plano per punctum C ductis perpendicu- Iaris est, dicitur plano ipsi perpendicularis, quia hoc ipso in nullam plani partem magis inclinatur.5I8. COROLL. I. Linea ergo recta per unum

plani punctum ducta. vel congruit tota cum plano , vel tota recedit ab eodem, nee possiant duo eius puncta in plano esse . quin omnia in eodem sint; secus linea curuaretur ubi planum desereret, et hinc contra hypothesim non esset recta. Quare nequit pars rectae esse in plano, pars supra illud eminere, aut infra illud dehiscere. 5 I9. COROLL. s. Duae rectas nonnisi in unico puncto se intersecant. Si enim se in binis punctis secarent. segmentum inter duo illa puncta Comprehensum esset Virique Commune. Pop

setque per illud duci planum, in quo sit pars

rectas, pars extra ipsum. Cons. n. 276.52Ο. COROLL. 3. Communis duorum planorum intersectio est linea recta. Cum enim snguis Ia intersectionis puncta debeant utrique plano epse Communia, tota linea intersectionis debet esse in utroque plano; sed nisi recta sit, non erit in utroque: nam ubi curuaretur, euidenter alterutrum planum desereret. 5 a L. COROLL. 4. Nequit pars una plani congruere Cum altero plano, pars ab eodem diue gere; secus pars rectae in uno plano ductae esset in altero plano, pars non esset; quod repugnat si 8)' ..

315쪽

522. COROLL. 5. Nequit pars una triangulio esse in plano, pars altera supra illud eminere, vel infra dehiscere; secus pars duorum laterum esset in eodem illo plano. pars extra illud, quod absurdum est scit.). Hinc tria puncta non in directum sita, per quae semper duci potest triangulum , determinant plani, in quo sunt, post

i tionem.

Fig. 3r. 523. COROLL. 6. Duae rectae sese inters cantes sunt in eodem plano. Si enim in utraqua recta Ab et Ba praeter punctum Commune interis

sectionis C assumantur singula puncta α et β, triangulum C αβ erit totum in eodem plano saa ς ergo et segmenta C α Et Cβ rectarum Ab et Bi, et hinc ipsae rectae totae 5r8 .

Fig. eσ. sa 4. THEOREMA. Si recta AC perpendicul ris sit duabus rectas DΗ et GF in eodem plano per eius extremum C ductis, hoe ipso perpendieularis erit cuiuis alteri ΜΝ per idem punsum C in eodem plano dusae. DE 'ONSTR. Fiant enim CG - CH - CFudi: CD . Et concipiantur duci rectae AH. AF,

AD, AG. punctum Α aequaliter distabit a punctis G , Η, F, D ca97 : ergo, si triangulum ACH circa latus immotum AC conuerti Concipiatur . describet punctum H peripheriam circuli per puncta F. D, et G transeuntis, item per duo puncta rectae ΜΝ. e. g. per Μ et Ni et hinci AH Congruet cum ΑΝ et ΑΜ, ae CΗ cum CNet CΜr puncta ergo A et C aequaliter distabunt a punctis Μ et N, ac proinde recta AC est perpendicularis ad AIN a 94 .

316쪽

525. COROLL. I. Quare si recta quaepiam perpendicularis sit ad duas rectas in plano quopiam per eius extremum ductas. erit hoc ipso perpendicularis etiam ad planum ipsum bir). 526. COROLL- s. E puncto extra planum posito nonnisi unica perpendicuIaris potest ad planum demittit si enim duae possient demitti . ambae deberent esse perpendiculares ad eandem rectam earum extrema Coniungentem 517 . quod repugnat ca99 . Hinc puncti a plano distantiam metitur perpendicularis ex eodem ad planum demissa. Cons. n. 3 I. 527. COROLL. 3. Similiter eX eodem plani puncto nequit erigi, nisi Unica perpendicularis; secus ex eodem rectae per id punctum transeuntis

puncto possent erigi plures perpendiculares. quod

absurdum est; quaevis enim cum ea recta faceret angulum rectum , adeoque pars foret aequalis toti. Cons. n. 285.528. THEOREM A. Si ex eodem punela A re. Fig. 27. Aae ΑΗ erigantur tres perpendiculares AB. AC, AD. quarum nonns unica potest esse in eodem plano eum resa AF 285 , erunt omnes illae in uno plano.

DEMONSTR. Ducto enim per ractas AC et AB plano BN. et per rectas FA Et AD plano ΜΑ. si tertia perpendicularis AD non soret in eodem plano BN, planum ΜΑ occurreret plano BΝ in aliqua recta ΑΟ infra. vel supra AD iacente. essetque recta ΑΗ etiam rectas Ao perpendicularis s524 . et hinc aequarentur anguli recti FAO, FAD. hoc est, pars et totum , quod absur,

dum est.

317쪽

ELEMENTA

tuam duorum planorum InchaatIonem metitur arcus

inter plana interceptus , euius centrum est in ipsa planorum intersenione communi, et cuius planum 6i eidem intersectioni perpentetitire. FIg. 88. DEMONsTR. Cogitetur enim planum quod-dain AB alteri immobili BC impositum circa latus BD in plano immobili haerens conuerti. perspicuum est diuersas horum planorum inclinationes metiendas esse per numerum Progressuum momentaneorum cuiusuis puncti e. g. E a puncto alterius plani correspondente Fet quare mensura inclinationum est arcus a puncto Edecursus, cuius centrum o est in communi intersectione BD. Quia vero idem centrum debet esse in plano ipsius arcus, necesse est . ut sit iurecta Eo id planum generante; atqui ea recta generans est rectae BD . seu communi inistersectioni perpendicularis sI7 . alias Planum

non generaret : igitur Centrum est in communi intersectione rectae perpendicularis Eo. et Communis interssctionis BD. seu in illo rectas BD puncto. in quod incidunt quaelibet perpendicula. res Eo, e quouis arcus puncto ad BD demissae quare planum arcus inclinationem metientis est perpendiculare communi planorum intersectio. ni BD. 53o. COROLL. I. Si ergo in duobus planis ad se inelinatis AB et BC e quouis mutuae intersectionis puncto O erigantur duae perpendiculares ΟΕ, et O F, angulus rectiliaeus EORerit mensura inclinationis planorum.

318쪽

GEOMETRIAE. 3I553I. COROLL. a. Si planum plano insistat,

efficit angulos contiguos duobus rectis aequales et nam arcus eOSdem metientes Complent semicirculi peripheriam. 53 a. COROLL. 3. Hinc si duo plana se inter cent, angulos ad Uerticem aequales comprehendent. qui omnes simul continebunt 36o'; claudi enim poterunt circuli peripheria. 533. TRBOREM A. Si plana parallela A, B, C seeentur plano quo ram DELI, lineae interfemonum DE , FH, IL erunt inter se parallelae. DBΜONsTR. Cum enim plana parallela vi-eunque producta semper a se aequaliter distenti ietiam lineae illae intersectionum in iisdem sitae semper a se aequaliter distabunt: ergo parallelae sunt. 534. THEOREMA. Si duo plani B et C EDdem rectae FI perpendicularia fuerint, erunt ea inter se parallela. . DEMONSTR. Nam ducta recta IL . ac per . eam plano ILFI F. anguli ad I et F recti erunt.

Eadem est demonstratio de quibusvis rectis per puncta I et F ductis : ergo nulla recta in v. no plano ducta per punctum Ι concurret cum recta ducta in altero per punctum F ; igitur plana ipsa producta nunquam concurrente alisque adeo parallela sunt. 535. THEOR Bria. Rena FI uni planorum parallelorum B perpendieularis, es alterι quoqueptuno C perpondistilaris. DE NONsTR. Ducto enim plano FHLI. o

319쪽

Ins F - Ι sop)r cum ergo F rectus ponatur, erit etiam I rectus, idque valet de omni.hus rectis per puncta F et I in plano B et C du.ctis; ergo recta FI plano C perpendicularis est

SCHOLION. Quae in superioribus dicta iunt de angulis. quos efficit recta linctas parallelas secans . etiam ad plana parallela plano quopiam secta transferri posse facile quisque intelligit.

320쪽

DE SOLIDIS.

De Solidorum genesi, Iuperscis, et soliditate.

s 37. Λ nsulas solidus facile concipitur, si plea e singulis polygoni cuiuspiam, aut

trianguli BCD angulis ducantur rectae ad quod uis punctum A extra trianguli planum positum et nascetur enim in A angulus solidus. tot COu- stans angulis planis BAC. BAD, DAC, quot sunt Polygoni, aut trianguli latera. 538. COROLL. I. Tres minimum requirun-.tur anguli plani ad unum solidum generandum. Nam omne Polygonum. Cui tanquam basi institit angulus solidus. minimum trium esses debet laterum , cuiuis autem lateri unus angulus planus instulit. ι