장음표시 사용
141쪽
AM, erit area CE MFO ad eumvam superficiem ex arca C AS eirea axem COrevoluto genitam, ut radiar ad cireularem peripiariam.
ctangulo mediorum, idest facto ex ordinata A B in arcum A a , Sed hoc ad zonam curvae superficiei ab arcu Aa circa Co genitam is qui rectangula ipsius A a in peripheriam 1 radio, A B descriptam est ut radius ad circularem peripheriam; ergo & MB bm ad ejusmodi zonam est in eadem ratione: & hoc semper , quare ut unum ad unum, ita omnes ad omnes, ideoque integra figura CEM FO ad superficiem curva CAS descriptam est in eadem ratione, radii circuli ad ejus peripheriam ;Quod erat&c. COROLL. I. Patet, aream CEM FO α Ungulae cyli dricae super arcu C Α S erectae, & abscissae plano per axem Co transeunte , atque ad planum C O S per angulum s mirectum inclinato , quippequae Ungula nihil aliud est,qulim factum ex ipss ordinatis A E super arcu CAS erectis; cum ostensum sit, ubique B A ina A m M Bbm. COROLL. II. Cum vero in decem praecedentibus Theorematibus ostensum sit, posse aream CEM FO infinitis modis in alias o V PT S transormari, inveniri poterunt innumerae areae planae, quae ad curvam superficiem conoidis , ex fieum C ASO geniti, sint in data ratione radii ad
COROLL. III. Eadem sequentur, si A E ad B M si ina, alia Diuitiam by Cooste
142쪽
ut AB ad A Q, vel AN ad A R, aut N G ad G A.
COROLL. Iv. Manis stum est, ordinatas B M figurae CEfo aequar per petud normalibus AQ,quq perpendiculariter eurvam C A S secant in A, propter DB . DA AB. Α ad AB . E M , Quod si areae
juxta constructionem Theoremaris primi ,describatur ,erimi N Petet tangentibus Α in propter D B. B A:: D A. AM:: N P. A M. G RO . U. Si C A S sit arcus circuli, Cuius centrum , fiet E Ms linea recta diametro Co parallela, propter normales Aia semper aequales eidem Tadior ataque rectanis gulum ex radio in sinum versum CB aequabriin Ungulae ex finibus rectis super arcu C A elevatis ut alibi ostendimus eri ne idem rectangulum ad pontion- sphericae superficiei ab area C A geniram, ut radius ad circumserentiam , sue ut idem ressingulum ad cylindricam superficiem ab ipso circa CR revoluto descriptam ue unde aequalitas portiomun superficiei sphericae cum portionibus aequhaltis superficiei cylindrieae circumscriptae, ex multo magis generali principio, quin unde idipsum Archimedes
COR L. VI. Si fuerit C AS parabola, etiam CEM
ex normalibus A Q in E M ordinatis resultans, erit portio parabolica s ex rine. Vim de Lor. sol. l. r. pr. 38. unde Ungulta siler arcu parabolico erectae quadratura, & la. perficiei conoidalis dimensio innotescit. COROLL. VII. Si Curvae CGH subnormales BR sint
143쪽
aequales normalibus Ain curvae C Α S , erit cujusvis ordinatae B G circulus aequalis conoidali superfi-
eiciei ex correspondenteis a arcu C Α, circa C B revoluto, descriptae, nam ex
radii BG s ob communem altitudinem Bo , qua in dimidium BG , resultat dimidium ejus quadrati , ducta vero in dimidiam suam peripheriam , resurrat circulos I ut dimidia BG ad dimidiam peripheriam a BG descriptam, vel ut integra B G ad suam peripheriam ; aut ex hoe
TMαν. ut area CE MR ad superficiem conoidalem ab arcu C A progenitam ; manifestum est igitur, dictum circulum radii BG aequari praescriptς condidicε superficiei. Exemplum illustre habemus in circulo radii QC , cujus normales Q A sunt semper eiusdem quantitatis, & ideb sub- normales B R correspondentis curvae CG item aequantur; quod indicat , hanc curvam sore parabolam latere recto a QC, sive diametro ipsius circuli, proptereaque Boquadratum m rectangulo dictae diametri in sinum versum CB, α quadrato subtensae CA, ideoque recta coniungens puncta C, & Α α BG, & ideo spherica superficies ab ariscu C A producta ra circulo, quem eius subtensa C a desiscriberet, ut Archimedes ostendit. COROLL. Vm. Similiter si fitutae OPN subnormalis N S fuerit aequalis tangenti AD, erit circulus radii NPaequalis eidem conoidacq superficiei ab arcu C A circa CB productae, ut ex secunda parte quarti Corollarii, & ex
144쪽
praecedenti constat : vel etiam hoc modo; ad L g rationem habet comis positam ex I Z ad Z P ὐel
ma ratio aequatur SN, vel A D ad N Ρ: secunda ra. tio aequatur A B ad BD, aut Q A vel B R ad A D: tertia ratio aequatur BGad BR; ergo pZ ad Ls est in ratione composita ex B G ad B R , ex B R, ad A& ex Α D ad N P , hoc est aequatur B G ad N P aut peripheriae radio BG ad peripheriam radio N P descriptam,& factum extremorum , idest pZ in peripheriam radii N P, aequatur facto mediorum , idest Le in peripheriam radii
BG, quare Zona circularis, qua circulus radii up excedit circulum radii N Ρ , aequatur circulari Zonae , qua circulus radii be superat circulum radii BG, unde & ipsi circuli αρ , bt , aut N P , BG aequabuntur, ob aequales semper differentias infinith parvas ipsorum ; cum igitur ex praeea Coroli. circulus radii BG aequet superficiem c noldicam ab arcu C A, etiam circaeus radii N P eidem aconoidicae superficiei aequabitur.
generatam , at rarius ad circumferentiam.
FActa enim consueta constructione infinith parvorum, erit Pp ad N α vel a I, ut ΡΥ ad N O vel AB, ipsa a Iad
145쪽
ad IA uel ut A B ad BD, & ex aequo P . Bb:: Ρ Y.B D se B M. N P ex hypothesi: quare factum ex Pp in N
idest elementum Ungulae, ex superficie cylindrica super arcu OPp resectae plano per ON transeunte, ae per As gradus basi NOP inclinato J aequabitur rectangulo M Bom; unde & tota Ungula toti areae CEMB aequalis erit; &quia ex dictis in praeia Ttior. illa Ungula est ad superficie conoidicam ab arcu o Pp circa ON,ut radius ad circumis ferentiam , etiam area CEΜB ad ejusmodi superflatem conoidicam in eadem ratione erit. Quod erat &c. COROLL. I. Hac methodo innumeras diversas areas planas eidem curvae superficiei conoidicae in dicta ratione respondentes assignabimus , tot nimirum diversis modis, quot variae curvet C AS ad constructionem assumi possunt, imo & in vario stu collocari. R L. II. Quodsi sat curva CGH, cujus subno males sint ipsis B M aequales, probabitur, ut in superioribus s Corin. r. 9 8. Theoν XI. J circulum radii BG aequari superficiei conoidicae ab OPN circa ON generatae.
THEO REM A XIII. t Urim mystis: si satim eum B D ad tangentem Pr , ut tam
ηr quadam linea, puta OΗ , ad ordinatum B Μ , erit spatι- CE M Ea uale rectangulo data recta O H in curvam OP.
ERie enim, ut supra probavimus triere. ν ed. B b. Pp:: BD. PY:: H. B M, ergo rectangulum M Bb metet O H in Pp, adeoque & area CEMB OH in arcum Ο P. Quod erat &c. COROLL. I. Pro varietate assumptae curvae CAS, diis versa spatia CEMB orientur, semper aequalia rectangulo viisdem O H in dictam curvam DP, adeoque & aequalia
146쪽
COROLL. II. Uicissim dato spatio OV PNaequale ieciangulum reis periemus, sub data OC,& arcu C M curus alicuius contentum , cujus pe propterea spatium OUΡN quadrabitur , idque aliter, quam supra docuerimus 1n P rergo Append. i. Si nempe ,assumpta curva ad libitum C ASquam tangant CH , A H, fiat semper OG .PN:: BR HC M E, & describatur talis curva C Μ, cujus tange tes sint ejusmodL ME; Id quod tamen generatim absque i quadraturis: obtineri nequit, nisi in specialibus casibus, pro variae specie assumptae curvae C AS. subtangens enim
rectanguli COSD , -- positis autem miss rectis X, L, K in qualibet ratione proportionatiter deis
147쪽
H ad eamam Q. H squalem corda C A. . . -
denique, coeficiente numeratoris 4- t M - a - t , r iaequa Iem denominatori s u t a nuti is remanet Q ' ra ἐν t , & radix ui ius m radici ulterius; sed prima est differenitalis e vae QH, altria vere, differentialia curvae C A , ut notum est, quare. 1 vinet Curvae CA, .QH, quarum differenti e Perpetuo ae mur, invicem p
riter aequales fient Quod erat &C. -w L . b. L .
COROLL. I. Pro varia ratione listearum X, L, aut L, Κ, manifestum est diversam speciem e vae Q H prodit, .ram eidem datae C A latetudine aequalem COROLL. II. Si curva CR sit geometrica , sive,ut lo- . qui amant recentiores, algebratica , etiam .QH geometri. ca, aut algebratica erit, Nam ejus coordinatae s datam rationem habent dependentem ex ratione iplarum
I, ita ut si haec geometricis, aut algebratich exprimi sit
148쪽
ni queat aequationeis, si s nullam quadraturamis, Z V
nullam curri rectifica. M , -- tionem involvente. '. SCOROLL. III Etesimhetc ipsa curva Q H rursus in alias pari methodo transso mari possit, hoc etiam ex capite varia seges curvarum semis per longitudine aequalium, sed specie differentium , & quiadem semper geometricarum, suboritur.
circa axem A F νου- ' ira , productum seretur pla- n
HE. s. curva portionem BD α sigma X HB c. SEcetur enim rursus plano ad hasm parallelo CKI, eritque I G quadratum cum quadrato G C aequale
149쪽
aab, cilim ergo ubique area HGI, seu s. - -)ώ, aequetur rectangulo GCD , idest as, erit daerentiando aa J dx zz κθ, & quadrando , 'aa dx aa Ο , ac per antitheum C dx aa dx t, ergo extrahendo radicem, dx zet a v t- , hoc est elementum areae ΗΒ CK m rectangulo ex HB in elementum curvae BD ; unde integrando, area ΚΗ BC mΗB in curvam BD. Quod erat COROLL I. Quoties ergo ordinata in elementum abisscissae aequatur constanti in elementum alterius curve, pu-t dxta: a vi dx t dr I semper habetur ψ t --σaὶ Σαινο , & lamma ex dictis radicibus a a) indae , divisa per a , dat ordinarum s curvae rectificabilisper aream cuius primum elementum erat x dx , ut alias in Parergo Anend. I. innuimuS.COROLL. IL Eodem modo , sumpta quavis alia conis stanti b, si v dx aequetur , in elementum oris dinatae ruruis habebitur dx α b in elementum curriv dx - , adeoque si fiat prim6 v rq --aa ἐκ main elementum ordinatae dat, tum feeundo daera, in elementum ordinatae dae, tam curva prima in a, . quam curva secunda in b, eruat invicem, & eidem areae L r dx aequales ; pr0ptereaque habebitur secunda curva , cujus ordinatae u , ad curvam Priorem, cuius ordinatae I, im data ratione, constantis a prius assumptae, ad alteram. GO .
COROLL. ΗΙ. St LHA sit linea recta, solidum ex ipsa ci ca A F evadit Conus, & sectio Η M N hyperbola, ex cujus ideo quadro tura pendet constructio curvae BDE quae ducta in B H aequetur areae trapezii rectilinei HL FB. COROLL. IV. Similites in plano cur in rix sequemi exposita quapiam figura CT Uo cum adscripto remne . ta
150쪽
ti, CN VO, si differentiae quadratorum PS, ponaturaequale quadratum B L, ut oriatur curva HLO,&spatio CN semper fiat aequale rectangulum FB M habebitur eurva CMS, quae dussi in NC aequabit patium CT V o, ut eodem calculo constat, sicut vicissim, datospatio CNLo, cuius portiones quaelibet CNLB aequales stant rectangulo CN in B M , Et posito quadrato BP aggrmio quadratorum CN, BL, resultat spatium CT V O rectangulo
, COROLL. v. Cum autem spatium CT V O infinitum dis per Aecem priore Georemata, edi que eorollaria in alias areas transformari possit, ejusque ordinatarum quadrata excedere queant quadratum Φnstantis C N, dictisque excessibus aequalia quadrata aliarum ordinatarum,atque absolvi constructio Coronarii praecedentis, manifestum est, alias & alias curvas invicem, aut eidem datae C M S ex cujus rangentibus D A in ΒΡ ordinatis, ex consima pνο- 6. Aneia. i. ortum fit Ptham CT V o aequales innu meris modis construi poue , imo & fieri in data ratione, si pro constanti CN latere rectanguli CN V o, alia major aut minor in data ratione adhiberetur , iuxta calculum Cotollarii II. THEO. Diuiti eo by cooste