장음표시 사용
111쪽
sectione jegmentum AGBED; atque auia alia ordiu tas F dimidiante partim D E inius diametri interceptum in re illas ordinistas AD . BE ; O per reaam Iineam A a eidem di metro paratulam a termino A ulterius Α D priorum oraturi rum claWum sit paraurimum A ED. Proportio quam babet imum legmentum AGBED parali mum AD E a consimilis eriι rationi, in qua est Iu/mma ex re: prior umorianatarum A D. BE, O ex quadruplo qἰ posterioris ordinatae
GF ad sextupium re δε tub basim AD praedicti paruum mi in
dupliam a Raut iam drumetri DE a centro grata at G Humem se: menti AGBED; dummodo ima iuria uia orisnatu aequivitiet.
Per terminum G ordinatae GF agatur recta S GP diametro DE
i , Pὸ 4llela compiciasque para I mum SPED. ad quod se habebit,. sis, ι0 3 ς3 AGBED in Proportione compolia ex ratione solidi d a. script 1 circa dIametrum D E ab ipsamet area AGBED ad 1blidum ex similiter factum a parali α mo SPED s nempe iuratione summae ι' δ' qq: ΑD . BE , quadruplique q: GF ad hujus q: sextuplum &ex ratione, quam habet GF, seu SD ad duplam diliantiam diametri DB a centro gravitatis arcae AGBED, vel quam habet sextuplum q: GF ad textuplum rect m ti iub GF in aplius cillantiae duplum; scilicet se habebit ut summa qq: AD. BE quadruplique q: GP ad sextuplum hujus recisti ex GF in ipsius distanciae duplum . Atqui parati m mum sPED est ad para It ramum Aa ED ut GP ad AD, sive ut sextuplum redi α h ex GF in praedictae cillantiae duplum ad sextuplum re ii ex hoc apta duplo In ΛD: Coninitae ex aequo, quod PrOPonitur,&c. THEO-Disit iroo by Cc oste
112쪽
Geometrica. 63THEO REM A XXVIL Proposiis 3 r.
SI ab extremita:e n alterius B E ex duabus inaequalibus ordi- gr. s. natis BE . C D ad diametrum conicie Jemi ectionis ducta recta BC ad terminum reliquae ordinata CD, O ulterius 'O ,', producta covveniat iv H cum aha ordinata Ap, sitque dupla adaucti segmenti CH - σ i uper a praedicta extremitate B ducta sit recta B L parallela ad inam diametrum EF ae desinens iv post
riorem ordinatam Ap, qua roIa cadat via extra. vel nou extra sectiouem. Di.o, quod area A C BL, clausis a rectis A L . A L, O a curva Ac a se habebit ad triaugulum H BL ut Hp- aBE ad triplam aestantiam sordiuatis parallelam, diametri EF a centro gravitatis Uuldem areae ACB L.
Jam notum esse luppono, quod triplum distantiae diametri lii .is
EF a centro gravitatis trimii HB L sequat H F BE. Archim.
Deinde dimidiando per ordinatam o NM rectas EF. B H in o. N, illico innotcscet quod HC dupla elle debet partis CN; quandoquidem BC datur dupla ipsius CH,&per coni trutionem B H dupla eli partis HN; unde D. ct α tum BHC aequabitur duplo reci li BH. CN , vel quadruplo rectinii BNC; sed ut rect m lumnu C ad quadruplum rect m b BN c ita est differentia quadra- sal Giorum H F . AF ad quadruplum disserentiae quadratorum Mo. MNO; huic igitur quadruplo adaequabitur differentia quadrato- 'ruin Ap . AF: & additis hinc inde quadratis A P. BE, ac quadruplo quadrati N O , orietur aggregatum quadratorum AF . BE, quadruplique quadrati MO aequale aggregato ex quadratis is F. BE, & ex quadruplo quadrati ON : ac propterea inter se is tu exaequabuntur tolida procreata circa rectam E F ab areis ACB EF .HBEF, & per consequens inter te aqualia erunt & solida simi. liter genita ab area ACB L. &atri α lo HBL demumque area AC BL eandem proportionem sεὶ hub bit ad triangulum H BL ex quam triplum intervallam iptius EF a centro gravitatis trian- v 'guli HBL. seu quam H F-2 BE ad triplam distantiam ejusdem diametri E F a centro gravitatas areae ACB L. Quod &e.
113쪽
SI recta linea AL incidens in duas ordinatas DEP . Exosddiumetrum x E conicae uut lindricae jectionis o C B OA p inam diametram, Delioniique perimetrum non seι re inter Bias ordinatus, claudatque cum ipse perimet o spatium D c BLA. in quo recia D n jungist earundem oratuaturum termInos D . B . ortam stya D a quam illa incidens A L atmidietur a terιia oraivata
Spatium DC BLA ad rectilineum ALBD erit ut aggregatum rect lorum DAP BLα, eum quiadruplo rectis ii cis ad Iextu sim rect li Iub AD B in inter lium diametri x Z a centro gravitatis ejusdem spati ocu LA dummodo hoc inter Eum sputa TZ) orivatis parallelum tiateth Iur. Detur primo spatium DC BLA iacere ad alteram pariem dian. et i xZ, & te ordinata Z P abicillo segmento EF potente sextam partem duorum simul redi lorum D AP.BL , quadruplique recimii Cix , atque completo parali α nao FZxH, dimicaetur ipsum segmentum EF in N; quatenus ZN sit iplius x zintervallum a centro gravitatis ejusdem parali α mi ,&c. Deinde descriptis, circa diametrum XZ, solidis tam a parali ramo FZxΗ, quam a spatii S DCBxZ. ALLE. D BLA cum solidum spatii Dcax E ad solidum parali α mi FEx H uti l ut summa qq: DE Bx quadruplique q: C M ad sextuplum q:gr; & pariter ad hoc solidum parati m mi FZxH se habeat solidum spatii A Lxκ ut summa tam qq: AT . LX, quam quadrupli q: ixi ad idem sextuplum q: EF; necesse t δὲ eit ut solidumi patii Dca L A sit ad praedictum lolidum parali α mi FEx H sicuti est aggregatum rudi lorum DAP . BLα cum quadruplo rect rali ci K ad sextuplum q: EF, scilicet sper construtionem in proportione aequalitatis. Quapropter spatium D BLA ad parali ramum p Ex A se habebit ιὶ reciproce ut distantia EN ad distantiam TE: sed hoc
114쪽
εc aequabitur rationi, in qua est rectrulum P EN his sumptum, vel unicum quadratum P E , seu Per construtionem j sexta
pars summae rectangulorum DAP . BL Mysadruplique rectanguli K IC ad rectangulum sub TZ in AD -- L B. vel Potius in qua est ipsa summa ad sextuplum rectrali TZ in AD B. Ponatur nunc spatium DC BL A non esse totum ad alteram s. partem diametri x g, in qua diametro reperietur centrum di s 39. gravitatis spatii DC amrp. compositi stilicet ex duobus D ca L A. PΚQLA. Unde concipiendo v E esse distantiam ipsius diameatri xa a centro gravitatis spatii PKas. A, ordinatis parallelam spatium D CALA ad spatiuin P Rag. A in erit reciproce ut di. H stantia vZ ad distantiam TZ, vel ut sextuplum rectisti sub Ev M si 'in AP --Lc ad sextuplum rectrali sub TZ in AP-L Et cum spatium p xos. A ad rectilineum P . A sit sper prae cedentem casum) ut summa rect lorum DAP . BL . quadruplique rectisti ciκ ad sextuplum rectrali sub v E in a P. Let; ' quippe qui hoc spatium P Ru LA jacet ad alteram partem dia
Atque rectilineum ALOI sit ad rectilineum DBLA ut AP in ad AD LB, vel ut rect tum TZ, AP -- LQ ad rectratum TE, AD B, vel ut sextupluat ad sextuplum. ... Erit ex aequo perturbate spatium DC BLA ad rectilineum DaLA ut praedicta summa redi m lorum DAP . BL , quadruplique recimii ci x ad sextuplum rect α li TZ . AD -- LB, &C.
SI duae ordinatae AZ a B x ad communem diametrum daar hemi monum conicarum, aut cylindricarum abscindant duo segmenis AGBxE . Di Ex Z M in Iemiseetionibus. quorum' 'i' aherum Di Ex E comprehendatur a reliquo AGBxE, O alia or- divisa a i p dimidiet diametri partem x E inter illas ordinatas imterceptam 1 O amplius inter mydem priores ordinaras AZ . Ex constitutum t aliquod tri Miam A X E. Difrentia A G B Et D eorundem tegmentorum AGBxZ . DIE XEse habebit ad trimium AxΣ ut distierentia qq. AZ . DE cum di ferentia qq: B x . E x , cum quadruplo diserentia qs. G P . i p. a I ad Diqitirso by Cooste
115쪽
,, is tib M ad lalidum similiter facium a parali tuo x xxis. ut ditiis.
: ,. rationi, quam habet duplum rectrali UEN , seu quadratum Z HEuri. ad redi m tum ATT, vel potius, quom habet sextuplum ad lextuplam, sci lieet quam habet ditarentia qq: AE . DE cum di L serentia qqt Bx . Ex S cum quadruplo diffurentia: M: GE . ia ed sextuplum rect li ΑΖ T. Quod,&c.
n. i. . Atis duo a bilineis ABC . DBE, in eadem cova sectionadi , s. centro N decorata. abscissis per duas ordinatas ΑΕ. DEI ad a quam diametrum pBN: alterum biliueum ABC ad relisurim DBE I. babet in prop ne compota ex ratione, iaqua eri eutas basis Ac ad tutam hos D E , O ex ratione quam hisbet di xtis N i, qua jectionis centrum N Fecediι β ι entro gr vitatis sputa i) posterioris bilinei Da E ad intervatum N H italius centri N a centro gravitatis prioris bilinet AB C.
Compleantur trimia AB c . DBE, fiatque MN aqualis B Ni quatenus B M sit latus tral sversum.
116쪽
Et quia bilineum anc est tu ad tri α tum Alle ut F M ad Lu N m& hoe triritum ano est ad trim una DBE ut Tectra Ium Apaad rect um Dos,& hoc trimium Da E est ad bilineum DBE ut 2 i N ad G M: proportio hi linei AB c ad bilineum Dagcomposita erit ex rationibus PM.L HN; a IN . GM, & ex raetio rectruli Asa ad rectrulum D sa, vel potius composita erit ex ratione AF. DG ; ex ratione rectruli M FB ad rectra tum M GB, s seu ratione q: AF ad q: D si & ex ratione LI N . a H N, seu ratione IN . HN; & per consequens composita erit ex rati ne cubi Ap ad cubum D G, seu cubi Ac ad subum DE , &ex ratione IN . HN. Quod,&c.
ΙΝ quacumque sectisne conica si a vertice o diametri cκ pro
cedam rami cA . cs ad terminos duarum simiordinatarnm A p . G L abscindentes duo bilinea ABC . GH C. iterum
bilineum Aac erit ad reliquum GHc in prostra ne composta ex ra. ri ne q: Fc ad q: LC , ct ex ratione, quam habet diametri cκdstantia Rae a centro grauitatis posterioris bilinei GAc ad ejus dem diametri di nuntiam ova centro gravitatis prioris hiatu
Esto ces diametri cE parameter : & cum bilineum A E csit 3 ad tri in tum A p ut rectralum pCN ad sextuplum rectis liAF. vo trimetum vero ACF ad trimium cc L ut redivium Asc ρ ρ ad rectratum G LC mangulumque octi ad bilineum GH C ut sextuplum rectrali GL . TR ad redimium L CN ; proportio bilinei ABC ad hi lineum GH C componetur ex rationibus rectrali PCN ad rechmium Ap. vo rect m si Apc ad rect iura GLc, ac rectisti GL . TR ad rectra tum L CN; scilicet componetur ex ratione q. F C ad * LC , & ex ratione TR . v o. Quod, &c.
117쪽
, THEOREM A XXXII. Propositio 36. .
SI basies Ac . Dr duorum bilineorum ARC . D sp ejusdem
conicae sectionis dimidientur a duabus ordinatis B GIE . M LA E ad aliquam ipsius sectionis diametrum x Z : quoties inter se adaequantur rect la BGK. MAE sub harum ordinatarum Iementis, toties inter se aequabuntur praedicta bilinea, ct e cor
Prius quam ad demostrationem deveniamus, supponere juvat, quod ejuidem parabolae bilinea, diametros aequales habentia, i ter se lunt aequalia; & ejuidem conice sectionis centro decoratae hi linea, quorum diametri transversis lateribus, vel eorundem dimidiis sint proportionales inter se sunt aequalia , & proporti naliter analoga, & e contra. Ostenduntur enim hae conclusiones ab aliis, & praecipue a praeclarismo Vincentio inviani prae
ceptore meo, ω ab Orchimede in Libro de Conoidibus O θ
Nidibus. Si data sectio sit parabola, esto x Υ parameter diametri X Ebilineorumque ARC . D sp diametri sint GR o HS , quae diametro x Z aequi distabunt. Et quia , ob parabolae naturam, re tum BGK reel Mo GR, xT, reei umque M HE redi MO HI, x T est aequale, certum est, quod ubi inter re aequalia ponantur rect Ma BGK . M ME; & i ubi equenter etiam rect Ma GR, O .HS,TT, aequari debebunt inter se diametri GR. Hs proindeque bilinea ARC . D sp . Dum vero dentur aequalia bilinea ARC.DS F, & per conlequens ipsorum diametri GR . Hs inter se sint
aequales; aequalia utique erunt tam rest a GR,xae . HS, XT, quam rect via BGΚ . M HE. Insectione, centro O decorata, inventis hili Drum Anc .FSD diametris RGO . sHo, quae per Centrum O. Productae dum opus fuerit, transire debent, ex conicis elementιS; ponatur oΥ esse semilatus coniugatum semitransverso lateri xo,& ON . op esse semitransversa coniugata semitransvectis laterihus Ro . so diametrorum GR . HS.
Et ubi rect in Ia AGK . M HE inter se ponantur aequalia; pro. portio redi Mi BGκ ad rect Mum D Hr similis erit rationi redi m li
118쪽
M E ad rectis tum D Hs , seu a rationi quadrati o Tt,l q. o P , quam componunt relatio T O T ad ψ ON , ac inta iselatio q: o N ad ψε o p ; atqui proportio rect*li B G Κ ad ρ ρ T. et tum D H F componitur ex ratione redimii BGK ad r et tum Asc , vel quadrati o T ad q: ON , & ex ratione rectili Acc ad rectis tum D Hr; proportio igitur composita ex rationibus ψ o T ad q ON , & q. ON ad q. o P consimilis erit rationa compositae ex ratione q. O T ad q. O N , dc ex ratione rectisti Acc ad rectratum D H F, seu ratione q. AG ad q. DEI: ac . . At Propterea q. AG ad q: DH erit ut o N ad q: OP. & Permu- ριν p. tando essicietur relatio q. AG ad q. ON vel relatio didi- aa. rerentiae qq. RO . Go ad q. Ro) similis rationi q: DH ad q. op , seu rationi, in qua est quadratorum os . OA differentia ad q:m os: unde infertur diametros GR . Hs hi lineorum ABC . Ps D semitransvertis sto . so ella Proportionales , proindeque ipsa bilinea inter se adaequari. Data deinde horum hi lineorum aequalitate facile insertulaequalitas reci lorum BG κ . M HE. - .
THEOREM A XXXIII. Propositio 37.
SI unumquodque duorum aequalium bilineorum A RE . QIM, i ab eadem conisectione ab cistorum i jaceat ad alteram partem i, i. rea icibus diametri ter huyus iametri pars DC intercepta 1 3. inter δε miordinatas A c . E D procedentes ab extremitatibus basisA E alterius bilinei AR E , se habebit ad ipsarum Iemiordinatarum' arare tum ut intercepta pars L R inter Iemio ivatas M L . c auctas a terminis basis QP reliqui bili vel QIM , ad has se ordinatas simul Iis Ias. Jam bilineorum A RE . asM diametri I puta CR . sp J diametro C I, in parabola aequid illant, at in sectione centro decorata per centrum sputa I J trantire ni debent, saltem pro- 3ὶ tractae, & amplius in hoc calu lemi transvertis lateribus RI . SI , ' ι; proportionari, pcr ca, quae ante praecedentis propolitioniS de- 1.ρρυ mos irationem supposita iunt; immo in utroque casu ipsa hilinea 46.47. erunt analoga; proindeque eorundem diametri proportionaliter isl l secabuntur a gravitatis centris i puta T . V J nempe PrO- M. ιδ.
119쪽
Portionabuntne pinibus TR . us, & amplius sin sectione.
centro I decorata J partibus T I . V 4 . Deinde ordinando ad diametrum ei rectas Tx . V E ab ipsis CentriS, atque Tectas HGF . pN a punctis modiis G P hasium AE . um Praedictorum aequalium bilineorum AR E - α SM; C stat ex praecedenti propositione , differentiam quadratorum GF - H F differentiae quadratorum PN . ON parem esse. Et cum in parabola, tam relatio GF . TX, quam Telatio PN. V Est proportio aequalitatis: hi reliquis autem sectionibus relatio GF . Υx similis est rationi ci. T, vel P l . IV, seu rationi PN - VE; erit in utroque casu GF ad TY ut PN ad V E. Ulterius rectilineum AE Dc ad hi lineum AR E se habet ut H A TY in Ac- DE, vel in et sp ad disterentiam qq: GF . H F,
hilineum vero A RE ad sibi aequale bilineum oIM est ut ipsa differentia quadratorum G p . H F ad huic aequalem differentiam quadratorum PN . ON; & hoc bilineum os, M est ad rectilineum LM adc ut posterior differentia qq: PN . ON ad Z VE in X in L M, seu in a PN : ex aequo igitur rectilineum AE DC erit ad rectilineum o Lxuta Tx in asp ad Luz in a PN, scilicet ut rectra tum TX , GF ad rect tum V Z, PN, vel potius ut τυ p ad q: PN ; quippe qui similes invenimus rationes τx. GF;
Constat ex demonstratione, rectilineum AE Dc esse ad recti- Iineum MoIL in proportione duplicata tam rationis DC . KL
120쪽
Summa ex radicibus quadratis omnium ordin*Mum, in ipso quadrilineo, diametris parallelarum, aequabitur producto a raaece quadrata praeuictae asyfisa at in parabolim cum AC .. Culvis ordinatae GH in quadrilineo AC DB concipiatur alia resinite prox, LT, quatenus spatiolum GLTH infinite paruum . tamquam ἔςcti tu eum considerari Possit . ac propterea Productum a radice q: ipsius G H in H T aequatus complexui ex radicibus qT cunctarum ordinatarum in ipso spatio
Deinde ducatur recta GM, parabolicam curvam contingens intermino G iplius. GH, compleaturque rect lum GHos:&quia, ob parabolam, quadratum semiordinatae G P sequatur rectrula sub abscissa is in parametrum iE, vel rect in subtangentis PM duplae ipsius Pi in semiparametrum, vel potius in duplum abscillae ol; quadratum M P eandem habebit rationem ad q: GP . quam ad duplum Lect it M P , ΟΙ, nempe quam PM acta ΟI, vel quam PI ad ol: & componendo orietur relatio ψῶ M ad ': KF limiis rationi po . io, vel GH - ici; & ideo ra-dax q: Ordinatae GH ad radicem q: ipsius o i se habebit ut M Gad GP, vel ut tangentis si M pars LG in sinite parva ad HT, vel potius ut parabolicus arcus a L infinite parvus ad H T : quare productum ab H T in radicem quadratam ordinatae GH nempe summa ex radicibus qq. Omnium ordinatarum in spatiolo GLΥH aequabitur producto a radice quadrata ipsius o i in arcumGL: & cum hoc ubique verificetur, manifestum est, quod proponebatur . CO-Disit iroo by Cooste