장음표시 사용
61쪽
Et comparando terminorum differentias ad eonsequentes hi lineum paN ad tri m Ium FNC erit ut nm ad n . Rursus cum trilineum paNC ad triangulum FNc sit ut m Mad nu , vel ut a mu ad anu ; triangulumque νNC ad paratim naum CNx M ut FG ad 2CM. seu ad a mu; erit ex aequo trilineum FaNc adparati ramum CNx M ut FG ad 2 u M'. & comparando terminorum summas sis R. t S. differemias aurem m R. i6. ad consequentes , quadrilineum hyperbolicum FaN x M ad paratim mum CNx M se habebit ut summa quidem, aut differentia ipsarum FC. anu ad 1 uv. quod &c.
Hie obiter innotescit solidum hyperbolicum infinite longum , circa asymptotum By, genitum ab hyperbolico spatio ZAyB, infinite quidem longo erga y, duplum esse solidi simili modo progeniti a parsimmo A Eva; & se habere ad solida
similiter procreata a spatiis Fy ΒΥ . pTEA. FT rs ut Parali in mum Azau ad respectiva paraltrama Tu . TA . Te. Quamquam hoc solidum ad mensuram primus omnium clarissimus Torricellitis vocaverit, meam nullatenus demonstrati nem hic apponere non erit inutile .
Cum igitur relatio D. te sit obique eonsimilis rationi eonstantis rectar a B ad abscissam Bι; quaecumque si ordinata tenpraedictum solidum infinite longum, ad praedictum solidum parallis mi AE au se habebit per secundam partem primae Prop. ut EB ad intervallum ipsius By a centro gravitatis ejusdem parallis mi AZBτ, scilicet ad ipsus a Z dimidium; unde patet prima pars Propositionis: secunda pars vero pendet exlcholio 3 ejusdem primae Propositionis.
DAtis duabus ordinatis A D . a C ad alteram D v ex dum bus ob totis D V . y V Θperbolae Α Ο Β y , qua cum
coordinaris A o M . B Z X claudant parastrama A Z, B c .
cDZne datisque duabus aliis ordinatis FT. IN, in quarum a
62쪽
tera F T reperiatur centrum gravitatis F quadrilinei Θperialiel Aos CD ; O in reliqua 1 N lis ceutrum gravitaiis tritam operis bolici AOBΣ. I. inperbolicam quadrilineum Aoa CD se babebit ad trapetit AB CD non modo ut rect tum ex prioribus ordinatis AD . BC adrect is tam 1 M pae in earumdem ordinataram Iutrmam, sed etiam in duplum rect si a c v. ves A D v ad rect iam Iab T v in inam
II. inperbolicum triliveum Aos 2 se habebis ad parati mam
Sumpta CE inedia proportionali inter duas CB . AD, & comis Pleto parati m mo Ec D c. iplius solidum, circa laetus CD genitum, medio loco erit proportionale inter duo solida similitet Progenita a parali ramis ADCα BCDE. aequabiturque solido, eodem modo procreato ab hyperbolico quadrilineo Ao BCD ;hoc enim solidum medio loco est si quidem proportionale in. ter ipla solida parali ramorum ADCa . BCDE. Quamobrem quadri lineum AO ac D ad parsimmum ECDa erit ic reciproce ut EC ad 2 FT: at paratim mum ECDG est ad trapetium ABCD uta EC ad AD- Cn; proportio igitur quadrilinei AOBCD ad tra. Petium ABCD composita erit ex ratione E C . a FT; & ex rationea EC ad AD- CB,& aequabitur rationi q: CE. seu redimii A D. Ac ad rect m tum sub PT In ΑD - CB. Ulterius si ab ordinata DA abscindatur segmentum n L p τens duplum rectαti BCv, seu ADV. compleaturque parallismum L DCR; annulo, circa asymptotum v I descripto perquadrilineum ΛοECD is aequabitur solidum, circa DC iamun a parali α mo CL; quadrilineumque Ao BCD ad parali in mum CLOrit reciproce ut L D ad aTv; at qui hoc parat immum CL est ad trapetium ABCD ut 2LD ad AD - CB; erit igitur quadrilineum AGBCD ad trapetium ABCD in propis ne composita ex ratione L D. a Tu, & ex ratione 2LD. ΑD- CD, sti licet ut': LD, vel duplum recim li a v. aut redimii AD v ad rectis lumsub Tu in AD . CB. Rursus cum inter se aequalia inventa sint solida circa asymptotum CD, descripta a parali mo CG,& a quadri lineo AOBc D; inter se aequabuntur & annuli eodem modo geniti a para immo
63쪽
do similiter procreato per paratim mum BCDE; ae propterea trilineum Ao BZ erit ad parallmmum GEBZ reciproce ut EC -- BC ad 2IN: hoc autem parallelogrammum GEBZ est ad parallismum AZBc ut EB ad AZ; trilinei igitur Ao BZ relatio ad parali ramum AZBQ Composita erit ex ratione EC - CB . a IN; & ex ratione B E. AE, &assimilabitur rationi rech h BE, EC- CB
ad duplum redimii Ag, i N; seu rationi in qua est differentia grCB, aq: CE, vela redi lo BC, AD, seu areit m lo BCoo ad duplum rech li AE, IN, vel potius rationi CB . 2 IN. Denique ordinando quamcumque rectam Pori ad asymptotum DCV, rectangula op V . BCV, ac Proinde rectrala o Hx .PHB Inter se erunt aequalia, pariterque cylindricae superficies si in exu. genitae a recta PH, circa CB. & a recta OH circa v x ii inter 1DNI. i. aequabuntur: atque annulus circa v x descriptus a trilineo AOBE par erit solido, circa CB procreato per parallel α - - DCBE: quo circa trilineum AOBE ad parali ramum DC BZ erit reciproce ut DC ad. a Nur sed ut DE ad AZ, vel sob hyperbolam ut v D ad DC, ita est parati m mum DC BZ ad Aus E erit ex aequo perturbate trilineum AOBE ad parat I mmum Aui Eut v D ad aNV unde,&C.
HyperboIicum quadrilineum Ao ac D erit ad parat Immum
64쪽
Ulterius eum paratim ma AC. c inter se sint aequalia, ob hyperbolam, diametrum v E parali α mi DX, transibit per puniactum R, eritque diametrum, tam paratim mi BZA quam hi- linei BOA , & quam trilinei Ao BZ . . centrumque gravitatis duidem trilinei reperietur lx in ipsa diametro . Hoc posito. inebo.j-ι Iam trilineum Aos E ad paratim naum A BE est ut DE ad ras. 2IN. Scut D V ad et v N, paratim naum vero A BZ est adtri tum ABZ ut et i N ad iN, & ut 2 v N ad VN. ex aequo igitur patet quod secundo loco pronunciatur.
SI recta linea Noy contingens Θperbolam is termino D ali- δε to.
cujus ordinata D & ad alteram a mptotum y E , claudia di ao. cum alta ordinata Λ G Θperbolicum trioneum A a D I, a cujus centro graυitatis 1 ordinata sit recta TR ad reliquam ab Io-r m E N , complet mnque sis Irinuvium I D A per rectam D A . Tralineum Operbolicum A aD i eamdem proportionem babebis ad triangulum ADt, quam G E ad sesquialterum recta T R . Ah ordinata GA protracta abicindatur segmentum IM, ita ut IM ad i A eamdem habeat rationem , quam EG ad G cir . quatenus rect α Ium AI , GE rect m lo M l, G ct adaequetur, ac supurficies . circa E N genita per rectam I A, superficiei circa sic exu. rectam D, descriptae per rectam iM adaequetur. Et ad aUm- Ptotum GE ordinetur quaevis alla reclagiam, trilineum A aDI ;)ὸx Aria secans, & in recta Do, eidem asymptoto GE parallela per D , crime e capiatur tertia pars o H, quatenus in ipsa recta punctum H sit centrum aequilibrii trimi DM. . pro dam sicuti contactus D tangentem FN 4 dimidiat, ita or.
dinata D, O bifariam secabit latus E a trimit γε res in O ; & hae
adeo quadratum G ct summae sin Ag. rv.) ac dii ferentiae si j. D c-ω.ao. quadrati Io, rectα lique EGI aequiparabitur is . Et quia s obtri m lorum I G l .F D similitudinem in relatio II G . Gl, seu relatio rectrali FGE ad rect ra tum is p , simil,s usi rationi I cm . OD . seu rationi q. I ct ad rect tum D 9 E , sive s ob hyperbolam ) ad rect m tum AGE: s eidem rationi FO . consimilis crix etiam proportio q: G O aequanti S sum- ρ, ορ. xli.
65쪽
18 Exercitatio 'mam liu figura ly. disterentiam vero sis R. zo. quadrati
Idr. rect m lique E s y, ad rect mium AI , GE aequans summam quidem aut disterentiam rect m larum AGE . IGE: similique ρο
gressu reperitur ut I 9 ad 9 D s& per consequens ut q: Gad rectra tum At. GEὶ ita esse q: g ad rectinium a i , g E. M permutando enicietur proportio rechinii A I , G E ad rectis luma i , g E vel proportio cylindricae superficiei, circa EN descriptae per rectam Al ad superficiem cylindricam similiter genitam. a recta i a ) consimilis rationi q: G ad φ g O , vel rect-lic O , M i ad rect tum g O , in i, live rationi cylindricae superficiei circa D progenitae per rectam MI, ad superficiem cylindricam similiter creatam a recta i m . Verum superficies cylindrica genita circa EN per rectam Al aequatur ut supra vidimus cylindricae superficiei descriptae circa o D, a rectar M. necesse eli igitur & superficiem genitam circa E N per rectam a i , ubique adsequare superficiem circa D . creatam a r c a im, unde lolidum circa EN faetum a trilineo Α aDI paeerit solido circa D in procreato per trimium IDM. Q ξω- ti) . .. pter trilineum A sDI ad trimium IDM ic erit reciproce ut is , ,. 1. H D scilicet subsesquialterum ipsus o D) ad R T, vel ut o D. seu G tk ad sesquialterum iptius a T. Est autem tri inlum I D Mad tri α lum i D A ut balis I M ad hasim i A , sive s per constru 'ctionem) ut EG ad 9 G; ex aequo Igitur perturbate, trilineum Aa Di ad trim lum I D A te habebit ut G E ad let qui alterum rectae R T . quod &c.
Et comparando terminorum disterentias ad consequentes, bi-ilini eum hyperbolicum Aa D erit ad trimium ID A, ut disserenis ala iptius G E a sesquialiero distantiae TR ad hoc sesquialterum
I recta linea hos N subtendem asymptoticum angulum L ENAI er 4 curvae bperbolicae DAB, Ulam curvam Iecet tu extremita- O tibus d 3 um ordinata in ΚΒ, & D ad asteram ἄν ra.
66쪽
rum & E , secetque in puncto i aliam ordinatam AG : O per re.ctam lineam DHZ huic a mptoto parallelam completum iis Iri m tum
I. Si a centro gravita is Υ bilinei Θperbolisi a A o alia ordi-A, ainetur recta T R Qque ad praedictam rectam Iecontem L N : idem tilineum A B o erit ad Irim tam BD H at BD ad 3RN. II Si a centro gravitatis ae trilinei huperbolici B a D I ordinetur alia recta ΥΩ viqite ad praedictam secantem N L; idem irilia n.' neum Aa Di erit uu ιri tum D pi finii g. χχ.J ut is cum Ierata parte isthin i D ad R N , O sin fiς 23. Or . ut excessus rectae I Bsupra tertiam partim rectae lD a RN. Rect la AEG. B R E inter se sunt aequalia , ob hyperbolam Da ; & facta prollaphurosi, aequari ochent & rectrata EG v.
AVM. In luper inter te aequantur resiae L N segmenta LB . D N. Proindeque etiam partes L κ. E ct rectae L E : unde E Ur ad G Κ se habebit ut L K ad G Κ , & ut o v ad v it, reei mgulumque O E , V irect mici V G Κ , seu recimio AvM par erit; & AV ad vi se
habebit ut E ω ad M v , vel ad G E , vel sob hyperbolam ) ut
A G ad D O , seu ad F G : unde A v ad 1 A erit ut G A ad AP ;& permutando erit G A ad V A , ut F A ad I A ; proindeque si Vad v A se habebit ut F i ad I A ; atque relatio I N . I B , vel M V. VB , quae sob aequalia rect m la KGV . Au M) similis est rationi a V . VA , conlimilis erit quoque rationi FI . IA , rectiniumque A I N reet m lo F I a , & subsequentur cylindit ea superficies circa E N descripta per rectam A i, cylindricae superficiei , circa B Κ genitae per reciam I F par erit. Pari modo ordinando quamcumque aliam rectam gratu . quae bilineum D AB sis Agura a I. trilineum vero Aa Di sinreliquis) secet. reperietur , cylindricam superficiem circa E N genitam a recla a i superficiei cylindricie circa rectam n x a Iectas i procreatae, ubique adaequari; unde eli quod 1blidum, circa EN descriptum sin figura ii. per bilineum B AD , & f iureliquis R. J per trilineum Aa Di coaequabit solidum procreatum , circa a K in illa H. per triangulum D H a , & in reliquis) per tri tum F Di . quo circa Bilineum B A D ad tri tum D H a erit reciproce ut tertia sigpars lateris BD nempe ut intervallum puncti B a centro a qui
67쪽
, Tillineum Aa Di ad tri α lum i Dp se reciproce habebit ut summa i g. et r. & ut disterentia νυ sii 23. O 14.) iit rectari Β , bc a ID ad R N , scilicet ut puncti B distantia a centr aequilibrii triαli i DF, sumpto in latere D i ad E N . unde &c.
DAiis duobus areis uJΥ Η . sNT B ad eamdem diametrum T B Ie inmmer reserentibus, ita ut quadrata ordinatarum H R . h r tu astera area uJ T B ubique proporιιouentur respectivis ordivatis GR. gr in reliqua area SNTE. I. Prior area uJ Υ B ad pulteriorem sNT A se habebit ut palterius ordinatie H R , tu illa area uJ Υ Η ad recI lum sub bom Iogam ordinatam G R , in hac area sNΤR, oe jub duplum m-tervatrum rametri B Υ a centro grawIasis prioris arrie cis T B . IL Sol dum descriptum circa diametrum T N a priori area υ Υ Η, ad Iolidum simi Ber Factum a pocteriori area SNT B erit. ut F asterius ordiam ae H R . in uia area aJ T B, ad res lumhomologae ordinatae G R , intra fecundam aream sNT B, in duplam Gyantiam diametri Bae a centro gravitatis ejusdem secunda areae
Dummodo praedicta inlcrvalla ordinatis equidstautia concipiau-
Ponatur u R esse intervallum diametri B T a centro gravitatis areae R PT B,&Ru olla dillantiam ejusdem diametri a centro
Et quia, ex livpothesi q: R H ad q: rh est ut G R adgr, velut productum aER, T B ad productum a g r , T B; permutando erit q: R H ad productum a GR, Ta svel sδὶ superficies. circa B T genita per ordinatam MR ad summam superficierum progenitarum circa redias B u . T F ab ordinata GR) ut hrad productum agr , T B sive ut superficies, circa E T descripta per ordinatam rh ad summam superficierum progenitarum circa rectas B u . Υ P ab ordinata gr) ubique - Unde propo tio solidi, circa T B descripti ab area uJ T B ad summam solidorum, circa rectas B in . T F procreatorum ab area SN Tn similis erit quidem rationi quadrati R H ad productum a GR, T B;
68쪽
atque proportio areae T n , ad aream s N T B composita sci- tu is . licet ex ratione illius lolidi ad hanc summam, sive ratione q: 6. Iun. R H ad productum a Ga,AT;&ex ratione quam habet B v. a. ad R u, seu productum 2 G R , u T ad productum a G R , R u , aequabitur rationi quadrati Ih H ad productum G R , a R n, ut PrImo loco Proponitur. . 1 , a Proportio vero solidi circa Τ B geniti ab area us T B, ad Q. Iidum limiliter procreatum ab area SNTE quae Com Ponitur ex ratione areae 47 1 B , ao aream sNΥB; seu ratione P RH, ad Productum G R, 2 Rv; Sc ex ratione distantiae. Ru, ad distantiarn Ru, seu producti allu, G. R, ad productum 2, Ru, GR) consi- mitis erit rationi quadrati R H , ad productum a R u , G R , ut se
Si datae areae αΤΥ n . s N TR Communem habeant basim, vel A. 16. aliquam ordinatam cisa; prior area QI T B, se habebia adsecunia , da in s N T is , ut ipsa basis , aut ordinata acin, ad duplum inderis valli a n diametri u π a centro gravitatis illius areae asy ae B . Atque solidiun circa diametrum B π descriptum a priori areara Tu, ad lolidum similiter factum a posteriori area S N T B , erit ut ipsa balis, aut ordinata communis a B , ad duplum distantiae R ia diametri-τ use a centro gravitatis posterioris areae SNT B. Quandoquidem area αβ T B est ad aream LNT But q: MI, ad duplum redi m li ora , R n 1, solidumque prioris ad solidum Posterioris areae est ut i B - ad duplum rectrali ara , R u .
Dii parabola mi T s ad trimium Q Υ Η , is eadem Dyen' β'o si , 9 in eadem altitudine combsutum, ea ut basis a vad duplum interualli n a diametri B Υ . a grauitatis cenistro ipsius semiparabole e solidumque circa diametrum T B ge- nitum a Iemlarabola QM T E sesquialtermn ea Alidi similiter
69쪽
triangulum cin B, in eadem hasie cis , ct in eadem altitudine em stitutum, est in proportione composita ex ratione hasta n in ad ostium intervalli B n diametri T B a centro gravitatis dem semiportionis Q ΗΤB, e ex ratione, quam Moet tra*-Dum lutus ET ctim duplo partis B a diametri, interceptae ivter basim a B , ct verticem oppositum Z , ad triplum 6 uem partis B Z et 'lidumque genitum circa diametrum B T a femiportioue u H T B ea ad lolidum I Eiter procreatum a tri A n r B ut imus transversum. Z T cum duplo praedicta partis E B diametri ad hoc duplum ; D. mendo semper intervallum B n ordinatis parallelum. , ordinando quamcumque rectam HGR, quadratum B. ad A quadratum ust erit ob parabolam ) ut B T ad T R , vel uttii is ad G R ubique: quare semiparabola a H T B, ad tri m lumeον. prop. Q T B erit lil ut a B ad duplum distantiae B n: atque solidum genitum circa diameIrun, T B a semipata la um ΤΒ, ad solidum similiter descriptum a tri m lo Q r B erit ut a B , ad du- .d is plum distantiae diametri B T a centro gravitatis tri α si α T B . d. . .. lcilicet in proportione sesquialtera. . . ρε αβε- Ιn reliquis liguris, esto Po semitransversum lateri transveris T E coniugatum, & ab ipso abicindatur legmentum o N tertio
loco proportionale post duas recias u B . G P . quatenus quadra. tum v B ad q: P o sit ut o B ad O N : & Circa ci..metrum o N. ordinatamque E T describatur parabolica curva L NaT, vertio cem habens in N , & quae rectae B occurrat in a , & in areis Q H T B . a GT B ordinetur quaelibet recta H GR ipsi B in parallela.
Et cum B in ad O N se habeat, per constructionem , ut qrB Q ad q: o P, vel 3 ob datam sectionem Oi ΤΗ) ut resim lum . . 1 T B Z, ad rech α tum 1 o Z , sive sob parabolicam curvam) ut
B a ad O N , necessario a B aequabit B a. Rursus, ob datam sedi ionem Q H T B, quadratum c B, ad qe R H est ubique virect m tum E B T ad rect m tum E R T , vel, ob curvam parabolicam, ut B ci ad R G οῦ & idcirco area o H Τ A ad aream cis ae B erit ut B o ad duplum distantiae B u. a At parabolicum trilineum c G Υ a l4ὶ est ad tri is tum a T nut Σ Υ - a Z B ad 3 EA; patet igitur semiportionem e H x aconicae sectionis, centrum habentis , elle ad tri is tum a B inprop α ne composita ex rationibus BQ . a B n. ZT- - 2EB. 3 Z B . Prae-
70쪽
Praeterea proportio solidi circa Bu geniti ab area GH TR ad lalidum sinuiter factum a tri isto a Tn componitur is i ex ra- 'θ -.tione areae ΗΥB ad triαlum Dra , Sc ex ratione distantiae Bu , qad intervallurn f ipsi a n aequid ilians j rectae B ae a centro gravitatis trimit u Υ Ε . nempe ad tertiam patiem latςsis Baia, vol P
Arqui rationem areae QMΥB, ad trimium QI B componund te. lationes an B; ET--ΣZR. 3ga; patet igitur quod inii dum semiportionis D Tn ex couica sectione Centro decorata. se habebit ad solidam tritali ucra in proportione compotita ex ratione ZT- a ZB . 3 EB, de ex ratione 3 ns . 2-leu ratione 3ZB . 2ZB, videlicet erit ut ΕΥ-a Ea ad aZB &z.
Posito quod data semiponio ΦΥΗ sill quadrans ellipsis, aut cireuli; proportio ipsius quadrantis ad tri m tum ci Ta, consimilis erit rationi quam habet, aes, ad sesquialterum distantiae Bn di metri BT a centro Mavitatis ejusdem quadrantis. Quandoquidem componitur ex ratione Boo 2 n D, & ex ratione
Et insuper soliὸum .circa diametrum B T, genitum a quadrante a H Τ B ad solidam genitum a trimio os a se habebit in Prop*ne dupla. Nam illud ad hoc solidum est ut gae a Za ad 22a, scilicet
SL portis A sc D eonicae sectionis centro P decoratae ad trian. M. 3 3. gurum ADc in eadem hae AD, O in eadem altitudine di constitutum , es ut rectilum ex bast AD . in latus ιransversum c E rum duplo partis D E intercepta inter basim AD, inter oppositum verricem E, ad sextuplum sub bane diametri paristem D E , in inIσυatrum o D ipsius diameIri D c, a centro gravitatis praedieta semiportionis ἱ dummodo hoc intervallum supponatur ordinatis paradrium. A dia