장음표시 사용
71쪽
92. Radix comparate ad quadratum dicitur radix quadrata; comparate ad Cubum radix cubica; comparate ad quartam potentiam radix quarta, et iste deinceps. Est autem signum radicis qua
cis quartae μ etc. radicis indeterminatae r
quantitas Vero, cui tale signum praefiXum eis, radicatis; quantitas signo ipsi radicali imposita ex-Ponens raicis nuncupatur. Quando designanda est radix quantitatis compleXae . ea Plerumque
parenthssi includitur signo radicali praefixo hune in modum: in a -- b interdum sic scribitur: μ α -- b. Ipsae etiam potentiae quantitatum
Complexarum saepe indicantur tantum hac ratione: a--b Vela -- b. 93. COROLL. I. Si ergo radix bis in unitatem. seu semel in se ducatur . nascitur quadratum si his, cubus; si ter, quarta potentia etc. Quare exponens potentiae vilitate multatus iudicat, quoties sit radix in seipsam ducta. E. g. ad generandam potantiam ii ' radix in unitatem duci debet vicibus m. in seipsam autem vicibus m-I.i 94. COROLL. a. Si radix iu se ipsam, seu in radicem semel oucitur . nascitur quadratum; si tu quadratum . nascitur cubus; si in cubum, nascitur quarta potentia, et sic deinceps. Hinc quaevis unitatis potentia est unitas. 95. COROLL. 3. Omne adeo quadratum debet esse positiuum , cum radix tam positiva, quam negati ua semel in se ducta gignat positiuum iactum E a
72쪽
48 . Cubus radicis positiuae positivus, at neis gatiuae negativus est, cum quadratum positiuum in radicem negativam ductum generet negativum factum cit. . Omnis potentia quarta positiva est, cum cubus positiuus in radicem positivam, aut ne gativus in negativam ductus 1actum positiuum progignat cit. . Universe potentiae hanentes exponentem parem 2, 4. 6, 8 etc, semper debent esse positivae, possuntque radicem tam positivam quam negativam haberer potentiae vero habentes ex Pouentem imparem I, 3 , 5. 7 etc. possunt esse etiam negatiuae, et hae quidem negativas, positivae autem positivas radices habent. 96. COROLL. 4. Si ergo occurrat potentia negativa habens pro exponente numerum Parem, eius sadix est impossilutis . seu imaginaria, cum nulla quantitas postit eiusmodi poten iam gignere.
E. e. μ - α' sunt radices impos
sibiles. 97. COROLL. 5. Cum fractio ad potentiam aliquam evehenda est. ea aliquoties in se duci, a Proinde numerator per semetipsum, et denomina
tor per seipsum multiplicari debet 8 G. Quaro
cum in quavis fractione genuina maior sit denom, nator, quam numerator 64 , in ea euectione magis Crescit de minator, quam numerator, adeo. que valor fractionis diminuitur cor, ro .
98. ΡROBLEMA. Potentiam quamuis monomiam ad aliam data exponentis evehere.
RESOLUT. Exponens potentiae datae multiplicetur per exponentem potentiae quaesitae. DEMONSTR. Quaevis enim potentia monomia data repraesentari potest per a , et quiuis
73쪽
exponens potentiae quaesitae per m : ergo si hie demonstratum fuerit exponentem potentiae datas m multiplicari debere per exponentem quaei tae potentiae n, id erit generatim verum; hoc autem sic demonstratur. Ut a' eleuetur ad potentiam exponentis n. debet multiplicatione toties poni, quoties est Unitas in n; atqui a multiplicatione toties ponere est eXponentem eius m toties sibi addere. quoties est unitas in n 48 , seu m per n multiplicare 4o )r ergo exponens potentiae datae m ducendus est in exponentemn, ut habeatur exponens potentiae quaesitae. quae
est Similiter a' - α' - a ; item
'; item a η Gera a 9φ. COROLL. si quantitas eleuanda pluribus constet literis, facile adparet. singularum expγnentes ducendos esse in datum exponentem. E. g. b. )' - Η ' ; item a b av ε. I O. PROBLEMA. Potentias datas addere, subtrahere, multiplicare , ac diuidere. REsoLυ T. Quoniam potentiae algebraicae non aliud sunt, quam quantitates exponentibus affectae 9o, us), earum additio, subtractio. multiplicatio, et diuisio peraguntur iuxta regulaS, quas de his calculis in superioribus tradidimus.
Io I. THEOREM A. Potentra habens pro exponente rerum aequatur νnitati.
DEMONSTR. Omnis enim eiusmodi potentia repraesentari potest per α', ergo si ostendero saequari vinitati, id Erit de omni tali potentia verum; hoc autem sic ostendo. Sit a diuidendum per
74쪽
erit . I, quia a in e semel contine-
tur; sed etiam si reipsa diuidatur, erit - α - es 57); atqui aequalia eidem tertio
sunt aequalia inter se: ergo a' - I. Io I. THEORE ΜΛ. Potentia habens pro exponente franionem positimam aequatvr radici habenti pro exponente eius fracIIonis denominatorem de potentia habente pro exponente numeratorem. DAM6NSTR. Omnis enim eiusmodi potentia
repraesentari potest per a'; ergo si ostendero
a essem V a . id erit de omni tali potentia
verum ; hoc autem sic ostendin Eleuetur a', ad
ergo a' est potentia n. respectu a : ergo vicissim
a' est radix n respectu a . seu quod idem est
dente quantitatem integram negatiuam aequatur suo eo ieienti diuiso per eandem potentiam , sed exponentis positivi. DEMONSTR. omnis enim eiusmodi potentia repraesentari potest per ba ergo si ostenderoba esse -- . id erit de omni tali potentia verum ; hoc autem sic ostendo. Multiplicetur
THEOR ΕΜΑ. Potentia habens pro expo-
75쪽
ALGEBRAE.71 per ba' , erit factum bla r si hoc factum diuidatur per unum factorem , nempe per ba ' , quotus erit alter factor, nempe ba 55 ; erit ergo
Uam - -- : iam valor prioris fractionis non hamutatur, si tam numerator, quaml denominabtor diuidatur per ba 7.4 2r erit ergo
IO4. COROLL. I. Si ergo coessici s fuerit 'I, erit potentia exponentis integri negativi aequalis unitati diuisae per eandem potentiam, sed exponentis positivi. E. g. - .
xo 6. THEOREMA. Potentia habens pro expcnente fractionem negat ruam aequatur suo cooscienti diuiso per radicem habentem pro exponente deuominatorem illius fractionas de potentia habente pro exponente numeratorem, sed positivum. DΕΜONsTR. Omnis enim eiusmodi potentia re.
praesentari potest per ba '; ergo si ostenderoba esse in V a , id erit de omni tali poten-
76쪽
tur ba' per ba erit factum brii' et si hoc factum
diuidatur per unum lactorem, nempe per ba
quotus ecit alter factor, nempe ba' 5 5 erit ergo
nator diuidatur per ba 7 4): erit ergo α' - ba'; atqui pro denominatore a' subititui potest V a
IO7. COROLL. I. Si ergo coeffciens fuerit r. erit potentia exponentis fracti negati ut aequalis unitati diuisae per radicem habentem Pro CXpo nente denominatorem illius fractionis de potentia habente pro exponente numeratorem, sed positI-
Ι 8. COROLL. a. Igitur quaevis quantitatest radicales possunt exhiberi forma potentiarum ominso radicati signo, si nempe eΣponens quantitatis radicali sdividatur per exponentem radicis. E. g.
77쪽
Iost. PROBLEMA. Radtrem quamuis binomiam evehere ad quamcunque potentiam determistatam.
iactis quibusdam literalibus, atque eorum Coessicientibus; insuper eruitur I) facta potentiarum Iiteralia roperiri, si scribantur insta se inuicem duae series, quarum superior incipiens a desiderata potentia termini primi a desinat in I; inse-
78쪽
14 Et RMANT Arior incipiens ab I desinat in potentia desiderata termini secundi b. e. g. pro potentia Octauaria', H, a', aΤ, a', es, a a , I
deinde termini eiusdem ordinis in se ducantur; facta : I a' -- sby - - a'b- - a ba ..H a bε -- aabsa bsi .lis a b7 -- I b8 exhibebunt facta literalia potentiae octauae radicis binomiae a - b. α Coessicientes horum factorum hoc pacto inueniri. Exponentibus termini primi a subscribantur exponentes termini secundi b tanquam denominatores hoc modo r
erit prima fractio φ - 8 coessiciens termini s cundi; factum e prima. et secunda, seu l.ῆ α8 coessiciens termini tertii; factum ex prima.
secunda , et tertia . seu .- 56 coefficiens termini quarti . et sic deinceps. Patet ergo methodus radicem binomiam ad quamuis Potentiam evehendi. IO. COROLL. I. Quodsi eX ponens potentiae desideratae vocetur m , habebitur formula generatis euehendi radicem binomiam ad quamlibet potentiam indeterminatam . ponendo superius m pro exponente termini primi a. Erunt nimirum facta literalia a -- a 'δb - a - ba Da faba et . Coessiciens vero termini secundierit j ; termini tertii erit Hl ; termini quarti' Unde sOrntula nascetur huiusmodi :
79쪽
I. a. 3. 4 a' m. COROLL. a. Si in prima sormula generali sit m - a. ea in hanc abibit: a sal Hi , reliqua membra ob m - a - 2 - a - Ο. erunt
aequalia nihilo. Hine quadratum radicis binomiae constat quadrato termini primi a', a duplo termini unius in alterum ducto stab, 3 quadrato termini secundi b . Sic etiam quadratum numeri 6, seu a - 4 - 4 16 16- 36. II a. COROLL. 3. Si sit m- 3. formula generalis in hanc abibiti ua - - say, - gaby --bi; reliqua membra Obm - 3 - 3 - 3 - . . erunt aequalia nihilo. Hinc cubus raditas binomiae
80쪽
r6 ELAMENTA constat 1 cubo rei mini primi . . a )triplo quadrato termini primi in secundum 3 i s) triplo quadrato secundi in primum sab , 4) cubo te mini secundi b). Sic etiam cubus numeri 5 seu
quarta radicis binomiae constat i potentia quarta termini primi a'. a P quadruplo Cubo termini primi in secundum Oaβb, 3 sextuplo quadrato Primi in quadratum secundi 6a'b', Α) quadruplo CV-ho secundi in primum 4ab-. 5 potentia quarta
termini secundi bL Sic etiam quarta potentia numeri 4 seu I --3 - 1 I2-54-- Ι 8--8I- a 56. Et sic de aliis potentiis. II 4. PROBLEMA. Complere quadratum in. complerum , in quo scilicet quadratum termini s eundi desideratur.
RESOLUT. Quoniam in eiusmodi quadrato Praeter quadratum termini primi adest praeterea factum e duplo termini secundi in primum rix Videatur, per quid terminus primus radicis sit multiplicatus; id enim erit duplum secundi, adeoque eius dimidium erit terminus secundus, equos quadratum fiat, et addatur quadrato illi incompleto , habebitur quadratum Completum. Omne autem eiusmodi quadratum duplici hac formula
continetur: et-- ax, ubi x designat primum radicis termi qum, a termini secundi duplum : hinc torminus secundus in prima erit , iu secunda - έa. ac termini secundi