M. Meibomii ... De proportionibus dialogus. ..

202쪽

IAmadalteram istavaepropositionisdesphaeram'.

lindro demonstrationem veniemus quamvis eo ab re frictus videri possim, dum supravi verba recitavi, auibus paralogismorum illa seris incipit,& causam assi idi, cur in Geometriam impingere censeantur. Hoc sesum restare puto, ut numeros, quibus figurarumista rum lineas Euthymius Mommodavit, breviter expo, nam In primae itaque demonstrationis figura, pag. ab sphaerae diameter BD est partium 3 quarum 9 habet

BF FD. Radius igitur B seu ED, cui aequalis est ΒΚ, habet partes 6 r, AF, 6. Porro FG,6: B H, I :.BN, VI Maser sphaera portio AB C, aequalis cono ΛΗC, est solidarum partium ' seu Di mi, rΛDC, aequalis cono AG C, seu 219 Majoris autem p*rtionis superficies, '' est ad minoris portionis superficiem Vr,ut 'ad cujus ratisius: dupla est, liud: Dicit igitur Archimedes,portionem iubaeraem, jorem ABC, Di,ad minorem portionem ADC,2 ' a minorem rationem habere quam sit dupla rationis si- perficiei majoris portionis ad superficiem minoris pomtionis, nempe minoremquamn: hoc est, quippe numerus 76 langius distat inumero Di, quam ab e dem hoc numerodist numerus 19 zmajor auteniquam sit sesquialtera rationis superficiei majoris portionis ad superficiem minoris portionis mempe majorem quam a est, z. quippe major distantia internum meros Divi 2 9 ' quam inter numero, In hoc autem demonstrando cum invenisset pag. 3. - MF

203쪽

nempe 3: agis: minorem rationem habere qualia 3 a46 Linde concludit rei tangulum ab extremis Ηm con,

tentum, minus esse rectangulo a mediis, hoCest, quadrato ab ini nempe 6n esse minorem quam et O , seu miminorem esse quamisi oc, ulci supra dictum est,

veritati consonat, si rationes excelsiVae, malor ac minoi,

uti hic, praecedant, quarum magnitudinibus deinde re .ctangula illa comprehendantur at si inversis modo, ci angula illa praecesserint, reselvendo verum, sal sum,inde deducere possum. Verum, si rectangula illa in rationes excesilvas reseruantur; quod Sin hac priore demonstratione fit pQ. Wiis. quando reeiangulum a BFD, minus existens quam rectangulun a BED, nempe 36 minor quam resolvitur in rationes e cessivas, ita ut FG ad BE minorem rationem habeat quam S ad DF nempe ad 6 minoren rationem quam 5 ad . Falsum autem, si in desectivas quod in posteriore hujus octavae propositionis demonstratione factum pag. o. v. 27. Cum enim quadratum a CH in ΗF, minus sit rectangulo a BHCis HG, nempe V6 minor quam so resolvendo haec in rationes desecti

vas male concludit, quadratum a CH ad rectangulum a BHC,i6 ad et . minorem rationem habere quam rectam GH adHr,io dis , hocin rectam GH ad Η Io: ad is , maiorem rationem habere quam CFIad HB, ad 6. Atque ita ex selso secundo membro octavae propositionis fricinentoriam ratiocinando pes gens, GH ad ambas ΛΗ, Κ io ad 9Φ6 majorem rationem ha

bere dicit quam Creta H q. ad k adeoque Hab-

204쪽

DE PROPORTIONIBUS , solita ab HG, auo LE, quae aequalis est ipsi BH, ab ,6a6: monstrandum dicit,reliquam II ad quas ambas ΑΗ, KL,6 ad 9ε , majorem rationem habere ovam CH ac HB, ad 6 hoc est, ΗΒ adHA;

hoc est, LEadHA,6 ad 9 mutando auteres,quod hie fit a destistivo ad excessivunt genus, ait undo; rum est KE ad EL,6 ad 6 malorem rationem habere quam ambas KL,HAad HA. Φ ad'. at dividendo, quod fit, rursus ex genere excelavo transeundo in ge

nus desectivum , colura vera Euthymii elenaeiat con

cludit, KL ad LE, ad 6, malorem rationem habere

adeoque ex falso secundo octavae V Elementorum membro,eadem KL ad minorem Lia majorem rationem habet quam ad majorem ΗΛ. Hanc autem para togissimorum seriem explicatiorem reddidit Eutocius, pag. 67. v. . S, ex deseetivo rationum genere in evicessivum transeundo, veris conclusionibus intermistam Quoniam enim monstrandum est, rectam GHadan bas HA KE, majorem rationem habere quam HadHB, io 'Φ6 A. 6. quod est filum , permutando, auod hic fit in contrarium gentis transeundo, verecomi. Iuditur,to ad*Φ96. Porro dividendo, 6 ad recte majorem rationem habere diditur quam 'Φ6.

Sed permutando,quod hic fit ab excisi ivo transeundo ad genus defeetivum, falsum est,6 ad 9 majorem ratio nem habere quam ad 6. At vero,ut 3 ad 6,it 6ώμpermutando Verum 6 6Φ'. 9. Rursus autem diu,

205쪽

6 ME IBO MI DIALOGUS iendo, quod hic fit ex genere excessivo in contra iunigenus transeundo, falsum colligitur, ad 6 majorem rationem habere quam . ut Oeterum horum parato gismorum originem ausam sequentibus numeris fundanis evidentius exponam moniam enim is adjminor rationem habet quam talas igitur rectangu luma extremis & nempe 1 minus est rectangulo mediis, δ&ῖ, seu quadrato v. Seu, quod idem quoniam 3 ada majorem rationem habet quam ' ad y igitur re elangulum ab extremis, majus est rectangulo a mediis, nempe 9 majorquam 8 quod etiam Serenus libro ii 'propositione prina demonstravit rursus Eutocius ud XN libri Iconicor Apollonii. At contra, si rectangulum 8 propositum sit minus rectangulo, , recte hinc colligo ad 3 minorem rationem habere

quam 3 Hai resolvendo nempe rectangula in laterum rationes excessiva, sed perperam,eadem elangula in laterum rationes desectivas resolvendo, definio, et ad 3 minorem rationem habere quam 3 ad quomodo rectangula illa in rationes reviluendo colligere possum ex octava Euclidis in priore igitur octavae propositionis de Sphaera cylindro demonstration , utroque modo . rectangula ex lateribus compinendo, lectangula in latera resolvendo, a veritate non est aberratum, in posteriore autem dempnstr

tisne, o tangula intiterum rationes desectivas resel exue is Euthymi irimentis coiptiendim:. -

206쪽

D E PROPORTIONIBUS adi

Nunc ad ea veniam relatanda,quae Continomnem antiquitatem primus in Geometriam induxit hic TheoAlexandrinus. Rc Hi M. Ire tum plane sermonem ordieris, quo auscultando aures meas non sum delitigaturus. Quin potius ad ea tralassis Xplicanda, quae concinne ex his omnibus deduci possunt . quod tertio loco ex oreEuthymi te sieturum spoponderas. HERMO T. Verbis standum atque eo magis,quod hic Theo,&tota Mathematicorum posteritas , quae eundem hunc errorem erravit, magnisci evidentinusargumentisadduisti,

laoc e statu ille put:1nt. THEO. Ita certe putavi. 4rrorem meum, ut audio, posterilargiterampliarunt. Sed

ex Euthyini doetrina, quam hactenus proposuit He

molimus, agnovi errorem , ingenua voce nunc repudio illis quoque, qui mea auctoritate in eum inducti sunt, auctor rursu sum,ut tanquam uisum,d gigne

diserroribusobnoxium,illud dogma rejicianti AMAiM. Facis quod ingetauum hominem, S mathematicum de cet,qui nulli pertinacia,&altercandi lubidine, pars gismos suos desendere conam sed veritatem non minus discere quam docere est paratus. HERMOT. Me vero selicem, qui tantum memoria valui, ut recensendis Euth mii mei dogmatis summos undiquaque viros in eandem sententiam pertraxerim i Unum tamen maesellicitum habet, quod Mathematici, qui nunc superan algumentis suis non satisfictum clamitabunt,nis etiam vestro Calculo erronea sint deprehenia. Rogo itaqua vos, ut paucae iam de istis me narrantem audiatis emque magis, quod novum quoque proportionum seniis

207쪽

UM ME IBO MI DIALOGUS ab uno,non infimi subsellii Geometra, nupersu inuem

tum,c jus adminiculaCirculi quadraturam, totiesiilito conatu a vobis elatatam, pissis Voluminibus se demonstrasse opinatur. Praeterea ad Euclidis Elementoriungloriam a tetris erroribus vindicandam quaedam hicia

spergentur quae, ut incolTupta, nulloque pravae interpretationis vitio contaminatalerVentur,non tantum ρο-

steritatis, sed etiam vestrum omnium, quorum natis nituntur, interesse arbitior. ARCAi M. Euclidis haec cura sit falsis audiendis nullum ego tempus collocem. Apota Nec ego sane nimis enim tetrica illa erunt,

defatigando cerebro tantum 'nat . . Eu CL Certe meacausa, &Mathematicorum,qui omnes in erroribus

irretiti nunc inter mortales d unt, haec quoque vestris calculis vel probare, vel rejicere deberetis A, C HI M. Tuam emo in gratiam, o Euclide, ingrato adeo serna ne hic demietanu HERMori Pauco vos sum destim turus, momino deinde satarum propositionum cata- iugo, in quo, quot libuerit legetis. Fontem igitur erroris,& scaturiginem Euthymius vocat vocabulum πηλικότης, φωρitutas, cujus Verum significatum atque usum, ex Mathen)atica antiquitate productum, supra retuli. Disiste enim negat Euthymius, vocabulum 1 m16 Muttin, ignificare magnu aut numerum , qui rationis quantitatem veram solus exhibeat quod tocius vixit,4 ante plum eo. In illo autem meabulare, explicando quantoingeniosi in be ex Eutoeio haud dubie junior Schosiastes, cujus verba Iugo prod ii ian inepti est ille: inosin

208쪽

Morinpendio rationum compone armi quantitam perminuta sexagesima indagando, hancdoctrinam non tam explicasse quam intricasse est iudicandus. Ratae, nis enim: compositae ex rationibus 4 , qu pii Micieteri dicunt esse quaternarium, ex quantitatum, seu deno mutatorum 24 2 inter se multiplicatione prolu, istuma hic autem Scholiastes, maximum componemdarum rationum terminum extremum aequalem po nens clo minutis pri in is, seu uni parti, quam nunc Ar,bum consuetuditae gradum vocanis hujus dimidium sumit,minuta os quoniam octonarii dimidius est qua ternarius Rursus numeris,dmudium sumit 3o quo niam quaternarii dimidius est binarius Deinde 3omo nuta prima pergo minuta item brima multiplicat, unde fiunt Voo minuta secunda quibus ad minuta prima re ductis fiunt is minuta prima, ad quη sunt in ratione quadrupla, utis ad et M te autem is ad 6 resertimin contra o cum is comparare deberet, quoniam ratio. nes excessivas, da, propoluit , non autem dese uvas,

'Sa. Primi igitur exempli ponere debuisset hos nu-inem et qui inter se inultiplicati siclum': minuta

secunda, in ratione quadrupla seu in eadem rationerminuta prima. Eadem methodo secundi exempli hos meros posuisiet '' seu 2. non autem, ut se

cundorum minutorum ad prima reductionem evitaret,

istoria. . qua methodo quinti exempli numeros assi

209쪽

uo MEIA MI DIALOGusta expediri possint, ut primae rationis sexagesima s

inantur,altei ius autem multipli numeri, aut pars, aut partes, a quibus Iatio denominatur Tertii exempli nu

In sexto autem Uultimo exemplo, secundum eandem methodum expediendo, plane dei cit. Cum enim' Iositae rationis subdupita, ex ratione subsequialtera de ubsupertersa compositae,sciret ex octava quinti,ratio, nem subsupertertiam naasorem eis ratione subsesquial tera, uti:, quantitas seu denominator subsupertertiae rationis, major est denominatore rationis subsesquiali rae, debuit omnino rationis subsupertertiae quantitatem majorem adsumere quam rationis subsesquialterae , at male adsimi illius rationis minuta 6 , hujus, 3 o. quamvis multiplicatis inter se his numeris propositum conficiat , sed divinando potius quam ratiocinando. Cum enim G ad 3 eandem rationem habeant quaru o ad 3o, extremos duos casu quodam inter se multipli, Cavit, cum medios secundum methodum suam inter se

multiplicare debuisset, hoc modo 'I. Ita Proverbis ipsius pag is una litura inductis , si omnis

ista de denominatoribus doctrina alicujus momenti esset, haec reponerem έπει ἡ δυσάφημιολος ἐςι τἀ, ο ε γ

210쪽

inis e XL in J V undeflim misie ingenta-- iis indis. Ex quibus quidem id perspicitur, vere munutum esti istud minutorum inventum, quod in explicanda doctrina item minuta operose Scholiastes ille ad hibuit. Caeterum illud verum est ex divisione, quae multiplicationi est adversa, diviso antecedente cujusque

rationis per suum conlequentem, numerum exurgere,

quem illi προλκοτέα λογου, quantitatem rationis, exhibem putant, qui per consequentem multiplicatus, rursus producat antecedentena sed nullum inventa haec rationis antecedens magnitudo usum praestat, nisi umorem, quae illa methodo nanium rationum communis cons quens est, illi subjiciamus. Quare rationis duplae quam litatem non lubet numerus sedinuo: necsextuplae rationis quantitatem exhibet numerus senarius,sed ratio Similiter rationis sescuplae quantitas non est numerus i , quod Theo Vult Eutocius, omniumque . . hiorum mathematicorum filii, sed numerus ad la latus lioc est in integris numeris ratio , qua propteream iusμην sui dus sesquialterae rationis dicitur. Ita rationis duplas eruuartae, quantitatem non exhibet num rus a solus, ted una cuin unitate, id est, in numeris integris duplaesuperquartae rationis imagnitudinem exhibet ratio undanaa,qua tanqVam communi messui

nitionis duphesuperquartae rationem duplam , triplam

quadruplam,iesquialteram, supertertiam, Scaeteras eius

alapias, aut superpartio bres,aut superpertes,me ramus ' sale enim mensuratum est, talis etiam memsura esse debet. Primm m*m Nicomachus Gerasenus,